Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Исследуемый ряд сходится, если егв члены нв превосходят соответствующих членов другого, завода,чо сходящегося рлда; исслсдуе.чый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведи.чо расходящегося ряда. При исследовании рядов на сходимость и расходнмость по этому признаку часто используется геометрический ряд ~ ад"=а+эи)+ааз+...+ао"+... (а>0), =1 который сходится при )а)<1 и расходится ири (й)я! (см. б 1, п. 2), и гармонический ряд 1 1 1 1 ,) -=1+-+-+....1--+..., „.,н 2 3 и являющийся расходящимся (см.
б 1, п. 3). При исследовании рядов используется таяне обобщснээый гармонический ряд ! 1 1 1 1+ — + — + — +...+ +„ 2« Зг 4« пг Если р= 1, то данный ряд обращается в гармонический рал, который является расходящимся. Если р<!. то члены данного рада больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При р>1 имеем геометрический ряд, в котором (а)<1; он является сходящимся.
Итак, обобщенный гармонический ряд сходится яри р>! и расходипзсл при р<1. б) Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами 2. и„=и,+и +из+ ... +и„+и„~э+... (и„>0) =1 и„«, выполняется )словис !пп — "=б то ряд сходится при ! <! и расходится при и„ !>1. Признак Даламбера не дает ответа, если 1=!.
В этом случае для исследования ряда примеюпотся другие приемы. 9. Исследовать сходнмость ряда, применяя необходимый признак сходимостн н признак сравнения: 1 1 1 1 1 +, з+ з+ "'+, «+ "' (2п-1)-2" 1.2 3 2з 5.2з (2п — 1) 2" и 1 2 3 п г)~ =+++ + + «за+1 2 3 4 " п+! 3) ,'Г =1+ + +„.+ 1 1 1 «! и „/п 2,,/2 3,/3 н,,/и 1 1 1 1 1 4) 2' — = — + — + — +„.+ — +„, з 1п2 1п2 1п3 !п4 !пп применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом 1 ! 1 1 -+ — + — + ... + — „+ ..., 2 2э 2э "' 2 который сходится, так как а=112<1. Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства 1 1 1 1 1 1 — —; — « —; < —; 3,2з 2з' 5.2з 2з' "' ' (эп 1) 2 т.
е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда. откуда следует, что данный ряд сходится. 2) Имеем и . 1 1йп и„= 1'пп — — 1пп — = 1 Ф О. и-1- 1 «- ° ! + п Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится, При сравнении данного ряда с гармоническим.
также убеждаемся, что ряд расходится. ! 3) Находим 1пп и,=!пп — =О. Необходимый признак сходимости / ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом 1 1 1 !+ — + — +...+ — +... 2з" Знэ яз'з который сходится, поскольку р= ЗД> 1 (см. п. 2), Следовательно, сходится и данный ряд. 4) Находим 1!ши„=йш — =О. Сравним данный ряд с гармоническим 1пп рядом 1 1 1 1+-+-+ ... +-+ .... 2 3 п 1 1 Для всех п>2 выполняется неравенство — >-; следовательно, рял 1пп и расходится, так как его члены превосходят соответствующие члены гармонического (расходящегося) рада.
10. Исследовать сходнмость ряда, используя признак Даламбера; гп 2 4 6 2п — =-+ — + — + .. + — „+-. 5" 5 .25 125 "' 5" 3" 3 Зз Зз 3" 2) 2 — = — + — + — +.-+ —,+- пз 1з 2 Зз '" и' -1 3) «=1 397 39б 1 С) !) Находим 1ппи„=1пп „=О. Необходимый признак сходи- « ~ (2я-1) 2" мости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно п1 1 1 2 1 2 3 п1 — '=-+ — + — + ...
+ — „+ -. 3" 3 3* 3' 12. Исследуйте сходимость ряда, используя признак Даламбера: 1 2 3 л 1) ~ — — + — + — +- + —.+" ' 32" 32 321 321 ' 32" (л + 1)! 1 2 1 2 3 1 2 3 . 4 (и + 1)! 3 ю 1 3' Зз 3" 1 ! ! 1 3) з! 4 + 4 34 " лз О 1 3 3 3' Зз 3" 4) 2,— = — + — + — +-+ +"' ,и(л+1) ! 2 2 3 3 4 л(л+1) 13. Исследуйте сходимость ряда: Зи — 1 5 8 Зл-1 1),'1 — = 1+-+-+ ... + — + ...; 2л 4 б ' 2и 1 ! 1 ! 1 2),'.à — = — + — + — +1„+, + ... л (л+1) ! 2 4 3 9 4 лз(л+1) 1 ! 1 ! ! 3) ~ — „= — + — + — +...
+ — „+...; (л+1) 3 2.3 3,31 4,3з " (л+1),3 Оз 3 3 Зз 31 3 и„„з (л+1)л! л! л+! ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА и, ЗОО' 3" 3 П вариант 1 вариант л+! !пи =-!пп = — со>1, з О из ~ 3 1) Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену: 1) Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену: т. е. ряд расходится, ° Зл+2 ) " (3 — 1) 2" 1 (2и-1-1) 2' 4 7 10 б) -+-+ — +... 2 4 12 2 5 8 б) -+-+ + ...
5 7 9 3) Вычислите сумму членов рада О , л(и+1)(л+2) 3) Вычислите сумму членов рина 2л+ 1 ,,лз(и+1)з ~О 4) 2' — =1+ — + л" 21 31 399 2л С! 1) Подставив в общий член ряда — вместо л число и+1, получим 5" 2(л+1) — „+, . Найдем предел отношения (л+1)-го члена х и-му члену при л- со: и,+1 2(л+1) 2л л+1 1/ и„5"+' 5" 5л 5~ л)' и„з 1 / 1! ! 1пп — "= — 1пп( 1+ — ~= — <1. и„5 -О(х л) 5 Следовательно, данный ряд сходится. Э" 3"+' 2) Имеем и„= —,; и„41=— л' ~ (и+1)з' ц ( 1з з г л из 41, !/ ! з! 1/ !пи= — 31пп — =3 1пп — =3>1, О и О ! ! 1+- 1+- Значит, данный ряд расходится.
л! (и+1)! !и+1) л! 3) Имеем и„— и + = — — — ' 3"' " ЗО м ЗОО' 11. Исследуйте сходимость ряда, применяя необходимый признак и один из признаков сравнения: (л+2)! 1.2 3 ! 2.3 4 ! 2 3 4 5 ' (л+2)! 1 1 ! 1 2) + + — +...+ +... 4=11/лье+1);/1 2 О/2 3 /г3 ! /л( +!) 3 ! ! ! ! 3) ,"з' — =1+ — + + + + л+! (2л — 1) 3" 2) Найдите формулу общего члена ряда: 3 5 а) 1+-+-+...; 2 3 Зл+ 1 (лз+1) 3" 2) Найдите формулу общего члена ряда: 5 9 13 а) -+-+ — +...; 1 2 3 4) Используя признак сравнения исследуйте сходимость ряда 4) Используя признак сравнения, исследуйте сходнмость ряда К (л „)(„+3) 1 „~;(гн — 1).2'" ' 5) Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда 5" Г ° 1 5) Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряла „, (2л+ !) !' в 3.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ. ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИХСЯ РЯДОВ Числовой ряд из+из+из+ . +и„+ (27.2) называется зиакалерсмвиныи, если среди его членов имеются как поло:кительиые, так и отрицательные числа. Числовой ряд (27.2) называется заакачередующимся, есви любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Признак сходимости Лейбница для знакочередующнхея рядов.
Если члвзлч зиакачередующегасл ряда (27.2) манатаюю убывают ка абсолютной величине и общий член и„сигремитсл к нулю лри л-+со, та ряд (27.2) гхадшпсл. Этот признак слузкнт достаточным признаком сходнмости знакочередующихся рядов. Знакопеременный ряд (27.2) называется абсалютаа схадчщиися, если сходится ряд 14. Исследовать иа сходимость (абсолютную иди условную) знакочередующийся ряд: ) и ! !+ ! из!+ ! из 1+ -. + ) и, 1+ ..., (27. 3) составленный из абсолютных величин его членов, т. е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Если знакопеременный ряд (27.2) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (27.3) расходится, то данный ряд (27.2) называется условно /иеабса.зютна/ сходящимся.
Заметим, что из расхолнмости ряда (27.3) в общем случае пе следует расхолимость ряда (27.2). Для установления абсолютной сходнмости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и лля сходнмости ряда с положительными членами. Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знаяочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда. Если прн исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующнйся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся„то знакочередующийся ряд сходится условно.
111 !) Г~ ( 1)в-2--1--+- — -г- -г(-!)" '-та л 2 3 4 „+! ! г) ',Г (-1)"" — =1 — + — -+-+( ') 2.-!+"' ' 2н-1 3 5 7 1 ! ! ! 1 3) ',~ (-1)" ' — „=1 — + — —.+-+( ') =+"' ' 2 2' 2з (л в ! ! 1 ! л 4) ',! ( — 1)" — = 1~ ~ 4 "" ( ) /„ гл /2 /3 /4 л О 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 1»--»-... и пни„= пи-= .
! „=1'ш-=б, Следовательно, согласно признаку 2 3 4 л-л" в-~л Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно. Ряд !+-+-+-+- +-+- 2 3 4 л составленный из абсолютных величин д р членов анного ряда, явлается гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно. 2) Ч о бывают: 2 Члены данного ряда п ряда по абсолютной величине монотонно у ы 2 3 4 1»--»-..., но 3 5 '/ л, 1 1 1пп и бш — = 1ип — =-~ з " .2н — 1 л Р расходится, так как признак Лейбница не выполняется. яд 3) Используя признак Лейбница, получи м 1 1 ! ! » — — » — ...," !пн и„= йзп —,= О, 2 2з 2з - „„2- т. е.
ряд сходится. в анного Рассмотрим ряд, составле , составзенный из абсолютных величин членов д ряда; 1 1 1 1 1+-+ — + — + ... + — „з+ .... 2 2з 2з "' 2" Это геометрический ряд вида ~ ач" ~~ а " (!7 1/2), который сходится. Поэтому з О данный ряд сходится абсолютно. 4) Используя признак Лейбница, имеем 1 1 1, ! 1» — — » — :..; йю и„=1пп — =О, /2 /3 /4 """ "-" /л т, е, ряд сходится. 26 — 3162 Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: 1 ! ! ! 1+ — + — ++++ э/2 /3 /4 . /л 1 ! ! ! 1+ — + — + — +...+ — +... 3111 4н' ' л 111 Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как р= 172<!. Следовательно, данный ряд сходится условно. й! 15.
Исследовать сходимость знакопеременного ряда И'44 — л ! 2 3 4 л „'1„(-1) ' — „= — —,+ —,+ —,—...+ — „+.... 2" 2 2 2' 24 2" О Составим ряд нз абсолютных величин членов данного ряда: 1 2 3 л -+ — + — + ... + — „+ .... 2 21 21 "' 2 » 3) Г( 1)-. ' ' '+! +(,)., » 1 (л+1)! 2! 3! 41 "' (л ! !)1 4) ~(-1) ' = 1„' ' + +(,). ! и=! 4/л 4/2 4/3 '" 4/"" ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1 вариант 1) Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда: 1) Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередуюшегося ряда; Для исследования этого рада применим признак Даламбера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
