Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 73
Текст из файла (страница 73)
11. Радиус основания конуса равен Д. Через две образующие конуса, составляющие угол р, проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде, стягиваемой дугой п(пс180'). Вычислите площадь полной поверхности конуса. 12. Прямоугольный треугольник, катеты которого 3 и 4 см, вращается около оси, параллельной гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла. Вычислите площадь поверхности фигуры вращения. 13. В равносторонний конус вписан равносторонний цилиндр. Найдите плошадь боковой поверхности конуса, если площадь боковой поверхности цилиндра равна Я. 14.
В конус вписана правильная и-угольная пирамида, у которой каждый из плоских углов при вершине равен ю Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен г. 15. Треугольник со сторонами 8 и 5 см и углом между ними 60' вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно меньшей стороне. Найдите площадь поверхности фигуры вращения.
16. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Сторона основания пирамиды равна а, двугранный угол при ней равен а. Вычислите плошадь полной поверхности конуса. 17. В правильной пирамиде боковое ребро равно лг и составляет с плоскостью основания угол а. Вычислите площадь полной поверхности конуса, описанного около пирамиды.
6 3. ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ И ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ УСЕЧЕННОГО КОНУСА Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин его оснований, на длину образующей: 5 „„„,„.= (Д,+г )6. (26.5) Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле =ай+Я Е кйз+й (26.6) ~ мм.м. ° в ( 1 2) + ( ! з) 18. Радиусы оснований усеченного конуса равны Я н г, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60'. Вычислите плошадь боковой поверхности конуса. 19. Около шара радиуса г описан усеченный конус, в котором образующая составляет с основанием угол а.
Найдите площадь боковой поверхности этого конуса. 20. Вычислите высоту усеченного конуса, если площадь его боковой поверхности равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований равны Я н г. 21. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол сг и равна 2 Вычислите плошадь полной поверхности усеченного конуса. 22. Плошади нижнего и верхнего оснований и боковой поверхности усеченного конуса относятся, как гп:л:р. Вычислите угол между образуюшей и плоскостью нижнего основания, 23.
Образующая усеченного конуса равна 1 н наклонена к основанию под углом а. Радиусы оснований относятся, как т:л (лз>л). Вычислите площадь боковой поверхности конуса. 24. Вокруг сферы радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся, как 4:9. Вычислите плошадь боковой поверхности усеченного конуса. 25. В усеченный конус вписана сфера радиуса г. Из центра сферы диаметр большего основания виден под углом а.
Вычислите площадь боковой поверхности усеченного конуса. в 4. ПЛОШАДЬ ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ И ЕЕ ЧАСТЕЙ Площадь поверхности сферы радиуса й вычисляется но формуле 5=4кЯ', (26. 7) Плошадь поверхности шарового пояса, а также шарового сегмента равна произаелению их высоты на длину большой окружности шара: 26. Вычислите площадь поверхности сферы, вписанной: 1) в куб, плошадь поверхности которого равна Я; 2) в правильный тетраэдр, плошадь поверхности которого равна Я; 3) в равносторонний цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна лг; 4) в равносторонний конус, площадь поверхности которого равна Я.
27. Вычислите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а вторая описана относительно: 1) куба; '2) правильного тетраэдра; 3) равностороннего цилиндра; 4) равностороннего конуса. 385 384 25 — 3цп 28, Объем шара равен У. Вычислите площадь его поверхности. 29. Радиусы оснований усеченного конуса равны 24 и 15 см, высота равна 27см. Найдите площадь поверхности описанной сферы. 30.
Радиусы оснований сферического пояса равны 10 и !2 см, его высота 11 см, Вычислите плошадь поверхности сферического пояса. 31. Круговой сектор, радиус которого Я, а угол при вершине и, вращается около диаметра круга, не пересекающего дуги сектора и составляющего угол )) с ближайшими его радиусами. Вычислите плошадь поверхности шарового пояса. соответствующего дуге сектора. 32. Найдите площадь полной поверхности шарового 'сектора, если дуга осевого сечения сектора содержит 120', а радиус шара равен Я.
33. Плошадь поверхности шарового сегмента вместе с плошадью его основания равна Я. Вычислите высоту сегмента, если радиус шара равен Я. 34. Круговой сегмент с дугой 120' и плошадью Д вращается вокруг своей высоты. Вычислите площадь полной поверхности полученной фигуры. 8 5. ИССЛЕДОВАНИЯ НА ЭКСТРЕМУМ В ЗАДАЧАХ НА ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 35.
Из всех цилиндров, вписанных в данный конус с радиусом основанв! Я и высотой Н, найти тот, у которого плошадь боковой поверхности наибольшая. 0 Пусть с — радиус основания искомого цилиндра, а Ь вЂ” его высота (см. рлс. 168). Иэ подобия треугольников АВО, л СВО имеем ЯН=НЦН вЂ” Ь), откуда с=Я(Н-Ь)(Н. Подставив элачеяяе г в формулу плошади боковой поверхности цилиндра Я=2лыс, получим Я(Н-Ь) 2лЯ Я=2лЬ, яля Я= — (НЬ-Ьь) (О<Ь<Н). Н ' Н Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной: 2лльс 2лЯ Н „4лЯ Я'= — ( Н-2Ь); — (Н-26)=О, Н вЂ” 2Ь=О; Ь= —; Я"= —.
Н ' 2 Н Вторая производная отрицательна, следовательно, функция лря Ь=Н!2 имеет максимум. Найдем радиус основания искомого цллялдра: г= Я(Н вЂ” Н12) Я вЂ” ° Н 2' 36. Из всех пилиндров, вписанных в данный конус (Я и Н даны), найдите тот, у которого плошадь полной поверхности наибольшая. 37. Из всех цилиндров данного обьема Р найдите тот, у которого плошадь полной поверхности наименьшая.
38. Найдите радиус основания н высоту цилиндрического бака с наименьшей площадью поверхности (без крышки) при заданном объеме !У. 386 39. Из всех конусов с Ьь данной плошадью боко- у У(г) вой поверхности Я найти тот, у которого объем М~' наибольший. д )((к!8 40. Из всех цилиндров, вписанных в шар радиуса ! Я, найдите тот, у которо- ! ! ! го площадь боковой по- 1 верхности наибольшая. В х 41. Найдите радиус ос- ! нования и высоту цилннд! рического бака (без крышки) наибольшего объема аэ при заданной плошади поверхности Я. 42. Из всех пилиндров с данной площадью полРлс. 177 иой поверхности Я найдите тот, у которого объем наибольший.
43. Из всех конусов, вписанных в шар радиуса Я, найдите тот, у которого площадь боковой поверхности наибольшая. б 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (слагаемым с!у можно пренебречь ввиду его малости цо срлвненню с 2у). Плошалыюверхностя, образованной вращением дуги АВ вокруг осв Ох, вычисляется ло формуле ь ь ь с(Я вЂ” 2л ус(1 2л у 1+ — с!х, (26.9) гле а в Ь вЂ значен неэавлсямей переменной х в точках А л В. Аналогичным образом, црн врал!енин дуги АВ вокруг ося Оу имеем ссЯш2лхсй, откуда ус(хсьь Я=2л ха8=2л х 1+~ — ! с(у, Ьу) (2630) с с где с в сь' — значения независимой переменной у в точках А л В. 387 Пря вращения луги АВ плоской кривой у=у (х) вокруг ося Ох образуется поверхность вращения (ряс.
177). Днфференцлал плошади сьЯ этой поверхности равен плошади боковой поверхности кругового усеченного конуса с радиусами оснований у н у+сьу в образующей сь7: с(Я= сй=л(2у+сту)с(Не2луау 2 Рнс. 178 Рис. 179 44. Найти площадь повег1>хности шара, образованного вращением окружности х'+у'=г вокруг оси Ох. О Лнфференпнруя уравнение окружности х'+уг гг, получим 2х+ «у «у х +2у — =О, — = —. Найдем дифференциал. дуги: «х «х у «>= 1+ — бх= 1 — ! > +~ « =г«х Подставив значение дифференциала «! в формулу (26.9) и взяв пределы интегрирования от -г до г, получим Г г«х 8=2л ~ у — =2л«1«х 2лгх~ =4лгг.
° у 45. Найти плошадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги окружности (х — 4)г+у' = 36, заключенной между точками А(2; 4,/2) и В(4; 6). О Лнфференцнруя уравнение окружности по х, получим «>' «у х-4 «у 2(х-4)+2у — =О, — = — —, у — = -(х-4). «х > ' «х Следовательно 4 4 5=2л > 1+ — «х=2л уг+ у — 'г «х= 2 2 4 4 4 2л) !36-(х-4)'4-(х-4) «х=12л) «х=12лх 24л (кв.
ед.). ° 2 2 2 46. Найдите плошадь поверхности шарового пояса с высотой Н, образованного вращением дуги окружности х'+уг=гг вокруг оси Ох (рнс. !78). 47. Найдите плошадь поверхности шарового сегмента с высотой Н, образованного вращением дуги окружности ха+у'=гг вокруг оси Ох (рис. 179). 48. Найдите площадь поверхности шарового пояса, образованг г ного вращением вокруг оси Ох дутн окружности х +у =16, заключенной между точками А(2; 2 /3) и В(3;,/7). 49. Найдите площадь поверхности шарового пояса, образована г ного вращением вокруг оси Оу дуги окружности х +у =25, заключенной между точками А(4; — 3) и В(3; 4). 50.
Найдите площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу дуги окружности х'+(у-2)2=25, заключенной между точками А(2,/6; 1) и В(4; 5). 51. Вычислите плошадь поверхности, образованной вращением вокруг осн Ох дутн параболы у 2 =4х, ограниченной точками О(0; О) и А(3; 2 /3). 52. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением вокруг осн Ох дуги параболы у2=9х, ограниченной точками (О; О) н (4; 6). $7.
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 53. В шар вписан цилиндр. Радиус шара равен 29 см, площадь боковой поверхности цилиндра равна 1680к см'. Найдите объем цилиндра. 54. В шар вписан цилиндр. Радиус основания цилиндра относится к его высоте, как 2:3. Площадь поверхности шара равна 225к. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра. 55. Около равностороннего цилиндра описан шар. Найдите отношение нх объемов и площадей поверхностей. 56. Вокруг шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.
57. Высота цилиндра равна 5 см. При, увеличении его высоты иа 4 ем объем увеличится на Збк смз. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра. 58. Конус н цилиндр имеют обпгее основание, площадь которого равна 4к см', и общую высоту. Отношение площади боковой поверхности конуса к плошади боковой поверхности цилиндра равно 5: 6. Вычислите образующие данных фигур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
