Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 84
Текст из файла (страница 84)
55. Найдите массу пластинки„ ограниченной параболой у=х н прямой «=9, если плотность Ь (х, у) распределения массы в каждой точке численно равна ордннате этой точки. 56. Найдите массу круглой пластинки, если поверхностная плотность в каждой точке пластншги пропорциональна квадрату ее расстояния от центра пластинки. Коэффициент пропорциональности равен и. (Для вычисления интеграла воспользуйтесь полярными координатами.) 57. Найдите массу кругового кольца, радиусы которого Я, = н Яз=б, а поверхностная плотность в каждой точке кольца обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца. Коэффициент пропорциональности равен /г. (Для вычисления интег- Р ала воспользуйтесь полярными координатами.) б 9.
ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сгаашическям моментом материальной точки относительно некоторой оси называется ир произведение массы точки на расстояние до оси. плотностью Ь(х, у) относительно координатных осей Ох и Оу вычисляются по формулам (29.20) ((уб(х,«)Ахг/у, В„=((хб(х,«)А«АУ. в в Если фигура Р является однородной (плотность Ь постоянна), то Я,=ЬЦ»Ахг/у, Я«=б)) хг/хг/у. (29.21) в в 58. Н " статические моменты относительно координатных анти з й фнг ы, о аииченной параболой у =х (у)0) н прямои х=, если плотность Ь распределения массы в кажд " ой точке авиа Р абсциссе этой точки.
веисгв 0<х<4, 0<у< /х. Используя формулы (29.20), получим 459 А(ф Рис. 223 Рнс. 221 (29.22) 4 4 о а = ХУгзхйУ= згх Угу= ~ зЬУ~1о*г(х= — ~хйх=4 (кУб. ед)4 2~ 2~ о о о о о 4 о о 4 х з(хг(У= х о(х Ау= (У1~*2 г(х= хз~зз(2=36-(куб,ед), Ф 7 о о о о о 59. Найти статический момент пластинки в форме полукруга х +у =В относительно диаметра, если ее плотность 5=1.
2 2 2 О Согласно формуле (29.20), статический момент относительно оси Ох есть а„=Оуз(хз(у. Перейдем к полярным координатам; тогда В=г н у= о / З 2 2 г =яд -х = д -г саз ф=гззлф. В силу симметрии области 17 относительно оси Оу возьмем 172 этой области, которая определяется системой неравенств 0<фея/2, 0<гид. Следовательно, Рис. 222 )(хб(х, У),ЫУ ПУ5(х, У) (Х«У в о хе= Ус= П5(х у),(хо~у ЦЬ(х, У)з(хз(У Зз К Н2 2 Г В,=2 гяпф гг(гг(ф=2 япфйр г Аг=- (гз1к япфз(ф= 3~ о о о о ! 2 2йз 2йз 2йз 3 — зш фг(ф= — — (соз ф|" = — (куб. ед.). ° 3 3 о 60.
Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу однородных пластинок (5=1), имеющих формы: 1) прямоугольника 04:х<4, 0<у<6; 2) треугольника с вершинами О (О; О), А (6; О), В(0; 8); 3) полукруга хз+у'=16, у>0; Х2 у' 4) эллипса — + — = 1, ограниченного положительными полуося- 9 4 ми Охи Оу; 5) параболы у=ха, х>0, у=4. 61. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами ОА=З, ОВ=4, причем ее плотность в любой точке пластинки равна расстоянию этой точки от катета ОА. Вычислите статические моменты пластинки относительно катетов ОА и ОВ. 62. Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу пластинки, ограниченной прямыми х — Зу=0, 2х+ Зу — 18=0 и осью Оу, если плотность в любой точке пластинки равна ординате этой точки.
б 1О. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Координаты центра тяжести (хс', ус) плоской фигуры с непрерывной массой и переменной плотностью 5=5(х, у) вычисляются по фор- мулам илн в другои форме записи Яу хе= гл (29.23) Ус= гн где ез- -масса фигуры, Ян Я,--статические моменты относительно осей координат. Если фигура )) является однородной (Ь=сопз0 и  †площа этой фигуры, то координаты центра тяжести находятся по формулам 1 ('(' 1Г хе=- хз(хг(у, - ус=- уз(хз(у. ВП ' ВЛ е о (29.24) В полярной системе координат формулы (29.24) имеют внд хе=-Ц~ г сок фарго(ф, ус=-~~ г яцфз(гозф.
(2925) 1~Г, '41 ВП в в Есле однородная плоская фигура имеет ось симметрии илн тачку симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси илн в этой точке. 63. Вычислить координаты центра тяжести однородной фигуры (5=1), ограниченной кривой у2=4х и прямой х=4 (рис. 221). О Фигура симметрична относительно оси Ох; поэтому центр тяжести лежит на оси Ох и ус=0.
Абсцнссу пентра тяжести найдем по формуле (29.24). Область 1) определяется системой неравенств 0<х<4, — 2 /х <у< <2 /х. Плошадь фигуры )3 найдем по формуле а=)у"(х)ззх; имеем о , 64 2хыгб/х 4, (х512)4 (кв ел) з ' з о Следовательыо, го„ а а хе= Я хбгхб/У= — ~ хб/х ~ б/у=~ и ~ хб/х= — 4 /х дх=2,4. 'Д о О -гбб о о Итак, центр твкести фыгуры — точка С(2,4; О). Ф 64.
Найти координаты центра тяжести прямоугольного треугольника ОАВ, катеты которого равны 2 и 4. Плотность в каждой точке треугольника численно равна абсциссе этой точки (рис. 222). О Гыпотеыуза треугольника проходит через точки (2; О) ы (О; 4); следовательно, ее уравнение имеет выд у= -2х+4. ОбластьЮ определяется системой иеравеыств О<х<2, 0<у<-2х+4; перемеыыая плотыость б (х, у) =х. Для вычисления координат цеытра тяжести последовательно првмеыим формулы (29.19), (29.20) и (29.23).
Имеем г 4-2* 2 2 т= б(х, у)б/хб/у= хб/х б/у= [у)46 *хб/х= (4-2х)хб(х=-, 3' о о о о о г 4-2.6 1 1 4-2* Еб= уб(х, у)б/хобу= хаак у~/у=- (уз~об г*хб/х= 2~ о о 1Г 8 2~ =-~ (16-1бх+4хг)хб/х=-, 3' 1 4 24 2 2 Яг хб(х,р)~/хИУ= хгб/х б/у= (У)ао г*хгдх (4-2х)хгб/х=-. 3 о о о о о Тогда хс=Я1/т=1, ус=Я /т=1 и, следовательно, С(1; 1) — цеюр тяжести треугольыика. ° бб.
Вычислить координаты центра тяжести сектора однородного круга (Ь=1), расположенного симметрично относительно оси Ох (рис. 223). Радиус круга равен 4, а центральный угол равен к/3. О Перейдем к полярным коордиыатам. Плошдць кругового сектора 1 1 вмчислим по формуле Я=-дгбр, где бр выражается в радианах, т, е.
Я=-х 2 2 )6 4 16 г хс — — — г созцгб/гб/цг= — созбрЫр~ 1 66'= — ' — ~ со542(1 ]об/цг= 41- 8х ~ . ~ Зи 3 ~ — 16 о ~б !6 8 = —.64 ~ созбрйр=-. 8и л 16 Следовательно, С (8/х; 0) — центр тяжести фигуры. ° 66. Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки (6=1), ограниченной линиями: 1) прямой 4х+Зу-12=0 и осями координат; 2) параболами у=х' и х=у', 3) параболой у=х' и прямой х — у+2=0 4) параболами у=х', у=-х' и прямыми х=0, х=2; 2 5) полуволной синусоиды у=апх (у)0), 0<х<я.
67. Найдите координаты центра тяжести треугольной пластинки, ограниченной прямыми у=х, у=4 и осью Оу, если плотность распределения массы в каждой точке пластинки численно равна абсциссе этой точки. 68. Найдите координатьг центра тяжести треугольной пластинки, 1 2 ограниченной прямыми у=-х, у=б — -х и осью Оу. Плотность в 3 ' 3 каждой точке этой пластинки численно равна абсцнссе этой точки. Найдите координаты центра тяжести при условии, что пластинка является однородной (Ь= 1).
69. Вычислите координаты центра тяжести пластинки, ограни- ченной прямыми у=х, х=! и осью Ох, если плотность распределе- ния массы в каждой точке пластинки равна квадрату ее расстояния от начала координат. 70. Вычислите координаты центра тяжести сектора однородного круга (Ь= 1), расположенного симметрично относительно оси Ох. Радиус круга равен б, а центральный угол равен я/2. б 11. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Моментом инерции материальной точки относительно оси ыазываетси произведение массы точки ыа квадрат ее расстояния Ло этой осы. Моменты инерции материальной плоской фигуры Ю, раслределеыые массы которой характеризуется плотностью б=б(х, у), вычисляются ло формулам: (29.26) (29.27) 463 х бп х 16 -= — (кв. ед.).
3 3 Область Ю в полярных коордиыатал определяется системой ыеравенств -я/6<бр<и/6. 0<1<4. Так как фигура симметрична отыосытельыо осв Ох, то ус=О. Теперь, используя формулу (29.211, находим 1„=Цугб(х, у)6/хйу о (момеыт инерции относительно оси Ох); 1,=((хгб(х, у)6/хну о (момент инерции относительно оси Оу); (29.28) 1о=О(хо+уз) б(х, у) з(хз!у о (момент инерпли относительно начала координат). Величина 1о называется нохнрным моментом инерции н может быть выражена равенствам !0=1.+1,.
(29.29) Если плоская фигура В валяется однородной и симметричной относительно оси абсцисс (ординат), то момент инерции 1„(1„) равен удвоенному моменту инерции относительно оси Ох (оси Оу) половины этой фигуры, расположенной но одну сторону от оси абсцисс (орлинат). 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
