Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Отсюда (1+х) следует, что Гм( ) ( !) -~ (л ' Гм(О)=(-1)" ' (л-!)! (л=1, 2, 3, 4,-) (1+х)" Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение данной функции в ряд Маклорена: хз х х , х" 1и(!+х)=х — + — — +... +( — !)" ' — +.... 2 3 4 л Этот ряд называется логарифмическим рядом. 1 Промежуток сходимости найдем по формуле (27.7): и„=-, = —; — "= — =1+-; Я=!пп 1+- =1, т. е. — 1<х<1. ! а„в+1 ! л+! аь, л л л Исследуем сходимость ряда в точках х= — ! и х= 1. При х= — ! ряд расходится как гармонический. При х= 1 имеем знакочередуюшнйся ряд ! 1 ! 1 1п2=! — +- — +. +( — !)" ' -+ . 2 3 4 л который сходится по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в промежутке — ! <х<1.
и Г,г(х П способ. Известно, что 1п(1+х)=~ —; поэтому разлохгение в ряд ~ !+х е 1 найдем почленным интегрированием ряда для дроби — (см. п. 4 данного 1+х примера)". — =! — х+х — х + ! г э 1+х к 1п(!+х)=~ — = (! — х+х — х + ...)ох= Ых э 31+к о о х х х =х — + — — + ... ( — 1<х<1). 2 3 4 411 я!т(е- Ц...(т — л) и! — н т — -1 п 4!» 4! 1 !+- л= ЙП вЂ” '" =1!Пз —" =1, — !' » этого в разложении нз(т-Ц(е-2)...(т-а+ Ц ... + х" +,... Ц( ! 1И ! 2) з + .
(х)з++ 3! н! =!+х+хз+хо+...х'+... (-1<к< Ц. 4!3 6) Вычислим значения функции и ее производных прн х=О; имеем у(х)=(1+х)'", 7»(х) т(1+х)" ', /" (х)=т(е — 1?(1+х)" з, /'»(х)=е(е — Ц х х(т-2)(1+х)" з, ..., гы(х)=е(т — 1)(е-2)...~е-(п — 1?)(!+Х) "; ДО)=1; /' 0)=е;,Г(0)=е(т-Ц; /'(0)=т(е-Ц(т-2; ...; !4з(0)=е(т-Ц ... х х(т-(н — 1Ц (п=1, 2, 3, ...). Подставив зти значения в формулу (27.9), получим разложение функция Дх)=(1+х)"' в ряд Маклорена: (!+х)"=1+ — х+ хз+ х'+... зн т(»п-Ц е(т-Ц(е-2) !! 2! 3! е(е- Ц(е-2?..,(т-н+ Ц ...+ х" + ....
Этот ряд называется биномнальным рядом. Если т — целое положительное число, то рлд превращается в конечную сумму и получается формула бинома Ньютона. Используя формулу (27.7), найдем промежуток скодимости ряда: е(е-Ц...(е-п+Ц е(е — Ц...(»п — н) е(т-Ц...(т-п) п! ' "' (п+ Ц! (п+ Цп! 1 1+- а„е(е — Ц...(е-л+Ц (и+Ц и! н+1 п Следовательно, ряд сходится к функции (1+ к)" в промежутке — ! < х< 1. При !х!> ! ряд расходится.
В точках х — 1 и Х=1 ряд может сходиться и расходиться в зависимости от показателв степени т. Так, прн е>0 и х= х 1 ряд сходится абсолютно; при -1<т<0 и х=! сходится условно; при е4 — 1 н х=1,,а татке прн т<0 и х»» — 1 ряд расходится. 7) Воспользуемся биномиальным рядом (см. п. 6 данного примера): ( . е т(т !1 (-!И -2) 1 2! 3! Заменяя в этой формуле х на —.х и полагая т — !, получим ( Ц ( Ц( ! Ц з (!+( )1- !+ ( )+ ( )з+ 1-х 2! 8) Воспользуемся разложением в ряд Маклорена созх (см.
п. 3 данного примера): 1 х» хо" созх=! — + †... +( — Ц" — + ... (-со<х<ос). х 2!. 4! ' (2п)! () Заменив в этом разложении х на 2х, получим (2т)з (2х)4 (2т)з» соз2х=1- — + — — ... +(-Ц" — + ... 2! 4! " (2п)! 2 з 2 2з» соз 2х= ! — х + — х»- ... +(- Ц" — хз" + ... 2! 4! (2н)! Разложение (о) справедливо при любом х; поэтому ряд Маклорена для соз2х сходится к порождающей его функции тааке на всей числовой оси. Составим разложение в ряд Маклорена для функции у'(х) соззх. Из 2 тригонометрии известно, что соз'х=-(1+соз2Х); следовательно, 2 1 1Г г 2'.т' 2'х' 2'"х'" соз'х=-(!+сов 2т)=-~ 1+1 ! — + — — „.
+(- Ц", + ... 2 ' 21 1, 2! 4! ' (2н)! 2 2з '2!»-! = ! — хз+ — х»- ... +( — Ц" — х'"+ ... 2! 4! ' (2п )! 9) Запишем выражение данной функции в виде интеграла: агс!йх= о 1 Разложим подынтегральную функцию — в ряд Маклорена. Для 1+х! — =1+х+х + ... +х" + ... (-1<х<Ц 1 — х (см. п.
7 данного примера) заменим х на — хз; тогда получим З 4 4» 2 = — =! — х +т — х +...+(-Ц х "+... „г) !+ з Интегрируя этот ряд внутри промежутка его скоднмости — 1<х<1, находим агс!йх Д! — хз+х» — хо+ ... +(-Ц"х!'+...)дх, о хз х» х! »х агс!йх=х- — + — — + -. +(-Ц" — +" 3 5 7 2п+! Этот ряд скодится в промежутке — ! 4х<1. 1О) Воспользуемся разложением хэ х' х' х!" э!пх=х — — + — — + ... +(-1)" ' — +... (-со<х<со) 3! 5! 71 (2«-1)! (см. п.2 данного примера).
Разделке обе части этого равенства на х, получим пах хэ хэ хэ хм + + ". +( 1) + -. — аз<к<аз. ° х 3! 5! 7! ' (2«- !)! 27. Разложить в ряд Тейлора функцию: 1) /(х)=ез' по степеням х-1; 2) /'(х)=)пх по степеням х-1; л 3) /(х)=совх по степеням х —. б С! 1) 1 способ. Вычислим значения данной функции н ее производных прп х=1; имеем: Дх) еэ",7'(х) 2еэ*, Г'(х)=4еэ*, /' (х)=йе'" 7!"э(х)= =2'еэ*; /(1)=еэ 7'(1)-2еэ / (!)=4ег У (!) 8еэ /! э(1) 2,.э Подставив зтн значения в формулу (27.8), получим разложение функции 7"(х)=е" в ряд Тейлора по степеням х — 1: ,Г 2 4, г" е "=е !+ — (х — !)+ — (х — 1) э+ ... + — (х — !)'-~-,...
1! 2! и! Промежуток сходимостн ряда найдем по формуле (27.7): 2" 2'+' 2" е' а„2" (п+ 1) п! а„= —, а„+,— — — —— и! (п+ 1)! (п+ 1) и! а„э ! «! 2"+ ' и+1, а„, («+11 = —; Я=!пп —" =йщ~ — 1 оо, 2 ' аэ! э ~ 2 т. е, промежуток сходимостн — вся числовая ось. П способ. Если в разложении х' х' х" е*=1+х+ — + — +...+ — +...(-аэ<х< оэ) 2! 3! и! (см. п. 1 позимера 26) заменим х иа 2х„то получим ряд Маклорена для функции е 2э, е' =1+ — х+ — хэ+...+ — х"+..., (э) 1! .
2! п! Функцию е" представим в виде еэ и "е' н подставам зто выражение в формулу (э), заменив х на х-1. Получим еэ'=еэи о е =еэ(!+ — (х — 1)+ — (х-1) +...+ — (т — 1)"+ П 21 и! ' 2) Вычислим значения функции и ее производных в точке х=1; имеем ! 1, 2 23 7(х)=1пх, /'(х)=-, у" (х)= — —,, 7"'(х)= —, э' (х)= —, ..., гэп(х)= х х' хэ х' (- !)' э(п — 1)! г'(1)=1п ! =0; ,/'(1)= 1; /'"(1)= — 1; 7'"'(!)=2! Уэ"(1) = =-2.3,...,/вэ(1)=(-!)" '(п-1)!.
414 Подставив зтн значения в формулу (27.8), получим разложение функции Ях)=!вх в ряд Тейлора по степеням х — 1: 1 -1 2 (-1)" '(п — 1)! 1и х=О + — (х- 1) + †(х — 1)' +- (х — 1)' +... + (х — !)" + ... 2! «! или (х 1)2 (х — 1)э (-1)' 1 (х — 1)" 1пх (х — 1) — — + — +...+ +.... 2 3 и Используя формулу (27.7), найдем промежуток сходимоспс 1 1 а„п+! 1 !+ ! и «+! аэ! п и Я= 1лп 1 —" =1пн !+-~=1, т. е. — 1<х<1. 1п+, ~ п~ Исследуем ряд иа сходимосгь прн х= -! и х=1.
Прн х= — ! получим 8 расходящийся р!щ — 2 — 2 — -4 — ..., а прн х=1 — расходящийся ряд 3 0-0+О-.... Следовательно, ряд сходится в промежутке — 1<х<1. 3) Вычислим, значения функции и ее производных в точке х= л/6; имеем Дх)=соек, /" (х) = — э!ох, 7 (х)=-созх, 7'""(х)=вэ(ох, /'"(х)=соэх; 7(к/6)= =.,/3/2; У'(я/6) — 1/2, Г(к/6) — /3/2, Г" (к/6)=1/2, /э'(я/6) /3/2. Подставив зги значения в формулу (27.8), получим разложение функции .г(х)=осях в ряд Тейлора по степеням х — к/6; сов х= — — х — — х — + — х — — +.. соз»=- /3- х-- — — -г — + " 6 +".. ° 28.
Разложите в ряд Маклорена функцию: 1) /'(х)=еаэ 2) ('(х)=г "„. 3) Дх)=)п 1+- ); 4) /(х)=а" (а>0, аче1). 3 29. Разложите в ряд Маклорена функцию: 1) Дх)=яп3х; 2)Ях)=к(пхз; 3)/"(х)=соз2х; 4) /(х)=а!пэх; 5) /'(х)=з!и —. 2 30. Найдите три первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции: !) 7 (х) =хе*; 2) /(х) = е' "; 3) /(х) =е" сов х; 4) /(х)ме "ящх; 5) /'(х)= —. 1 сов х 31.
С помощью биномиального ряда найдите пять первых членов разложения в ряд Маклорена функции: 1) /'(х)=1„/)ч-х; 1 ! 2)~(х)м,/Ъ-х; 3) /(х)= —. 4) /'(х)= —. ф+х /! — х' 415 32. Разложите в ряд Тейлора функпню: 1)у"(х)=хз по степеням ! 1 х-1; 2)г(х)=- по степеням х+3; 3) у(х) — по степеням х+2; х 1+х 1 4)7'(х)= — по степеням х-1, х 33. Разложите в ряд Тейлора функцию: 1) Лх) = з(их цо степеням х я х х — —; 2)7(х)=созх по степеням х+-; 3)7(х)=сов- по степеням 4' 3' 2 х 2 к х+-; 4)7'(х)=з(п х по степеням х —. 2' 6 34. Разложите в ряд Тейлора функцию: 1) У"(х)=е э* по степеням х+1; 2)7'(х)=хе" по степеням х — 2. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1) Найдите проме куток сходах" мости степенного ряда л 1 И 2) Разложвте в ряд Маклорена 1 вариант 1) Найдите промежуток сходи- 3"х" мости степенного ряда э=1 1 2) Разложите в ряд Маклорена х функцию у(«)=соэ-. 3 3) Разложите в ряд Тейлора по степеням х+3 функцию у"(х)=е '".
функцию у'(х) 1п (! + 5х). 3) Разложите в ряд Тейлора по л степеням х — функцию /(х)=соя«. 3 б 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ «э х' х' 21пх=х — + +- 3! 51 7! Перевелем градусную меру угла в радиаияую: х=!6'ъ0,27925 рад, Подставив зто значение в разложение ап«, получим С помощью формул Тейлора н Маклорена находят числовые значения различных функций. На основании этих формул составлены различные таблицы числовых значений тригонометрических, логарифмических, показательных функций, таблицы квадратных н кубических корней и т.
д. В настоящее время для вычисления значений различных функций используются также микрокальхуляторы и ЭВМ, которые гарантируют достаточную точность н быстроту вычислений. Вместе с тем рассмотренные в этом параграфе примеры вычисления значений функций с помощью рядов полезны не только для выработки некоторых практических навыков, но и для ознакомления с приемами составления алгоритмов вычисления различных функций. 35. Вычислить з(п(б' с точностью до 0,0001. О При вычислении приближенного значения функции с заданной точностью удобно пользоваться знакочередующимися ркдами, так как погрешность приближенного значения суммы меньше абсолютной асан шиы первого из отброшенных членов.
Рассмотрим ряд 0 27925э 0 279251 них=027925 — ' + ' — ...=0,27925 — 000363-1-0000014 — ... 123 12"345 (вычисления произведены на микрокалькуляторе). Абсолютная величина третьего члена этого ряда меньше 0,000! (0,0000!4<0,0001); тогда согласно свойству знакочередуюшегося сгодяшегося ряда, для вычисления приближенного значения достаточно взять сумму двух первых членов ряда, т. е. ил 16'ш0,27925-0,00363 =0,2756. ° 36. Вычислить (п!,2 с точностью до 0,0001, О Рассмотрим ряд хэ «Э х" хз !п(1+х)=х — — + — — + —— 2 3 4 5 Полагая х=0,2, получим (О 2)2 (О 2)э (О 2)« (О 2)э !п1,2=0,2- — '+ — ' — — '+ 2 3 4 5 = 0,2 — 0,02+ 0,00267 — 0,0004+ 0,00006 — .... Поскольку 0,00006<0,0001, для приближенного значения 1п!,2 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму первых четырех членов ряда. Окончательно находим 1п ! 2 = О 2-О 02+0 00267-0 0004 = 0 18227 шО 1823.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
