Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Основание пирамиды — квадрат со стороной а. Две боковые грани, имею е б шие ре ро, перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к основанию под углом 60'. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды. которой 11 и 21 см, а боковая сгорала 13 см; площадь диагонального сечения равна 180 см'. Вычислите площадь волной поверхности призмы. Т1 Основание пирамиды — треугольник са сторонами, равными 6, 1О и 14 см. Каждый двугрхнный угол при основании равен 30 .
Вычислите площадь боковой паверхнасти пирамиды. яами 3 и 5 ем, а угол между ними Равен 60'; площадь большего диагонального сечения равна 63 смх. Вычислите плошадь полной поверхности параллелепипеда. 2) В правильной усеченной 'четырехугольной пирамиде площади оснований равны 25 и 9 смх, а боковое ребро образует с плоскостью нижнего основания угол 45', Вычислите плащадь боковой паверхнасти пира- МИДЫ.
Глава 24 ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ 1 1. ЦИЛИНДР 363 1. Радиус основания цилиндра 3 см, высота 8 см. Найдите длину диагонали осевого сечения и острый угол ее наклона к плоскости основания. 2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 26 см, высота цилиндра равна 24 см. Найдите площадь основания цилиндра. 3. Радиус основания цилиндра 13 см, его высота 20 см.
Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 ем от нее. 4. В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60 . Высота цилиндра равна 15 см, расстояние секущей плоскости от оси цилиндра равно 3 см. Вычислите площадь сечения. 5. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра (в осевом сечении — квадрат) равна а. Найдите площадь полной поверхности вписанной в этот цилиндр шестиугольной призмьь б. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как и; 2. Найдите острый угол между диагоналями осевого сечения. 7. Все вершины равнобедренного треугольника, основание которого равно 12 см, а высота равна 4 см, лежат на цилиндрической поверхности, ось которой перпендикулярна основанию треугольника и образует с его плоскостью угол 30'.
Найдите радиус цилиндрической поверхности. 8. Все вершины квадрата со стороной 1 лежат на цилиндрической поверхности, ось которой перпендикулярна стороне квадрата и образует с его плоскостью угол а. Вычислите радиус цилиндрической поверхности. 9. Около цилиндра радиуса г, осевое сечение которого квадрат, описана правильная треугольная призма. Вычислите площадь ее боковой поверхности.
10. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см, боковое ребро 10 см. Вычислите площади осевых сечений вписанного в призму н описанного оюло призмы цилиндров. 11. В правильной треугольной призме боковое ребро равно а; отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром основания, составляет с плоскостью основания угол и. Вычислите площадь осевого сечения, вписанного в призму цилиндра. $2. КОНУС. УСВЧВННЫЙ КОНУС 12. Радиус основания конуса 5 см, его высота 12 см.
Найдите плошадь осевого сечения, длину образующей и угол ее наклона к плоскости основания. 13. Площадь осевого сечения конуса равна 48 см', его образующая составляет с плоскостью основания угол и. Найдите площадь основания конуса. 14. Радиус основания конуса 6 см, его высота 12 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси конуса на расстоянии 2 см от нее. 15. В конусе проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120 . Высота конуса равна 12 см, расстояние секущей плоскости от оси конуса равно 3 см. Вычислите площадь сечения.
16. Радиус основания конуса равен Я. Вычислите площадь параллельного сечения, делящего высоту конуса в отношении пмл (от вершины к основанию). 17. В равностороннем конусе (в осевом сечении — правильный треугольник) радиус основания равен !1. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 60'. 18.
Высота конуса равна Н. Угол между высотой н образующей равен 30'. Вычислите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между юторыми равен 60'. 19. Радиус основания конуса равен Я, высота его равна Н. Вычислите площадь сечения, проведенного через две образующие, если на окружности основания оно отсекает дугу в 90'. 20. Через вершину конуса под углом 60' к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая дугу в 90". Высота конуса равна Н. Вычислите площадь сечения. 21. В конусе даны радиус основания Я и высота Н. Вычислите ребро вписанного в него куба.
22. В конусе даны радиус основания А и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани †квадра. Вычислите ребро этой призмы. 23. Докажите, что угол при вершине осевого сечения конуса является прямым, острым или тупым в зависимости от того, будет ли высота конуса равна, больше или меньше радиуса основания.
364 24. В правильной треугольной пирамиде длина стороны основа- ния а, двугранный угол при основании и.,Найдите площадь осевого сечения вписанного конуса. 25. Боковая поверхность конуса, имеющего высоту Н и радиус основания Я, развернута на плоскость. Вычислите угол полученного сектора. 26. Образующая конуса равна Ь, радиус основания равен Я.
Вычислите угол сг в развертке боковой поверхности конуса (рассмотрите особо случай равностороннего конуса). 27. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и высотой конуса. 28. Секто, радиус которого равен Ь, а угол равен и, свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конус . е р, а. 29. Радиусы оснований усеченного конуса равны Я и г, а высота равна Н. Найдите образующую.
30. Ра сы оснований усеченного конуса равны Я и г; образуюдиу ща ая наклонена к основанию под углом а. Найдите высоту. 31. Радиусы оснований усеченного конуса равны 18 и и 30см; образующая равна 20 см. Найдите расстояние от центра меньшего основания до окружностя большего. 32. Радиусы оснований усеченного конуса равны Я и г; образую- щая равна !. Найдите площадь осевого сечении.
33. Площади оснований усеченного конуса составляют М, Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям. 34. Площади оснований усеченного конуса равны 32 и 2 смз. Высота разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найдите площади сечений. 35. Радиусы оснований усеченного юнуса равны 10 и 6 см.
Высота разделена на четыре равные части н через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найдите плошади сечений. 4 3. СФВРА, ШАР Уравнение сферы с центром в точке 0(а; 6; с) и радиусом /Г имеет вид ~т+(,, 6 24. и е)з — /Г~ 36.
Дана сфера хз+уз+гз =450. Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А(4; 5; 3). О Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку А(4; 5; 3), имеет вид (х — 4)/4 = (г — 5)/5 = (х — 3)/3. Запишем зти уравнения в параметрическом виде: (х — 4)/4=П (à — 5)/5=0 (г — 3)/З=Ь откуда х=4+ 4П у= 5+ 5П х= 3 +3ь 365 Подставив значения х, у я г в уравнение сферы, получим ((4+4с)с+(5+5с)с+(Ъ+Ъс)с 450)ри(сс+2с — 8=0) о(с = — 4; с =2) Подставляя теперь найденные значения с в соотношения (ф), получим две точки пересечения сферы я прямой: (-!2; — 15; -9) я (12; 15; 9). ° 37.
Найти расстояние от точки А (6; — 3; -2) до сферы хг+уг+ +гг=9. О Находим расстояние от начала координат до точки А(6; — 3; — 2); р -фр'фсс — русс' +сс--урсс-у. у р у ф р р у, расстояние от точки А до сферы равно 7 — 3=4. ° 38. Найдите координаты точек пересечения сферы х'+ус+ггпу =ссг с осями координат.
39. Составьте уравнение сферы с центром В и радиусом 7?, если: 1) В(2; 3; 4), А=5; 2) В( — 3; 0; 4), В= с2. 40. Даны точки А( — 1; 3; 2), В(0; 3; 1), С(2; -2; О), 0( — 4; 2; 2). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром В( — 2; 1; О) и радиусом 3? 41. Найдите центр и радиус сферы: 1) хг+уг+гг=!6; 2) (х — 1)г+(у+3)'+(г — 5)'=36; 3) х -бх+у +бу+гг — 4г+4=0; 4) хг+1бх+уг+2у+гг+бг — 1 =О, 42. Сфера проходит через точку А( — 3; 4; — 2), а ее центр находится в начале координат. Составьте уравнение сфе 43.
сферы. . Сфера имеет центр в точке С(2; — 1; 3) и проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы. 44. Точка А(4; — 2; 3) лежит на сфере с центром С(2;,— 3; — 1). Составьте уравнение сферы. 45. Дана сфера х'+у'+г =200. Найдите координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А(5; — 3; 4). 46. Найдите расстояние: 1) от точки А(1; — 2; 2) до сфеоы хг+у +гг=16; 2) ог точки А(2; 4; 3) до сферы (х+1) +(у+2) + +(г — 1)г = 4. 47. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
