Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 72
Текст из файла (страница 72)
ед.), ° 3 379 Рис. 174 90. у'=4х и у=х вокруг оси Ох. Рис. 175 (уз =4х, О Выполним построение фигуры !Рис. 175). Решив системУ ~ у к, найдем точки пересечения параболы и прямой; 0(0; О) и А(4; 4); следовательно. пределы интегрирования а=0, Ь=4. Искомый объем ирелставляет собой разность объема Рз параболоида, образованного вращением кривой у'=4х, и объема !' конуса, образованного вращением прямой у .т: Р, = ) 4 Их=к2х~(зе=32к! е -'~" 64 !' =к !язей:=к — ~ = — =21 — и; е ! . 2 !'= 1; — Рз=32я-2! -к=10-к(куб.ед).
° 3 3 Рис. ! 76 круг оси Ох. 91. уз=9(,т+3) и х-у+3=0 во (уз=9(х+3), О Выполним построение фигуры (рис. Пб). Решив систему (. — у+3 найдем точки пересечения параболы и прямой: т!(-3: О) и о(б! 9); пределм интегрирования а= — 3 и Ь=б. Искомый объем равен разности объема !', параболоида, образованного вращением кривой уз=9(х+3), и объема 1' конуса, образованного вращением прямой у=з'3:: б 1;=к 9(х+3)йт=9к~ — +3х~ =3645к' ~2 ~ з -з 380 б Р' =к (х 1-3)з й;=-(х1-3)з ~ =243к; 3 -з и=1, из=3645к-243к=121,5к(кУб.
еп). чв Вычислите объемы фигур,'образованных вращением площадей. "ограниченных заданными линиями: И. !)'уз=х, у=О, х=1 и х=2; 2) уз=2х, у=О, х=2 и х=4; 3) у = ° У= '=6, у=0, х=1 и х=З; 4) у'=2(х+2), у=О и х=0 (во все!! случаях вокруг оси Ох). 93.
1) у=ха — 1 ну=О; 2) у=Зх-тз ну=О; 3) у=-хз — хи у=О '(во всех случаях вокруг оси Ох). 94. х+2у-4=0, у=О, х=0 вокруг оси Ох. 95 ха+уз=гз, у=О вокруг осн Ох 96. хз/а'+у'/Ьз=1, х=О вокруг оси Оу. 97 1) хз — '=4, у=О, х=2, х=4; 2) хз/9 — уз/4=1, у=О, х=З т=б (в обоих случаях вокруг оси Ох). 98. 1) у=зшх, х=0, х=и и у=О; 2) у=созх, у=О, х=О, х=п/2 фв обоих случаях вокруг оси Ох). 99. »з =Ох н»=Зх вохру оса Ох. 1ОО. 1) з=4(х+2) и х — у+2=0; 2) уз=4(х-2), у=О, х=З зг =6; 3) у= — х +5х, у=0, х=О н х=З; 4) у =4(х+2) и х-у+2=0 (во всех случаях вокруг оси Ох). 8 8.
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 101, В прямой треугольной призме стороны основания равны 25, 24 и 36 см, а площадь ее полной поверхности составляет 1620 см'. Вычислите объем призмы. 102. В прямом параллелепипеде стороны основания равны !7 Ф 28 см, а большая диагональ основания равна 39 см. Меньший диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол ЗО*. Вычислите объем параллелепипеда. 103. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует С меньшей боковой гранью угол зр. Через большие стороны оснований проведено сечение параллелепипеда.
Периметр этого сечения равен лз„ а его плоскость образует с плоскостью основания угол а. Вычислите объем параллелепипеда. 104. Вычислите объем правильной треугольной пирамщ!ы, которой сторона основания равна а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны. 105. По ребру а правильного октаэдра (правильного восьмигран. ника) вычислите площадь его поверхности и объем. 106. Сторона основания правильной шестиугольной пирамидь! Р авиа а, а двугранный угол йри основании равен 45'. Вычислите объем пирамиды.
107. Найдите объем пирамиды, основанием которой служит треугольник с углами и и (3, если высота пирамиды равна Ь зз образует с каждым боковым ребром угол зр. 38! 108, Основанием пирамиды служит параллелограмм, диагонали которого пересекаются под углом а. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна Н.
Неравные боковые ребра образуют с основанием углы 0 н у. Вычислите объем пирамиды. 109. В правилъной треугольной усеченной пирамиде радиусы вписанных в основания окружностей равны 4 и 2,5 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30'. Вычислите объем этой пирамиды.
110. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу а. Диагональ сечения равна ! и составляет с основанием угол гр. Вычислите объем цилиндра. 111. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса и одну из сторон этого квадрата, образует в сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине хоторого равен а.
Вычислите объем конуса. 112. Осевым сечением конуса является треугольник, угол при вершине которого равен и. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен Я. Вычислите объем конуса. 113, Усеченный конус, высота которого 12 см, а радиусы оснований 6 и 9 см, пересечен двумя плоскостями, параллельными основаниям и делящими высоту на три равные части. Вычислите объем средней части конуса, 114.
Вокруг шара радиуса Я описан усеченный конус, одно из оснований которого вдвое больше другого. Найдите объем усеченного конуса. 115. В конус вписан шар. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60', а радиус шара равен Я. Вычислите объем конуса. 116. В шар радиуса Я вписан конус. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60'.
Найдите объем конуса. 117. В шар радиуса Я вписан цилиндр. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к основанию под углом 30 . Найдите объем цилиндра. 118. В шар вписан цилиндр. Радиус шара равен Я, радиус основания цилиндра равен г. Найдите объем цилиндра. 119. В конус вписан цилиндр.
Диагонали осевого сечения цилиндра параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса равна !и составляет с плоскостью основания конуса угол и. Найдите объем фигуры, ограниченной основанием конуса и боковыми поверхностями цилиндра и конуса. 120. Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2а, и острым углом 30 вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Вычислите объем полученной фигуры. 382 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА Глава 26 ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ $1. ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ И ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЦИЛИНДРА Площаль боковой поверхности цилиндра равна произвелению длины окружности основания на высоту цилиндра: (263) 5я,...„2пЯН, Площаль полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле Ю «„„=2клн+ зяЯ (26.2) 1.
Плошадь осевого сечения цилиндра равна Я. Найдите плошадь боковой поверхности цилиндра. 2. Образующая равностороннего цилиндра равна 6 Вычислите площадь боковой поверхности этого цилиндра. 3. Площадь боковой поверхности цилиндра составляет половину площади его полной поверхности. Диагональ осевого сечения равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 4. В основании цилиндра хорда длиной а стягивает дугу гр.
Высота цилиндра равна Н. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 5. В цилиндре через середину радиуса основания перпендикулярно емзу проведено сечение. В сечении образовался квадрат площадью 16 см . Вычислите плошадь боковой поверхности цилиндра. б. Плошадь полной поверхности цилиндра 1170я смх, а радиус его основания 15 см.
На каком расстоянии от оси цилиндра проходит сечение, имеющее форму квадрата? 7. Квадрат со стороной а вращается вокруг внешней оси. которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на 383 1 вариант 1) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, олин из катетов которого равен 6 см, противолежащиа ему угол равен 60', а яшклое боковое ребро равно 4 см. Вычислите объем пирамиды. 2) Равнобелренный треугольник, основание которого а, а угол прн основании ц, вращается вокруг боковой стороны. Вычислите объем фигуры вращения.
' 3) Вычислите объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ох площади, границами которой служат линии у' — х+1=О, х — 2.=0, у=О. П вариант 1) Основанием прямого параллелепипеда является парялчелограмм, олна из диагоналей которого равна 17 см, а стороны равны 9 н ! О см. Площадь полной пояерхиости параллелепипепа составляет 334 см'. Вычислите его объем. 2) Ромб со стороной а н острым углом и вращается вокруг прямой, провеленной через вершину острого угла перпеиликулярно его стороне. Вычислите объем фигуры вращения. 3) Вычислите объем фигуры, образоианной вращением вокруг оси Ох плошали, границами которой служат линии у=-хх+2х. и у=О.
расстояние, равное стороне квадрата. Вычислите площадь полной поверхности, полученной фигуры вращения. 6 2. ПЛОШАДИ БОКОВОЙ И ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНУСА Площаль боковой поверхности конуса равна половине произведения янины окружности. основания на ляпну образующей: яг. „,=хяд, (26.3) Плошадь полной поверхности конуса вычислается по формуле 5 =аяь+кйз (26.4) 8. Вычислите плошадь боковой поверхности конуса, если плошадь его основания равна М, а площадь осевого сечения равна )т'. 9. Плошадь осевого сечения равностороннего конуса равна Й, Вычислите площадь его полной поверхности. 10. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол а. Хорда, вписанная в основание конуса и равная а, видна нз центра основания под углом ф. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
