Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 74
Текст из файла (страница 74)
59. Равнобедренный треугольник, у которого основание равно а, а угол при основании равен ц, вращается вокруг боковой стороны. Вычислите плошадь поверхности и объем фигуры вращения. 60. Стороны параллелограмма равны гл и и; угол между ними равен ц. Найдите площадь поверхности фигуры, образованной вращением параллелограмма около стороны л. 61.
Конус катится по плоскости, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна Ь, образующая равна !. Найдите площадь поверхности„описываемой высотой конуса. 389 Глава 27 РЯДЫ . (27.1) ~ и„=и, +и«+из+-.+и«+- « Я, =и„, Яэ=и,+из, Я«=и,+и,+иэ, ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант П вариант 1) Прямоугольник, площадь которого равна Я, вращается вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Вычислите площадь поверхности фигуры вращения, если угол между диагоиаляг ми равен а.
2) В конусе образующая равна ! и составляет с высотой конуса угол а. Вычислите площадь поверхности описанной сферы. !) Ромб со стороной а и острым углом и вращается вокруг прямой, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно его стороне. Вычислите площадь поверхности фигуры вращения. 2) В конусе образующая равна ! и составляет с высотой конуса угол и. Вычислите площадь поверхности вписанной сферы. Эта запись равносильна записи 39! 62. Ромб со стороной а и острым углом 60' вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно стороне. Найдите площадь поверхности полученной фигуры. 63.
Высота усеченного конуса равна Ь, угол между диагоналями осевого сечения (обращенный к основанию) равен а, а образующая составляет с основанием острый угол В, Вычислите площадь боковой поверхности. 64. Радиус сферы равен 25 см. Сфера делится сечением площадью 49к ем'. Вычислите плошади сферических частей. 65, Площадь боковой поверхности сферического сегмента составляет 0,05 плошади поверхности сферы.
Вычислите высоту сегмента, если радиус сферы равен 100 см. 66. Докажите, что плошадь поверхности фигуры, образованной вращением квадрата около стороны, равна площади поверхности шара, радиус которого равен стороне квадрата. 67. Двояковыпуклое стекло состоит нэ двух равных сферических сегментов; плошадь их общего основания равна Я, а дуга в осевом сечении каждого сегмента равна и. Вычислите площадь поверхности этого стекла. 68, Вычислите площадь поверхности сферы, если площадь полной поверхности описанного около нее цилиндра равна Я. 69.
Вычислите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности вписанной в него сферы, если образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом а. РАЗДЕЛ 1тг дополнительнык глАвЫ а 1. ЧНСЛОВЫЕ РЯДЕ! 1. Оевоваые иошгпп. Числовым рядом называется сумма вила и, ..., и, ..., называемые членами ряда, образуют гле числа и„иы иэ, ..., и„, ..., я ое им члена.и ряда. бесконечную последовательностей член и„называется щи Я„=и,+и,+из+...+и„, составленные из первых членов ряда ( .
), 27.1), называются часгничными суммами этого ряда. ду мо кно сопоставить лоследовательност ь частичных сумм Каждому ряду мо Я, Я, Яэ,..., Я„.... Если при бесконечном возрастании номер а н частичная сумма ряда Я„ стремится к пред ! э 3 ределу Я, то ряд называется сходящимся, а число Я вЂ” суммой сходящегося ряда, т. е. В„Я„=Я или !ии(и,+и,+и,+.-+и.)=Я. 2 и„=и,+и,+из+-.+" +- =Я. «=1 Если частичная сумма Я„ряда (27.1) при неограниченном возрастании н ие имеет конечного предела (в частности, стре такой ряд называется расходящимся. шом н является Если ряд сходится, то значение Я„при достаточно большом н являет Разность г„ Я-Я„ называется асигагинам рада. ели ряд с его остаток стремится к нулю, т.е.
1лпг„=, =О, и ваобо от, если остаток Р стремится к нулю, то ряд сходится. 2. Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых л членов ряда 2 ач", образованного из членов =е геометрической прогрессии. 1) !4! <!. Для нахожления частичной суммы Я„воспользуемся формулой суммы членов, убывающей геометрической прогрессия: а,-а„е Я„= — ", 1 — »7 где а,— первый член, а„=а,и" ' — л-й член, о — знаменатель прогрессии. Следовательно, а, — а, а" ' 4 а, -а, 4" а, а, 4" Я„= ! †! — а 1 — 4 ! — д Находим сумму рада! гг а, ад! а, Я=! пп Я„= 1лп ~ — — ) = —, -и~,1-9: ! †,! 1-4 поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе †бесконеч малой величиной (Ч"- О при л- оэ). Таким образом, в ас данном случае ряд сходится, а его сумма есть Я= —.
1-ч 2) )д!>1. Частичную сумму Я„найдем по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии: а»4-ас а,д" 'д — а, асд" — а, а,е" и, Я» д-1 д — 1 Ч вЂ” 1 с)- ! »1-1 Тогда сумма ряда (а,ч" а, Я=!пп Я„= !пп ) — — =ос, .-- " --Ь-1 4-1) так как первое слагаемое пол знаком предела есть бесконечно большая величина (»7"- со при л- аэ), В этом случае рял расходится.
3) 4=1. Находим Я„=а,+а,+а, +...+а,=а,л. Следовательно, 1лпЯ„=11ш(а,л)=а», Значит, в данном случае ряд рас- ходится 4) д= — 1. Имеем Я,=а, Я,=о †а, Я,=а-а+а=а, Я =а-а+а-а=0, т. е. Я„=О при л четном н Я„=а при и нечетком. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит., ряд расходится. 392 Итак, данный ряд схолится при 14!< 1 и расходится при !4!> 1. Ряд вида 2 ач" будем называть геометрическим рядом.
е 3. Гармонический ряд. Ряд вида 1 1 1 1 1 ~' -=1+-+-+-+...+-+... „~;л 2 3 4 л называется гармоническим Запишем частичную сумму этого ряда 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 Сумма Я„больше суммы, представленной следующим образом: 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 1 1 1 1 я„>1+-+-+а+-+- 2 2 2 2 Если и оэ, то 1+-+-+-+...— со, или Я„=1+ — 1л-1)-»оо. 2 2 2 '* " 2 Следовательно, если л- со, то Я„- со, т.
е. гармонический ряд расходится. и+1 1. Записать ряд по его заданному общему члену: 1) и„= — „; я+2 х" 2) и„= —; 3) и„= —. 2л-1' " л1 О !) Полагая л=1, л=2, л=3, ..., имеем бесконечную последовательность чисел: и =-, и =-, иэ=-, .... Сложив ее члены, получим ряд 2 1 г 3' 4' 8' ,л+1 2 3 4 я+1 с» — =-+ — +-+...+ — „+.... „г.', 2" 2 4 8 2» 2) Поступая так же, получим ряд г л+2 3 4 5 л+2 с + + + + + „~2л — 1 ! 3 5 2л — 1 3) Придавая л значения 1, 2, 3, ... и учитывая, что 1.=, 11=1, 2!=1.2, 3!=1 2 3, ..., получим ряд "х" х хг хэ х" 2, — =-+ — + +...+ — +....
° „., л! ! ! 2 ! 2 3 " л1 2. Найти л-й член ряда по его данным первым членам: 1) -+-+-+...; 2) — 1+ — — — +...; 3) — -+--.... ! 1 1,,/2 ~/3 1 2 3 3 5 7 ' 12 123 3 4 5 393 О 1) Знаменатели членов ряда„начиная с третьего„являются нечетными числами; следовательно, и-й член ряда имеет вид —. 1 2п+1 2) Ч ) ислвтели членов рида представлвот собой квадратные корни из натуральных чисел, а нх соответствующие знаменатели равны и1.
Знаки чередуются по закову ( — 1)". Общий член ряда имеет вид ( — 1)" ~. и! 3) Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели —.натуральный р!щ чисев, начиная с 3. Знаки чередуются по закону ( — 1)"+' или по закону (- 1)" '. Значит, п-й член р!ща имеет вид ( — 1)" ' — нлн ( — 1)" '— и+2 и+2 3. Найти сумму членов ряда: 1 1 ! 1 ! !)~ = + + ++ +..., (2п-1)(2н+1) 1.3 3 5 5 7 (2п — 1)(2п+1) 1 ! 1 1 1 2) ~ — „=-+-+-+...+ — „+.... 2" 2 4 8 2" О 1) Находим частичные суммы членов ряда: 1 ! ! 2 о!.= и! + из = -+ 3' ' 3 15 5' 8!=и!+из+из=-+ — = —; Я =и +и +и +и =-+ — =-,....
3 1 4 5 35 7' 7 63 9' Запишем последовательность частичных сумм: —, 1 2 3 4 и 3' 5' 7' 9' '2п+!' Общий член этой последовательности есть — = —. Следовательно, 2п+1 1 2+- и 1 1 Я=йщ 5„=!пи = — —. л- 1 2 2+- и Последовательность частичных сумм имеет предел, равный 1/2.
Итак, ряд сходится и его сумма равна !/12. 2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой 1 а,=1/2, 4=1/2. Используя формулу Х= —, получим 3== — 1. Значит, 1-9 1 1-- 2 ряд сходится и его сумма равна 1. йз 4. Н" члену: айдззте первые пять членов ряда по его заданному общем у !) и„= —; 2) и„= —; 3) и„= —; л 2п 2+3 и+1' " 2п — !' " 2"+' 394 4) и„= „' 5) и„=( — 1) 1+( — 1)" ' ! „! 1 2п+ ! 5. Найдите первые четыре члена ряда по его заданному общему члену: 1) и„= — '; 2) и„=(-1)" —; 3) и„= (п+1)! „ь! 1 1 2п ' " ~/гп ' " (Зп — 1) (2п+ 1) ' 4) и„=(-1)" ' ч/~; 5) и„= 2п ' " (и+1)(п+2) б.
Найдите и-й член ряда по его данным первым членам: 1 3 5 7 ! 1 1 1 !) -+-+-+-+...; 2) — — +- — -+...; 2 4 6 8 ' 3 5 7 9 1 з/2 з/3 з/4 2 4 6 8 12 123 1234 12345 ' 4 9 16 25 7. Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам: 2 4 3 16 1 1.2 1.2'3 1.2 3 4 !) -+-+-+ — +...; 2) -+ — + — + — +...; 1 4 9 16 ' 9 25 49 31 1 ! ! 1 2 3 4 5 3) — + — + — + — +...; 4) — -+ — — — +.... 3 6 5 8 7 1О 9 12 ' 5 8 11 14 8. Вычислите сумму членов ряда: 1 ! 1 ! 1 1) 2„— = — + — + — +.. + — +- , я(п+1) ! 2 2 3 3.4 п(н+1) 2) ,'Г 1 1 1 1 1 , (Зп — 2)(3п+1) 1.4 4 7 7.10 (Зп-2)(3п+1) — + + +.,+ +-.; ! 1 1 ! ! 3) ! — „=1+-+ — + — +- +=+-; 3.-! 3 3! 3! " 3 1 ! 1 1 + "' ! 3 15 35 4п! — 1 8 2.
НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 395 1. Необходамый иразаак схолвмости рада. Ряд 2, и„может сходиться =! только при условию чта ега общий член и„при неограниченном увеличении номера и стремится к нулю: йщ и„=О. Если 1нп и„звО, то ряд 2' и„ расходится †э достаточный признак ! расходнмости рада. 2. Достаточяые иразввка сходвмоста рада с вопезквтевьвымв члеаама. а) Прювак сраввиввя радов с аолоквтельвымв члевамв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
