Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Вычислить Двойной интегРал Ц(х+2У)уг»Щ по обл )3 в '4 ограниченной линиями у=х„у 4х и у=-. х О Находим точки пересечения этих линий: Рнс. 206 Рис. 205 у=4х, 4 у=-, Ф(1; 4) (рис. 206). х у=х, 4 у=-, М(2; 2); 1 4 1 1,= (х+2у)2(хуу= 2(х (х+2у)2(у= [»у+у!)4"4(»= в, е а 1 1 г (4хг+ !бхг-хг — хг)1!х=13 хг У(»= !3 ' — =6. 3 9 9 9 Вычислим двойной интеграл по области 1)2! 2 4* г 1 = (х+2у)Ы»У(у= У(х (х+2у)У(у= [»у+у!]4*2(х= 92 1 4 ! 2 — 4+ — — хг-хг у(»= (4+16х г-2»2)у(х= 4х — --хг =7-. т 1 1 1 1 Значит, 1=1,+12=6+7-=13-.
Ф 3 3 21. Изменить поридок интегрирования в двойном интеграле ) 22» | /(х, у)2(у. о О Зная пределы интегрирования, запишем область интегрирования 12 в виде системы неравенств 0<х<1, х<у<-хг+2. Построим линии х=О„х=1, у х и у= — хг+2 (рис. 207). Найдем точку (у=х, пересечения линий: с( у= — х +2, МП; ). Область О разобьем на две области ))! н 272, которые соответственно определяются спстемамн неравенств О <х< 1, х <у <4х н ! <х < 2, »<у<41», Вычислим двойной интеграл по области 27,: Область Р явлается простой относительно сон Ох. Рассмотрнм область В относательно осн Оу. Через точку М(1; 1), в которой стыкуются участки верхней границы области В, проведем прямую, параллельную сон Ох.
Эта прямая делит область В на две обласгн В, н .Вг, которые валящем в виде сне>ем неравенств 0<у<1; 0<хну н !<у<2; 0<к< /2-у. Тогда, согласно формуле (29.8); получим -»гаг ! т ( Л )(У=ИУИ ° )Ь+ о о о г,.где +) тгу ) у(х, у)>Ь. В> о Рнс. 207 ла. Вычислите повторные интегралы: ! з г»г г з 1) )Ь)(х'+у*)Ф 2))Ь)(х+2У) Ф; 3))йу)( +у )Ь; о о о з г. г ат ! „г 4) ) >Ь ) ->/у; 5) ) >/у ) ху >Ь; 6) ) а/у )' (Зх-2у) >Ь. г *" ! гт о о 23. Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными лнниямн: 1) ЦхтЬ>/у, ху=4, х+у-5=0; 2) Цхгу>Ь>/у, л в ха+уз=!6, х+у-4=0; 3) Цу>Ьб/у, у=ха, х= -2, х=2, у=4; о 4) Цхзу>Ь>/у, у=х, у=1/х, х=2; 5) Цху>Ьс>у, У=О, у=4-хг; в о 6) Цхз>Ь>/у, х=О, у=х, у=б — хг.
в 24. Вычислите двойные внтегралы по областям, ограниченным указанными паннами, предварительно разбив заданную область на две области: 1) Цх>Ь>/У У х, у 2х, У=Зх; 2) Ц(х+у)>Ьлу, у=-, у=х, у=4; в о х 3 4 3) Цут/хл>у* У -х, у=-х, х>0, у>0, хгтбуг 25. в 25. Измените порядок интегрированна в двойных интегра- лах: г а-»г 3 б-т г б-» 1) ~>Ь ~ /'(х, у)>/у; 2) ) >/у ) /'(х, у)>Ь; 3) ~>Ь ) /'(х, у)а>у; ,/>б:хг 4) ) п>у ) /(х,у)>Ь; 5) ) гЬ ) /'(х,у)т/у.
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 11 вариант 1 вариант ванна в двойном интеграле а з г (йу ) Лх, у)т(х. ! 1 >' ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 0» $4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х н у к полярным т н тр (см. гл, 14, 8 1) выполняется по формуле Цу(х.
у)пх >У=Цу( чь тп' Е)тй йр, (29.10) о о где х=гсоа>р, у=тип>р, т>/тйр=>/Я вЂ” днфференцнал плошлдн. Вычнсленне двойного интеграла в полярных координатах своднтса к вычнсленню повторного интеграла по т н >р в заданной областн В. Еслн область В (рнс. 208) ограничена лучамн, образующими с полярной осью углы ч>! н Ч>г, н кривыми т=т, (Ч>) н т=тг(Ч>) (где Ч>! <Ч>г, т, <гг), то двойной интеграл вычисляется по роомуле ог !и> ЦУ(х, у)>>х>(у= ) йр ) У(тсоа>р, трпя>)тйт. (29.1!) о Ф!»! >Ф> Еслн область В ограничена линией, т=т(тр) н начало коордннат лепят внутри областн В (рнс.
209), то ЦУ(х, у)Входу=)~мйр('»Ятсоыр, тнп>р)тй. о (29.12) 26. Вычислить двойной внтеграл Цгяпф>/гт/тр, если область о  — круговой сектор, ограниченный паннами г=а, тр=н/2 и тр=н. г г(Р Рнс. 209 Рнс. 208 1) Вычнслнте повторный ннтегг г рал (>(х((хг+2ху) Ву. о о 2) Вычнслнте двойной интеграл Цху>Ь>ту, где  — область, огранив ченная параболами у=хг н х=у'. 3) Измените порядок натегрнровання в двойном ннтеграле а г» ) >тх ) у(х, у) йу. 1) Вычислите повторный ннг т' теграл ) йу ) (2х+у) >(х. -г о 2) Вычнслнте двойной ннтеграл х Ц вЂ” >Ьйу, где  — область, ограоу ннченная лнннямн у 1/х, у=х н х=4.
3) Измените порядок ннтегрнро- Ряс. 2!0 Рис. 211 О Построим сектор ОАВ с певтром в полюсе О (рнс, 210). Имеем повторный интеграл Цгипфйо!р«а ( [гяпфс(г. э «12 о Вычислим внутренний интеграл, считая нпср ностоялным: а ГуЛ ~ л2 гипфаг=~ — в?пф ( = — ипф. ~ 2 о Вычислим внешний интеграл: лг л л 2 — ип ср с(ф = — [сов Ф') = — ( — 1 — О) —. ° 2 н? 2 2 «2 27.
Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной интеград Ц(х+у) йг лгу, если область 22 ограничена э линник!и хг+уг= 1, хг+у?=4 у>0. С! Построим область В (рис. 21!). Применив формулы перехода к поларным координатам, получим х=гсовф, у=гяпф; тогда 3) (х+у)с?хйу=)! (гсовф+хипф)гс(гйр. э о Область О в полярной системе координат запишем в виде системы неравенств 0<ф<я, 1<к<2. Поэтому «2 Ц(к+у) с(т Б(у = ( а(ф [ г'(сов ср+ ип ф) «гг. о о Вычислим внутренний шпегрвл, считая сов«9+илф постоянным: г 1 (совф+ипф)с(г»а~ — (совф+япср) =(сов?9+ипф) — =-(совср+в(вф). (3 (тз з/ з 1 Вычислим внешний натегрнл: т(' 14 (сов ф+Б1п ф) с(ф=-[в!в ф — сов ф! = —.
йв з~ 3 3 о 28. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной интеграл Ц /хг+у'с/хс(у, если область 11 ограничена о частью окружности х'+у?=16, х>0, у)0. О Построим область Р (рис. 212). Полагая х=гсовф, у=гвшср, получим сг«сг» ° с» «= Рис. 212 -ста 'с '*«1-.. Облвсть ?9 в полярных координатах определяется системой неравенств 0<ср<я/2, 0<г~ф. Согласно формуле (29.11), находим *12 ,1? а и/х?+у?Ахйу«а йр г.гс(г= с(ф г'Й= о о о о о ? и? [„?)а,~ф,бв,у [, ) ? о о 29. Вычислите повторньге интегралы: г» г» «12 б ,«г 1) ) йр ) ггй; 2) ) йр) к?сов?рй; 3) ) йр) ггяпгрй; о о 16 э О 1 «12 2 «16 2 са«О 4) [ йр) гэсовфс(г; 5) ) йр ) гсовгрйт о — «!б 2 30. Вычислите двойные интегралы: 1) Цг'Фраат, )3 — область, ограниченная окружностями г=! и о г=з; 2) Цг'йрй, область !3 задана системой неравенств я/4<ф<я/3, о 2<к<4; 3) Ц в?п 21рйр й, область Р задана системой неравенств о и/б«р<я/2, 1<к<3.
31. Вычислите двойные интегралы, предварительно преобразовав их к полярным координатам: Г Ь4у 2 1) ц —,. „!3 — круговое кололо между окружностями х + () х?+у?' о +у =! н х'-!у?=9„. 2) ~ ? 2 . /З вЂ” область, ограниченная окружностью х + с(ха(у ?+ 21 о +уг < 11 29 — З!62 л лестью х +у <16. (29. ! 3) Рнс. 215 Рнс. 214 а=Цгз/гйр. э (29.!4) 29' 450 451 3) 25 — хз — уз 3/х а!у, /У вЂ” область, ограниченная окруж- б 5.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Площадь Я плоской областн 12 в прямоугольных координатах вычисляется по формуле в а в полярных координатах — по формуле 32. Вычислить площадь области, ограниченной линиями у=ха и у= х+6. О Найдем точки пересечения данных лнннй (рнс.
2!3): )'у=ха, Область |з запишем в виде системы неравенств (у=к+6, М(3; 9), /Ч(-2; 4). — 23х<3, хз<у<х+6. Согласно формуле (29Л3), получим 3 «44 3 э — ну= )у)" 43/х««(х+6 — хз)д = -2 2 -2 -2 Гхз хз1 3 5 =~ — +бх — ~ =20-(кв. ед.). 82 ~2 ЗЛ 3 6 33. Вычислить площадь области Ю, заданной неравенствами п/4 < ф < я/3, 2<г<4 (рнс. 214). О Используя формулу (29Л4), находим НЗ 4 ((туг«/ф= йр гт/ = а Ча 2 12 «33 )гз)~с(р=б а!р=61ф)аз=-(кв. ед) йР «24 а4 34.
Вычислить в полярных координатах площадь области О, ограниченРнс. 2!3 ной окружностью х'+уз — 4х=О н пря- мыьзн у=О, у=х. О Найдем точхн пересечения окружностн н прямой: Е ! 0(0; 0), М(2; 2) (рнс. 2!5), у=х, Для построения окружности преобразуем ее уравнение: хз-4х+ +4+у 4, (х — 2)3+уз 4, отхуда следует, что центр окружностн есп точка 0,(2; 0), а Я=2. Для вычисления искомой плошадн в полярных координатах находим г н ф.
Учитывая, чт6 х=гсозф н у=галф, эапншем данное уравнение Ха+у' — 4х=О в полярных коордннатах: гзСОазф+Гзз!Пзф — 4тсозф=О. Упростив его, получнм г'(соз~ф+3!п~ф) — 4гсоаф=О, тз — 4тсозф О, г, О, гз =4созтр. Теперь находим угол «р: гйф у/х=2/2=1, ф=я/4. Следовательно, область 22 определяется снстемой неравенств Опф<к/4, 0<г<4созф. Согласно формуле (29.!4), находам <4 44«4 /4 Ча !Г,„„ — гз/тт/ф= «/ф гт/г=- [тз)~~'назар=8 соззф«/ф= а а а а а Г !+соз2ф Г Г 8~ 2 Фр=4 (!+со32ф)йр=4р+-нп2ф)! =я+2(кв. ед). ° 2 35.
Вычислите площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область Ю ограничена линиями: 1) у=8/х, у=-х+9; 2) у=4/х, у=х, у=4; и 3) у=я!пх, у=созх, х=О; 4) у=соях, х=О, х=-, у=1; 4 5) у2=4х, у=х; 6) у=хз, у= — ха+2, х=О, 36. Вычислите в полярных хоординатах площади областей, ограниченных заданными линиями: 1) г=4, ф=п/6, ф=я/3; 2) 2=1, г 2, ф=п/6, зр=я/4. 37. Вычислите площадь области Ю, заданной в полярных координатах системой неравенств 0«р<п/2, Обг<3сояф.
38. Вычислите площадь фигуры, ограниченной окружностями т=! и г=2соязр (вне окружности г=1). 8 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА Объем цнлнндрнческого тела, ограннченного сверху поверхностью 2=/(х, у), снизу плосхостью 2=0 н сбоку прямой цнлнндрнческой поверх- пастью, вырезающей на плоскости хОу(г=О) область О (рис. 216), хр' вычисляется по формуле Р'=)) 2)/х р/у. (29.15) - и 39. Вычнслнть объем тела, ограниченного поверхностями з=2х+1 х=О у=4 у=х' О Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, распологкенный в ! Рис. 216 октанте. Сверху тело ограничено плоскостью 2 2х+1, сбоку параболическим цилиндром у=хг и плоскостями х=О н у=4, снизу параболой у=хг н прямымн х=О и у=4.
Найдем точки пересечения параболы у=хг и прямой у=4: с у=хг, Значение х= — 2 не рассматриваем, так как цилиндр у=4, врг(2; 4). располо)кен в 1 антанте. Область О запишем в виде системы неравенств 0<х<2, хг<у<4. Согласно формуле (29.!5), получим 2 О 2 !«= ~)/х )/у = )/х (2х+! ) )/у= [2ху+у) ~, з/х в« в о,г о 2 — (8х+4-2х -х )1/к=13-(куб. ед.) ° з г 3 о 40. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями к=3-х — у, ха+уз=! н к=О. О Данное тело есть прямой кругоной цилиндр, ограниченный сверху плоскостью 2=3-х — у, а снизу — кругом хг+у2=1 в плоскости 2=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
