Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 79
Текст из файла (страница 79)
0 при 0<х<п (-1 при -п<х<0, 2) у(х)=~ в промежутке — й<х<п. 3 при 0<х<й 3. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию !СХ) =2х+ 3 в промежутке — й < х < и. 3 2. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ Если в промежутке -й<х<й функция !"(х) является нечетной, т, е, у"(-х)=-у"(х), то а =О, а„=.О, о Следовательно, нечетная функция разлагается в ряд Фурье по синусам: 1(х)=Ь1япх+Ь,яп2х+ ...
+Ь„вгвих+ .... (28.7) В случае, когда функция У(х) определейа в промежутке О <х<й, ее также можно разло1кить в ряд Фурье только по синусам. Для зтого функцию ну1кно доопределить в промежутке — й<х<О так, чтобы в промежутке -й<х<й она оказалась нечетной. Например, если функцию)'(х)=х, где О<х<й (рис.
181,д), дополнить ее нечетным продолжением в промежутке — й<х<О (рис. 181,б), то получим нечетную функцию, рассматриваемую в промежутке — й<х<й, которую можно разло1кить в ряд Фурье только по синусам. Вне промежутка -й<х<я функция является периодической с периодом 2й. 4. Разложить в ряд Фурье периодическую У функцию Дх) = х, если -п<х<п. 0 График функции вместе с периодическим продолжением на всю ось Ох изоб- Я -Д ж д ражен на рис.
182. %данная функция удовлетворяет условиям Диривле, поэтому ее можно разложить в ряд Фу- а) ф рье. В промежутке — я<х<я функция у"(х) х — нечетная, Рис. 181 позтомуее можно разложить откуда следует, что в ряд Фурье только по синусам Коэффициенты Ь„находим 1 1 -=!†+- †-+- Ф 4 3 5 7 2 Г Ь„=-~ Г(х) о Интегрируем по частям; ! = — соз»х, имеем л = — [(- )'- ) = — [ -(- ) ) 2, 2 пл пп т.
е. ) з!пх яп2х япЗх яп4х х=2 — — — + — — — +... 1 2 3 4 Рнс. 183 Рис. ! 84 2 2 л ! -=2~1-0 + + „ 2 С 3 5 7 425 424 (коэффициенты при косинусах равны нулю). по формуле (28.6): 2 Г З!П Пх ЫХ лл Х З(П Х !/Х. о полагая и х, Ии = зт пхг/х! 2/и = л/х, е = 1" Ь„=- =хсозлх +- сових!/» =- --Хсозлх+ — з!Ллх л~ п П л л и о о 2( 1 1 1! 2Г 1 ) 2 — + — -(О+О) =-~ = „„ ПС» и 2 к л л л 2 ! откуда Ь,=2, Ь =-1, Ь,=-, Ьл=--, ...
3 2 Подставив эти значения в формулу (28.7), получим 2 1 х = 2 яп х — з(п 2х+ — яп Зх — — яп 4х+ ..., 3 2 Это равенство имеет место в точках непрарывностн функции 7"(х), т. е. во всех внутренних точках промежутка — л<х<л. Вне этого промежутка этот ряд изображает периодическое продолжение даняой функции. В точках разрыва +я; +Зк, ... сумма ряда равна среднему арифметическому ее левостороннего и правостороннего пределов в этих точках.
Предел в точке х=-к есть 1ип Г(х)= йа х=-л; предел в точке х=л -лло — ле есп 1!а /(х)лл йа х=к. Найдем среднее арифметическое этих пределов: -о Г(- л+ 0)+Г(л — О) — гг+ л = — =О. 2 2 Во всех точках разрыва получим то же значение, т. е. сумма ряда равна нулю. Полученное разложение можно записать и в таком виде: с з!пх з!в2х заЗх ) (х при — гг<х<к, 2 — — +— ! 2 3 ~ (О при х=(2Л+1)л.
Этот ряд можно использовать для вычисления значения л/4. Пусть к=к/2; тогда 5 . Разложить в ряд Фурье периодическую функцию — 1 при — л<х<0, ! при 0<х<п. О В промежутке — л<х<л заданная функция — нечетная (рис. 183). Такую функцию называют ступенчатой. Ее ряд Фурье содержит только сянусы. Коэффициенты Ь„находим по формуле (28.0): Ь =- Г!Х)яплхл/х=- 1 а!пах!/х=- — сохах = — (сохах-со!0)= л(, л у)е пл 4 4 4 откуда Ь, =-, Ь2=0, Ьз=, Ьа=О, Ьз= Подставив зги значения в формулу (28.7), полУчим 4, 4, 4, 42ляпх япЗх яп5х Г(х) = - з!и х+ — яп 3х+ — з!и 5Х+... = -( — + — + — + ..., к Зл 5к ' л~ 1 3 5 42лз!пх япЗх и!п5х ! ( 1 при О<х<л, -( — + — + — +... (=~ л(, 1 3 5 '"/ ) — 1 при — л<х<0. В точках разрыва х=кк сумма ряда Равна л/2 ° Точкой разрыва функции является точка х= 0.
На основании теоремы Днрихле в этой точке сумма ряда равна нулю, т. е. среднему арифметическому значений Г( — 0) = — 1 и у'( +о) = 1: Рис. 186 ( х при 0<х<л/2 л/2 прн л/2<х<л /(х) = О Функциа /'(х) задана в промежутке О<х<л, но так как ее надо разложить только по 1ЫА б. В промежутке 0<х<л разложите в рлд Фурье по синусам функции: !) /'(Х) = 1(0 <х < 1); 2) /'(х) =х; 3) /'(х)= к/4; 4) /'(х) = л — 2х; )х при 0<хи:л/2« Дх)= 6)г(х)=~ (х при 0<к<и/2, (О при л/2<х<л; (л-х при л/2<х<л; А — х при 0<я<и, и 7) /'(х)= А при п<х<к — и, А — (х — л) при л — п<х<л (рис. !84). только по синусам, или только по косинусам.
7. Разложить в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию с периодом 2л, заданную в промежутке 0<х<л следующим образом: Рнс. 187 2 1' ао=-~/(х)АХ, л~ е (28.8) 2Г а. = -~ / (х) соз лх «(х л~ Б (28.9) 426 427 8 3. РЯД ФУР!«Е ДУ«Я ЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ Если в проме1кугке — л<х<л функция /'(х) является четной, т.
е. Л вЂ” х)=/'(х), то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам Ь„= О. Следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам: ае /(х)= — +а, соя х+а2 соя 2х+ ... +а„соя лх+ .... (28.10) В случае, когда функция/(х) определена в промежутке 0<х<л, для ее разложения в ряд Фурье только ло косинусам эту функцию нужно доопределить в промежутке — л<хцО так, чтобы в промежутке — л<х<л она оказалась четной.
Например, если функцию/(х)=х, где О<х<л (рис.!85,а), дополнить ее четным продолжением в промежутке — л<х<0 (рнс. 185,6), то полученную в промежутке — л <х< л четную функцию можно разложить в ряд только по косинусам. Вне промежутка — к<х<л функция является периодической с периодом 2л. у Итак, если функция/(х) задана в промежутке 0<х<л, то в соседнем промежутке — к<к<0 можно осуществить как ее нечет-л р нос, так н ее четное а~ 1(~ продолжение; следовательно„функцию /'(х) можно разложить или косннусам, то в промежутке О<х<к функцию /(х) ну:кно дополнить ее четным продолжением (рис.!86).
Используя формулы (28.8) и (28.9), получим 12 а =- /(х)а =- хая+ 2АХ Б е !2 + х 2 л 8 4 «22 2 Р 2 Г Гл а /(х) созлхАХ хсозлхАХ+ созлхАХ л л ~ 2 е е 12 Первый интеграл вычислим по частям; полагая и=х, Ал=соялхАХ, 1 лй«=Их, е=-яплх, имеем л «22 «12 г хсозлхАх=-хЯплх — Яплх«(х= хз!плх+ созлх л о л л е е о 1ГЛ л ! я 1~ Б!ПЛ + СОБЛ— .~2 2 ., 24 Вычислим второй интеграл: л созлхАх=-' Бшлх = 21плл — 21пл = — 21пл-. 2 2~ 2л 2 «12 Значит, 2Гл л 1 к ! л л1 2(! л !1 а„=-~ — Б!пл-+ — созл-=,=япл- =- — созл — — = л~2л 2 лз 2 л2 2л 2А' л~л 2 лз~ 2 Г л соз л — 1 л'л 2 1Г 1Г а„=- Г(х)совпх1/х=-~ х совлх«/х.
к 2 4 аг ао 52к бгк' Интегрируем 1 0=-ИППХ, ПОЛУЧИМ и 2« !Г! 2«2Г а =- -х'вгп»х --~ Х51плхЫх к~и л 429 2 откуда а, — —, аг= —, аг=- —, а«=0, 1гк' 22к 3'к 2 2 4 аг ав О ао ' а10 72к' 92к 10'к Подставив значения а„в формулу (28ДО), получим Зк 2/сов х сов Зх сов 5х 21 4/сов 2х сов бх сов! Ох Г(х)= — — ~ — + — + — +.. ) — ~ — + — + — +.... 08 8 к(,1 32 52 2) к~, 22 бг 102 8.
Разложите в ряд Фурье периодическую функцию/'(х)=~х! при — к < х < к (рис, 187), 9.ВпромежуткеО<х<к разложите в ряд Фурье по косинусам функции: хг к .х (1 при 0 <х < к/2, 1)/(х)«« —; 2)/(х)«« — —; 3) /(х)=~ 4' 4 2' (1/2прик/2<х<к; к/3 при 0<х<к/3, 4) Г(х)«0 О при к/3<х<2к/3, — к/3 при 2к/3<х<к. 84. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ И ПРОМЕЖУТКЕ 0<х<2к Если функция Г(х) определена в промежутке 0 <х < 2к, то для вычисления козффицнентов Фурье справег)ливы следуюшие формулы: 2 ао = - ~ /(х) 17Х, 1 Г (28Л 1) о 2 а„=-~ Г(х)совпхЫх, (28.121 о 2« 1 Г Ь„=-~ Г(х)51плх«Ьх. !28.13) о 10.
Разложить в ряд Фурье периодическзчю фУнкцню, заданную в промежутке 0 <х < 2к равенством,Г(х) = х (рис. 188). 13 Функция /(х)=хг в промежутке 0<ХК2я не является ни четной, нн нечетной. Козффнциенты Фурье вычислим по формулам (28.1!) — !28.13). Имеем 2« 2« 1 Г 1 Г 2 ! хгр. 8кг ао=-~ Г(х)«Ьх=-~ хггбг=- — ~ аз~ з' о о о о по частям; пологая и х', ао= сов пх 21х, «/и = 2х «/х, о 1 Снова интегрируем по настям: и=х, 00=51ппхвХ», Ни=ИХ, 0= =сових; П тогда 2« 2* 12 хвшлхв/х= — хсовлх + совлхах= =хсовпх+ 51ппх и п .П А 2 О о 0 1 1 1 2к = — 2ксов2яп+ — ип2кл-(О+0)=,— -2я+О= — —, и П2 и и Подставив зто значение в а„, получим а,=- -хгппх -- — — =- -4л вш2к+ — =- О+ — = —, 4 1 4 откуда а,=4, аг=1 аг, а«=-, а,= —, ....
9 4 25 Далее, находим 2 1Г 1Г Ь„=- Г(х)51ппхдх=- х вшпх«гх. к о о 1 Интегрируем по частям: и=х, «01=51ппх1/х, «/и=2Х1/х, 0= — -сових, откуда 1Г 1 12" 2 Г Ь„=- =х'совпх +- хсовпхнх . -й и Снова интегрируя ло частям, имеем и =х, 1!о =сових «/х, 12и = 12Х, 1 о=-вшпх, т. е. и 2» г Х сев ЛХ 12Х««Х ЯП ПХ = 51П Лх 12Х= Х51П ПХ+ — СО5 ЛХ л 2 о о 1 ! / 1 «1 1 1 ю-2квш2ял+ — со52кп- ( О+ —,сов0)=0+ —,— — — О. Л пг пг лг и' где ао — — — — Лх) Их, (28.15) (28.16) (23.17) (28.!8) .где ! 2Г, плх Ь = — Г(х) яп — йх. !3 (28.19) где, 2Г "=-! (") о-1~ (28.21) 3) Г(х)= 2Г плх а =- / (х) сов — ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
