Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 80
Текст из файла (страница 80)
о ! (28.22) 4) Г(х)= ао " гг плх, плхг Г(х)= — + 2 ( а„сов — +Ь„яп — ), (28.14) Рнс. 189 430 431 Подставив зто значение в Ь„, получим ! Г ! ('" 2 ) ! Г ! 1 4л Ь =-~=х сових +- 0~=-~ — 4л'сов2»п-О~= — —, в »Ь л и 4л 4к 4» откуда Ь,=-4к, Ь, —, Ь,= —, Ь =- —, 2 3 4 Подставляя значения козффнциентов а„н Ь„в формулу (28.!), находим 4»' Г 4л 'з !4 4к хг= — +(4совх-4ляпх)+ (сов2х — — ип2х)+1-совЗх- — япЗх +...= 3 2 ) 1,9 3 4л' Г сов2х лвгп2х совЗх лвгпЗх = — +4 совх-кяпх+ — — — + — — — +.... 3 2' 2 3' 3 Г(2 -О)+Л2 +О) В точке разрыва х=2л сумма ряда равна ; так как 2 эг[2л — 0)=4лг, Г(2»+0) =О, то сумма ряда прн х=2к (а тахже во всех точках 4лг+О вида 2»п, где п=О, + 1, +2, ...) равна =2»г.
° 2 11. Разложите в рлд Фурье периодическую функцию, заданную в промежутке 0<х<2к: х при 0<х<к/2, (О при 0<х<гг, 1) /(х)=~ ' 2) Г(х)= к/2 при к/2<х<З»/2, (х при к<х<2к; 2» — х при 3»/2<к<2» (данная функция четная, поэтому рассмотрите ее в промежутке -к<х<», а промежуток интегрирования разбейте на промежутки 0<х<к/2 и к/2сх<к); 1 при 0<х<к/2, — 1 при к/2 < х < 3 к/2, 1 при 3»/2<х<2к; х при 0<х<к/2, к — х при к/2<х<З»/2, х-2» при Зк/2сх<2». 85, РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПРОМЕЖУТКЕ Если функция Г(х) в промежутке -!<х<1, где ! — произвольное число (!>О), удовлетворяет условиям Дирихле, то ее разложение в ряд Фурье имеет внд плх а„=- ~ Г(х) сов — 4Х, -1~ ! 1 Г плх Ь =- /(х) яп — Ых.
-г Ряд (28.14) представляет собой функцию с периодом 21, т. е. Г(х+2!)= =/(х). Еслибы(х) — нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только синусы: плх Лх)= г, Ь,яп —, Если же У(х) — четная функция, то ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы: пкх Г(х)= — + 2, а„сов —, 2 „," !' (28.20) о 12. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке — ! <х<1 уравнением Г(х)=хг. О Данная функция является четной. Графиком функции служит дуга параболы, заключенная между точками (-1; !) н (1; 1) (рнс.
189). Здесь 1=!. Поэтому, используя формулы (23.21) н (28.22), имеем ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА по =- ~2 (х) атх= 2 х'атх=-, о о 1 ! 2) илх а = ~1(х)соз — ттх=2 х'созилхах. о о П вариант 1 вариант 1) Разложите в ряд Фурье перио- дическую функцию с периодом 2л, заданную в промежутке — к<х<к формулами (2 при — ксх<0, Г(х) =т ((О при 0<к<к. 2) Разложите в ряд Фурье по ко- синусам функцию Г(х)=х, заданную в промежутке 0<х<л. откуда или 432 28 — 3!62 433 Интегрируем по частям: и=х', Аи=созилхАХ, ди=2хатх, Б= — япилх; 1 ил тогда 1 1 а„= — х Б!пилх — — хяпилхт(х= — хз!пикхт(х.
ик е Итт" ил 2! о о Снова интегрируем по частям: и=х, тти=зтпилх, Ни=2(х, и= — — созилх, 1 1 ! 1 Р 1 Г хяпилхах= — — хсотилх + — сот тптх2(х= вт о о 1 111 — — х сот илх+ япикх ил и'кт о 1 „1 =- — созил+ — Бтпил — ( — О+0)= — — ( — 1)"= — ( 1)( 1) — ( к и'лт Подставив зто значение в а„, находим а„= — . †( — !)"" = †( — 1)", 4 1 „4 х " ик ил итк1 4 4 4 4 откуда а,=- —, а = —, а = —, и = —, .... л 2 лт' 321тт' ~ !Блт' 2' 2 2 ' 1 Подставляя значения коэффициентов а„в формулу (28.20), получим 1 4 4 4 х = — — —,соках-1- — соз2лх — — соБЗлх+...
3 л 22л' 32 2 2 соэ 2лх соз Зкх х = — —, созлх- — + — — . ° 3 лт(, 2' 3 13. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) =х, заданную в промежутке -2<х<2. 14. Разложите в ряд Фурье функцию Г(х)=)х(, заданную в промежутке — 1/2 <х < 1/2. 15. . Разложите в ряд Фурье только по синусам функцию /(х)=хэ, заданную в промежутке 0<х<1/2. 16. . Разложите в ряд Фурье функцию /(х)'=хэ/2„задвинуто в промежутке — 3 < х < 3.
1) Разложите а ряд Фурье пернолическую функцию с периодом 2л, заданную в промежутке — л<х<л формулами 1 при — л<х<О, ( — 1 при 0<х<л. 2) Разложите в ряд Фурье по синусам функцию Г(х)=х, заданную в промежутке 0<х<л з б.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ При изучении различных мвисимостей в электрических цепях с несииусоидальиыми токами применяют ряды Фурье. Переменный синусоидальный ток 1'=1'ЯППИ имеет период 2л/в. Несинусоидальный ток разлагают в ряд Фурье вида ае 1(т)= — +а, созеи+ь, инта!+а,сок 2еи+ь, Яп 2ои+ +...+а созитет+Ь Япиан+.... (28.23) Формулы для нахождения коэффициентов ряда (28.23) получаются из формул (28.11) — (28.!3) с помоптью замены переменной х=вт и имеют вид: 2! по = — Г(вт) т(т, (28.24) о 222 а„= — /(вт) соз ивт т(1, (28.25) о ьыи — Г(вт) яп иеи атт.
(28.26) о 17. Разложить в ряд Фурье функцию двухполупернодного выпрямленного синусоидального тока: Ажпцн при 0<!<к/в, 1'(т) = -Аялон при к/в<т<2л/в (рис. 190). О Данная функция является четной, поэтому Ь„=О. По формулам (28.24) и (28.25) иахолим 22 2ет !', 2Ав 2А 4А ае= — ~ АБ!Пвтт(т=- — (созвт]8 = — (сот к — соБО)= —, таа л к о Рнс.
190 Рнс. 19! Рнс. 193 Рнс, !92 м 2а ( 2Аа Р а„= — Ав!ввгсовлвгйг= — ~ |жп(аг лвг)+вю(в!+на!и й= 2л ь ь Аа ! = — ~ (йл(л+Цав-в!п(л-Цвг~гй= ф Ав ! 1 к (л+Ца — — — сов (л+ Ц аг+ — сов (л — Ц аг ( — Цв вА 1 ! ! 1 — — — сов(л+ Ц л+ — сов(л — Ц л+ — —— л (л+Ца (л-Ца (л+Цв (11 — Ца~ А 1 2 ! — сов(а+ Цл+ — сов(л — Цл — — С= л л+1 О, если л — нечетное; 4А —, если л — четное.
я(л'- Ц' 4А 4А 4А Тогда аг — —, аф= — —, аб= —, Зл* ф !5я' 35к' Подставляя зтн значения в формулу (28.23), лолучнм 2А 4А 4А 4А 1(г) = — — сов2фи- — сов4аф- — совбвг-..., л Зл 15л 35уг 4А9'! ! 1 1 1(г) = — ~ — - сов 2 аг — сов 4аи — сов б аг —... ° Збг (,2 3, 15 35 18, Разложите в ряд Фурье функцию А при 0<!<к/а, -А при л/а<в<2лубв (рис, 191), 19.
Разложите в ряд Фурье функцию 1= — г (рис. 192). Аа 2л 20. Разложите в ряд Фурье функцию однополупериодного выпрямленного синусоидального тока (рис. 193). 434 21. Разложите в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока (рис. 194). ' Глава 29 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ б 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Переменная велнчнна г называется фунхчией двух лерефбеллых величин х н у, если каждой паре допустимых значений. х н у соответствует единственное значение г. Функцнн двух переменных обозначают снмволамн г=З(х, у), г=Р(х, у), г=г(х, у) и т. и Зяаченне функции г=фб(х, у) прн х=а н у=Ь обозначают через г"(а, Ь).
Упорядоченная пара значеннй х н у называется тачкой М(х;у), а функция двух переменных — функцией втой точки г=Я(М). Переменнаа величина и называется функцией трех леременных величин х,у, г, еслн каждой упорядоченной тройке значений х,у, г соответствует единственное значение и. Аналогично определяется функция л переменных. Множество всех точек, в которых определена функция л переменных, называется областью алргделенил (существовання) фуюбчии.
Некоторую замкнутую область П на плоскости, ограниченную данными лнннямн, можно задать с помощью одной нлн несколькнх систем неравенств вида Рнс. 194 435 а<х<Ь, 21(х)<у<гг(х). 1г9. Ц 1 н б б л ~ фу~ш = 9-* -У'. О Данная функция определена, если 9-хг — уг>О, т. е. хг+ув<9. Этому соотношению удовлетворяют координаты всех точек, которые находятся внутри круга радиуса Д 3 с центром в начале координат, в также на его границе. Областью определенна данной функцнн н является указанный круг. ° 2. Найти область определения функции г= /5х — -А 3 Ту' Рнс. 195 Рис. !96 У= — Зх+13, ! А(4; 1); ' С(7; 8); ! у=х — 3, У= — Зх+29, В(8; 5); У= — Зх+13, Е(З; 4), 436 О Первое слагаемое определено при х>0, второе — при у>0. Следова тельно, область определения есть 1 четверть плоскости хОу.
° з. д Ф~щ гв,г)= — —. в * г!о,%ге, С, 2х-у+1 Зх +у +2 /'(2, 1). 2.0-0+! 1 2 1 — !+! 1 3 0'+О'+2 2' ' ' ' 3 1'+!'+2 3' 2'2-!41 3 2 +1'+2 Б' 4. Найти область 23, представляюпгую собой множество точек круга с центром в точке ( — 3; 2) и радиусом 6. О Заданная область изображена на рнс. 195. Абсциссы точек круга изменяются в пзпомежутке — 9 < х < 3. Уравнение заданной окружности (х+3 '+ -2) =36 представим в виде — 2)'=36 — (х+3)г или у=2х 27 — бх — хз. Уравнение у=2 — 27 — бх — хз задает нижнюю, а ур Пр ЧСЬ-à — р „рм При изменении х в промежутке — 9 < х < 3 4гункцня у изменяется — 2- 25-~ 6 2+ 527-б — х.
Сгг ство точек круга определяется системой неравенств -9 < х < 3, 2 - 5'и-6~о~2 ~2~-6~. ° 5. Область 23 задана параллелограммом со сторонами у=х — 3, у=х+1, у= — Зх+13 и у= — Зх+29. Записать с помощью систем неравенств вида (29.1) множество точек заданной области. О Найдем точки пересечения заданных прямых н построим параллелограмм (рис. 196): Через вершины А, Е и С проведем прл- у мыс, параллельные оси Оу.
Область гз, огРа- и ч и ениую заданным параллелограммом, раз- , .0 делим этими прямыми на трн области О„ и Ззз. Каждую из этих областей представим сисгемой неравенств вида (29..1). В области .О, х изменяется в промежугке З<х<4. Эта область ограничена снизу прямой у=-Зх+!3, а сверку — прямой у=х+1, т. е. -Зх+13<у<х+1.
Следовательно, множество точек области Ззг можно записать З<х<4, в виде системы неравенств х — Зх+! 3 < у < х+ 1. Рнс. 197 В области 27, х изменяется в промежутке 4« 7. Эта область ограничена снизу прямой у=х —, р у— й =х — 3, а све х — прямои х . та и .0 вы ажается системой у=х +1. Поэтому множество точек области з в р неравенств 4<х<7, х — 3 у — «х+1. 7 <х < 8. Эта область В области Рз х изменяется в промежутке < х . та о х — и ямой у= — Зх+29. Значит, ограничена снизу прямой у=х — 3, а сверху — р множество точек ооласти з за б 27 вписывается в виде системы неравенств 7<х<8, х-3<у<-Зх+29. ° «=4х' и 6.
Область 13 заключена между двумя параболами у = х' ви (29.1) х'=-у. Записать с помощью системы неравенств да ( . ) 2 множество точек этой области. 2 О Найдем точки пересечения парабол, р!меем- ) =2хг'О(0;0)иМ(1;2). Из рис. 197 видно, что область 21 можно записать с помощью системы неравенств 0<х<1, 2х'<у<2 /х. Ф 7. Найдите область определения функции: 2 2 о ят~, -т+ !6 — у'; 2) * 1 3) з= ,/ха+у'-4 8. Найдите частное значение функции: 1) у'(х, у)=,, в точке (2; — 1); 2) у( у)= х+У в точке (3; -4). 9. Запишите с помощью систем неравенств вида (29.1) замкнутые области 23, заданные следующим образом: 1) у=х, у=х+6, у= — 0,5х+3 и у= — 0,5х+9; 2) у=х, у=х+4, у=-х+4 и у=-х+12; 3) х>0, у>0, ха+уз<9; 4) У=Зх и у=ха; 5) У2=4х и х=4; 6) ху=1, х=4 и у=х. б 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
