Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 70
Текст из файла (страница 70)
ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И ПРИЗМЫ Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: 1" р-— аЬс (25.1) Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: (25.2) р рррН 370 1. Вычислите объем куба: 1) по его диагонали 1; 2) по его площади поверхности 5. 2, Вычислите объем куба, если площадь его диагонального сечения равна М. 3.
Найдите ребро куба, объем которого равен сумме объемов кубов с ребрами тн и л. 4. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 16 и 18'см. Нанците ребро равновеликого ему куба. 5. Плошади граней прямоугольного параллелепипеда равны Е„ ох и Яз. Найдите.его объем. б. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся, как 2:7:26; диагональ параллелепипеда равна 81 ем. Найдите объем параллелепипеда.
7. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7, 8 н 9 см. Найдите объем параллелепипеда. 8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1 и составляет с одной гранью угол а, а с другой — угол 0. Вычислите объем параллелепипеда. 9. Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм со сторонами 8 и 32 см н острым углом и=60'. Большая диагональ параллелепипеда равна 40 см. Вычислите объем параллелепипеда.
10. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 25 и 39 см, а площади его диагональных сечений равны 204 и 336 см'. Найдите объем параллелепипеда. 11. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 17 и 25 см, одна из диагоналей основания равна 26 см. Меньшая ди агональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30'. Вычислите объем параллелепипеда. 12. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого относятся, как 5;16.
Диагонали параллелепипеда равны 26 и 40 см. Вычислите объем параллелепипеда. 13. Вычислите объем прямого параллелепипеда, основание которого †ро со стороной а и углом и, а диагональ боковой грани составляет с боковым ребром угол 13. 14. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со сторонои а и острь " а острым углом а. Большая диагональ параллелепипеда слите объем составляет с плоскостью его основания угол 13.
Вычислите о ъем параллелепипеда. 15. Сторона основания правильной призмы равна а, боковое ребро равно Ь. Найдите объем призмы: !) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 16. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а; площадь боковой поверхности равновелика сумме площадей оснований. Вычислите объем этой прязмы. 17, В основании прямой призмы лежит трапеция, площадь которой 306 см'.
Площади параллельных боковых граней равны 40 и 30 ем', а площади двух других боковых граней равны 75 и 205 см'. Вычислите объем призмы. 18. В прямой четырехугольной призме площадь основания равна М, площади диагональных сечений составляют Р и 37, а двугранный ол между ными равен и.
Вычислите объем 'призмы. уго 19. Основанием наклонного параллелепипеда является пр ямоугольник со сторонами 4 и 6 ем, боковое' ребро равно 2 ем и образует с каждой из смежных сторон осно вани уго Вычислите объем параллелепипеда. 20. Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно а, одно из боковых ребер образует с каждой прилежащей стороной основания угол а. Вычислите объем призмы. 21. Постройте сечение наклонного параллелепипеда плоскостью, которая проходит через данную точку стороны основания и делит параллелепипед на две призмы, имеющие равные объемы. 22.
Ос ование наклонной треугольной призмы — равнобедренн и ый ольник, высота которого Ь, а угол при основани чт. Боковое ребро, равное а, наклонено к плоскости основани д я по углом 13. Найдите объем призмы. 23. Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм со сторонами а и Ь и углом рр между ними. Боковое ребро равно 1 и наклонено к плоскости основания под углом и. Найдите объем параллелепипеда. 371 24* 8 2. ОБЪЕМ ПИРАМИДЪ! (25.4) (25.3) Объем плРамллы Равен одной трети произведения площадл ее валяя вв высоту; ~',=-8 Н. ! 3 $3, ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ Объем усеченной пирамиды вычисляется ло формуле Ут«.и «= (ет+ъ/стет+ сг)Н 1 ук«Р 3 т 24. .
По стороне основания а и боковому ребру Ь вычислите объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 25. Аг/офема правильной треугольной пирамиды равна к, а высота равна Ь. Найдите объем пирамиды. 26. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды и площадь ее боковой поверхности равны соответственно 5 и Д.
Вычислите объем пирамиды. 27. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром а. 28. Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами нового правильного тетраэдра. Найдите отношение их объемов. 29. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды ы,у которой площадь боковой грани 5, а плоский угол при вершине и. 30. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а боковая грань образует с плоскостью основания угол а. 31. Высота правильной четырехугольной пирамиды образует с боковой гранью угол а.
Вычислите объем пирамиды, если площадь боковой поверхности равна 5. 32. Основание пирамиды †прямоугольн треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом 30'. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60'. Вычислите объем пирамиды. 33; О ; Основание пирамиды — ромб со стороной 15 см, каждая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45 . Вычислите объем пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 300 см'.
34. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны равны 3 и 5 см, а боковая сторона равна 7 см. см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а большее боковое ребро равно 10 см. Вычислите объем пирамиды. 35. Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого равна 1 мз. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углами 30 и 60'. Вычислите объем пирамиды. 36. Основание пирамтшы — прямоугольник.
Каждое боковое ребро равно а и образует со смежными сторонами углы и и 1!. Вычислите объем пирамиды. 37. Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом м. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 11. Вычислите объем пирамиды. 372 где 8« л Ют — ллощадл оснований усеченной пирамиды, в Н вЂ” ее высота.
38. По боковому ребру! и сторонам основания а и Ь вычислите объем правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 6) !песгиугольной. 39. Стороны оснований правильной пирамиды 4 и 8 см, а диагональ равна 11 ем. Вычислите объем пирамиды. 40.
Анафема правильной шестиугольной усеченной пирамиды равна 10 см, а высота равна 8 см. Сумма длин двух сторон верхнего и нижнего ее оснований равна 8 /3 см. Вычислите объем пирамиды. 41. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды наклонены к плоскости большего основания под углом и, стороны оснований равны а и Ь (а>Ь). Вычислите объем пирамиды.
42. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к стороне большего основания под углом тр. Стороны оснований равны а и Ь (а> Ь). Вычислите объем пирамиды. 43. Стороны одного основания усеченной пирамиды равны 27, 29 и 52 см; периметр другого основания равен 72 см; высота пирамиды равна 10 см. Вычислите объем пирамиды. 44. Большее основание усеченной пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости этого основания под углом щ Периметр меньшего основания в л раз меньше периметра большего основания.
Вычислите объем пирамиды. $4. ИССЛЕДОВАНИЯ НА ЭКСТРЕМУМ В ЗАДАЧАХ НА ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ 45. Из всех прямых параллелепипедов с данной плошадью полной поверхности 5 и квадратным основанием найти тот, который имеет наибольший объем. О Пусть х — сторона основания параллелепипеда, в у — его высота. Тогда площадь леллой поверхности равна 8=2х~+4ху, откуда у=(Ю вЂ” 2х~)/(4х). Следователъно, объем параллелепипеда за — 2х 1 1 Р=хву=хз — =-хх — хз(0<2хт<5, 0<х< /8/2). 4х 4 2 Исследуем функцию лв экстремум с помощью второй производной: 1 3 1 3 У"=-8 — х'; -5 — х'=О, х= /876= «/6З/6; Р"= — Зх; 4 2 ' 4 2 !««(,„/65/6) < О. 373 б 5.
ОБЪЕМЫ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту: и„„„= И'Н. (25.5) Объем конуса равен 1/3 произведения площади его основания на высоту: (25.6) Объем усеченного конуса вычисляется по формуле ! Р (Дз~+/Г Д +Дзз)Н 3 (25.7) где Д, и и, †радиу кругов, лежащих в его основаниях, а Н вЂ высо, Объем шара радиуса д вычисляется по формуле 4 3 =-кд .
3 Объем шарового сектора вычисляется по формуле 2 3 (25.9) где Д вЂ” радиус шара, а Н вЂ” высота шарового сектора. Объем 'шарового сегмента вычисляется по формуле Гг „в „„=-ЯНз(3Д вЂ” Н), 1 в"в ~™ 3 где и — радиус шара, а Н вЂ” высота шарового сегмента. (25.10) 374 в Вторая производная'прн »=ъ/6У/6 отрицательна; значит, прн этом значении аргумента функция имеет максимум. ур-г» „ 5-2( /68/6)' Найдем у= = /бЗ/6, т.
е. ! га-Ь ! 4( Я/6) высота параллелепипеда н сторона его основания равны. Таким образом, из всех параллелеРис. 167 пнпедов, удовлетворяющих условиям задачи, наибольший объем имеет куб. ° 46. Из прямоугольного листа жести со сторонами 80 и 50 ем требуется сделать открытый сверху ящик наибольшего объема, отрезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать боковые стенки.
Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов (рис. 167)? 47. Из всех прямых параллелепипедов с данным обьемом Р и квадратным основанием найдите тот, который имеет наименьшую площадь полной поверхности. 48. Найдите размеры открытого (без крышки) щцика с квадратным дном, имеющего наименьшую площадь полной поверхности при заданном объеме, !г. 49. Вычислите размеры открытого ящика с квадратным дном, имеющего наибольший объем, если общая площадь поверхности боковых стенок и диа равна Н. 50. Диагональ прямоугольника составляет с одной из сторон угол и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
