Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 81
Текст из файла (страница 81)
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ дг дз дг = — дх+ — азу, дх ду (29.2) дг дг где — н — вычисляются в точке М(х, у), а дх=бх, ду=АУ. дх ду 10. Найти частные производные функции: 2 2 !) г=хэ+2ху24 Зуэ. 2) г хз+уз О 1) Находим частную производную по переменной х прн постоянном 2 2 у: — =Зх +2у . дх Находим частную производную по переменной у прн постоянном х: дг — =4ху+9у'; 2) 2х(х +у ) — 2х(х — уз) 2хз+2хуз 2хз+2 уз 4 (х +У ) (к~+уз)2 ( 2 2)з У( +У ) — 2У(х — У ) -2х у-2уз — 2хзу42уз 4 2 д (х +У ) (х +у')' (хз+ 2)2 11. Вычислить значение частной производной функции г= — в х+у точке М(-2; 3). О Находим и И~аа-(*-Л а, а* -а+за-и Л и дх (х+у)' (х+у)' ду (х+у)' (х+у)2 В полученные выражения подставим значения х= — 2 я У=З: Частной производной функции 2= 2"(х, у) иа псремвииай х называется производная этой функции прн постоянном значении переменной у; она дг обозначается — нли г„'. а дх Частной производной. функции г=у'(х, у) па псрвмсииай у называется производная по у прн постоянном значении переменной х; она обозначается дг — илн г„'.
ду Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной прн условии, что остальные переменные считаются настоянными. Полным диффереичиалам функция г=у(х, у) в некоторой точке М(х, у) называется выражение < 2 3 аадгз, 2( — 2) — =г' (-2; 3)= =6; — =г„'( — 2; 3)= — 2=4. ° дх) ( — 2+3) ' ~ду) " ' ( — 2+3) 3 2 2 2 ! э 12. Вычислить полный дифференциал функции г=х — 2х у +У в точке М(1; 2). Сз Находим частные произволные дг 2 2 дг 2 2 — = Зхз — 4хуз,' — = -4х у+Зу .
дх ду Вычислим значения частных производных в т точке М 1; 2: < — =г'„(1; 2)=3 12-4 1 22= — 13; дх з á — — г'„(1; 2)= 4.12,2+3.22 4 драги Согласно формуле (29.2), получим дг= — 13аст+4аау. Э 13. Найдите частные производные следующих функции: Зх у- Зх 1 — ' — 3 ' +4х'у'-у' 2) г= —; 3) г= —; 4) г=е ) г-х ху 5) г=!п(2х-у). 14. Вычислите значения частных производных функций в заданных точках: 1) г= — в точке М(2; — 1); 2) г=езхг в точке М(1; 1); х+у 1; — 2). 3) =!пг 2+ 2) в точке М(2; — 2); 4) г=у/х+х в,точке М(; —,. 15. Вычислйте полные дифференциалы функций в д в за анных точках: 1) г= — в точке М(2; — 1); 2) г=з)п(х +2У) прн х= ! х+у =2, Их=0,! и 2!У=0,2; 3) г=с '2" при х=2, у=1, зги=0,2 и аду=Оа!; 4) 2=1п(2х+у) в точке М(1; О). б 3.
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ 1. Определение двойного интеграла. Пусть в замкнутой ограннченнон б 22 лоскостн хОУ определена непрерывная функция г=-/(х,у). частичных областей с Разобьем область 22 произвольным образом на и част Ад, Аэ, ..., АЯ„. В каждой Ьй элемеятарной области АЯа выберем произвольную точку Ма(хи у,), умножим значение фу ця не нк н в этой точке з"( и ) а ощадь ЬЮ соответствующей области и составим сумму этих произведений, т. е. г г зхи уи ь Ег( и 3)ляь ко Раи иазыва Я егумьиай сУимай а=! н ф(х, ) в области 23. Двойным интегралом функции /(х, у) по области 23 называется едел пр этой суммы: (29.3) у ) АЯ = г' (х, У) аэ з-о а 439 называются вну2пренними.
ь г 7= 1(хсу) дхду. (29.4) | /с~(х, у)дхду=й г'(х, у)дхду. о и у'(х, у) 2(яду- ду,/(х* У) дх (29.8) 32(х. У)дхду= дх Г'(х, у)п2У о ь (29.5) У'(х, У) дх 4 = ду У(х, у) Ых. о Ю (29.6) Рис. 200 Рис. 199 440 где 8 — наибольший из диаметров элементарных областей ЬЯ2.
Функция г=У(х,у), для которой предел (293) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области. В прямоугольных координатах дифференциал площади дб=дхду, тогда двойной интеграл примет внд Если у'(х, у)>0, то двойной интеграл функции г=у(х, у) по области 2З равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью г=г'(, ), сб цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Ог, а направляющей служит контур фигуры Ю, и снизу плоскост =О.
2. О иы ью г=. евонные свойства двойного шьтеграла !'. Двойной интеграл от алгебраической суммы функиий равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций: 1гг2 (х, у)хгг(х,уЦ дхду= А2 (х, у) Ыхдух 12(х, у) дхс(у. 2 ~ ~ | и и о 2'. Постоянный множшпель можно выносить за знак двойного итиеграла; 3'. Обл ость интегрирования двойного интеграла можно разбить на часгни, т.
с. если область состоит из двух областей О2 и Р„то 7 (х, у) дхду= ('(х. У) дхду+ Я(х, у) дх ду. о и, п2 3. Оспа нные свучаи вы вспенив двойиегп впзвграпа в прямоугольных координатах. 11 и ) и ли область О, в которой рассматривается двойной интеграл (29.4), есть прямоугольник со сторонами, параллельными коордннатяым осям н заданными уравненнвмн х=а, х= Ь (а<х<Ь), у = с, у =д (с <у <д) (рнс. 198), то двойной интеграл вычисляется по одной нз формул ь г Интегралы в правых частях формул (29,5) и (29.б) называются повторными (нлн двукратными), а интегралы 1'(х, у) ду и 1'(х, у) дх 2 Под символом г(х .Г(х, У) ду в фор"гу ле (29.5) подразумевается дважды произведенное интегрирование.
Первое интьтрированне(внутреннее) по переменной у совершается в пределах от с до д в предположении, что х остается постоянным; результат интегрнруетсв по переменной х в пределах от а Рпс. 198 до Ь. Если вычисление двойного интеграла выполняется по формуле (29.б), то порядок интегрирования меняется; внутренний интеграл вычисляется по переменной х, причем у сохраняет постоянное значение, а внешнее (повторное) интегрирование производится по переменной у.
2) Если обласп О такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области и параллельная оси Оу, пересекает ее границу в двух точках (рис. 199 и 200), то зта область называется простой птносительно оси Ох и определяется системой неравенств вида а<х<Ь, фь (х)<у<2рг(х). В этом случае двойной интеграл выражаегсв Мерет повторный интеграл по формуле Ь Ь22> г(х, у) дхду= дх 1'(х, у) ду.
(29.7) и ь,щ 3) Если граница области О пересекается в двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области и параллельной осн Ох (рис. 201), то эта область называется простой относительно оси Оу и определяется системой неравенств вида с<у<д, фс(у)<х<фз(у). В этом случае двойной янтеграл вырткается формулой Ь2 (22 и тш где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем по переменной у.
Рис. 20! 4) Если инжняв влн верхняя авива границы солом из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область 21 необходимо разбить прямыми, параллельнымн оси Оу, на такие части, чтобы каждый нз участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление двойного интеграла сводятся к вычислению двух (н более) повторных интегралов. В случае, изображенном на рнс. 202, область 22! определяется системой неравенств а<х<с, 921(х)<у«рз(х), а область 272 — системой неравенств с<х<ь, 921(х)<у<922(х), н, значит, ь а! 12! У!й 2!У = У 22х Цу+ УгйггУ= 1гх .ЯУ+ й У'ау, (29,9) и И1 и! а,ь! 2 2,1*! 3 22+2 16.
Вычислить повторный интеграл гй ~ — а!у, х 2 О Согласно формуле (29.7), имеем 2 *'+а 2 «+а 2 У 1 2 г Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным: а аа 22+2 | «2+а 2 — 1у= — ~ Ыу= (у)2 а= — (хз+4 — 2)= 1+2х х' хз ~ хз хз 2 г Теперь вычислим внешний интеграл по переменной х, подставив а него полученное выравгсниж 2 (1+2х )2й=~х — ~ =~3 — /-(1 — 2)=3-. ф ! 17. Вычислить двойной интеграл (х+у)айтау по области д, и ограниченной прямыми х=2, х=б, у=1 и у=4. О Область Р является простой относительно осей Ох и Оу (рис, 203), поэтому р для вычисления шпеграла можно использовать любую из формул (29 5) илн (29.6). Сначала вычислим двойной интеграл по формуле (29.5); э' а а (х+у) йИУ= й (к+УедУ.
и 2 1 Вычислив внутренний интеграл по переменной у прн постоянном х, находим У 212 12 15 (х+у) 27у= ху+ ~ =(4х+8)-~ х+-| =Зх+ —. 1 Подставив зто выражение во внешний интеграл, получим а Зх+ — 11х = — + — х = 78. Теперь вычислим двойной интеграл по формуле (29.6): а б Цх+у) йх йу =(Йу((х+у) 27х. и ! 2 Найдем внутренний интеграл; Гхз (х+У) 2й= ~ — +хУ =(18+ 6У) — (2+ 2У) = 4У+ 16. ~г 2 Далее найдем внешний интеграл; ((4У+ 16) 27у = [2уз+ 16у~ 4 = 78, 1 т. е. получили тот же ответ. ° 18. Вычислить двойной интеграл |~ (хэ — у) п2х Иу по области 27, заданной системой неравенств 0<х<3; х'<у<9 (рнс.
204). О Область 21 является простой как относительно оси Ох, так и относительно осн Оу; поэтому вычислим этот интеграл двумя способами. Произведем вычисление по ф>рмуле (29.7). Пределами внутреннего интеграла являются функции у=х и У=9, составляющие уравнения нижней н верхней границ области 22, а пределамн внешнего интеграла являются абсциссы х=0 и х=З. Значит, (((х2 — у)2й4у=) ай ) (х -у)2)у и С 2 Вычислим внутренний интеграл по переменнои у в предположении, что х — постоянная: г-29 (х — у)2!у= х у 2 „2 = 9х — — — х4- — 9„2 »4 Вычислим внешний интеграл г 9*-- '- — й*= 3'- „="„~) 64,3, 9 ПРонзведем тепеРь вычисление по формуле (29.3), В этом случае область 17 Ьыражается системой неравенств 0<у<9, 0<х<,/у т, е.
пределами внутреннего интеграла слуиат Фуихдии х=О и х 2/у, а пределами внешнего интеграле ордннаты у=О н у=9, Поэтому 9 УУ 9 1"1"„, . !" . Г...,, П х' 1'" . ('11 ))УУ УУм ьУ 1 У)1*' УУ~ )( -*У) "У 1 -У -У )4 о 9 9 9 9 ,212„1„, уггг 643 3) 35 9 9 19. Вычислить двойной интеграл -Угхгй по области 1), цх заданной линиями х=1, х=4, у=х и у=2 /х О Находим точки пересечения этих линий: ! ! ! 1! х=1; |х=4„ у=2г/х, М(1; 2); у=2,„/х, )У'(4; 4) (Вне 205) Область 22 определяется сястемой неравенств )<х<4 »<у<2 /х Вычислим двойной интеграл по области Вч 4 299 4 -УгхггуУ9 лх -4(у — У(» 2 — -х У(»= 2х — хг =2-. Уй! в ! 4 1 ! 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
