Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Имеем л л+1 и„„л+! л л+1 1/ 1! 2"' " 2"л ' и„ 2"" ' 2" 2л 2(, л,)' 1пии„=-1!щ~ 1+-/=-<1, 2.- (, л/ 2 Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится; следовательно, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно. ° 16. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередуюшиеся ряды: 1 ! 2) 2. (-!)"" — "' = — '+-'-'-+...+(-!)"" — л'+.... 2л+! 5 7 9 "' 2л+1 » а) 2,( — 1)" ' —; 2л' $4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩЕГОСЯ РЯДА С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И ОЦЕНКА ОСТАТКА РЯДА Согласно признаку Лейбница, знакочерелующийся ряд и, — и, + из — ...
+( — 1)" ' и„+ ... сходится, если члены его монотонно убывают' по абсолютной величине и 1ппи„=о. Сумма этого ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена ряда, т. е. О<! б! <! и, 1, а остаток г„по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда В„»1, т, е. (г„1<!и„»11.
С мму членов сходящегося ряда можно записать в виде Я=Я„+г„, где у б„— частичная сумма ряда. Остаток г знакочередующегося сходящегося ряда также является знакочередуюшимся рядом. Если первый член остатка отрицателен, то и остаток отрицателен; тогда Б„> 5, т. е. частичная сумма ряда вычисляется с избытком.
Если же первый член остатка положителен, то Б„<Б, т. е. частичная сумма ряда вычисляется с недостатком. Признак Лейбница позволяет оценить' погрешность при приближен. иых вычислениях с помощью знакочередующнхся рядов. Погрешность, допускаемая прн замене суммы сходящегося ряда суммой нескольких первых его членов, меньше абсол!отпой величины первого из отброшенных членов. 17. Используя признак Лейбница, установить сходимость ряда » 1 (-1)"+'- — и оценить погрешность, допускаемую при замене л 4 1 суммы членов этого ряда: 1) суммой первых четырех его членов; 2) суммой первых'пяти его членов.
О Ряд 1 ! ! ! 1, ! 2. (-1)"" — =1 — + — — + —...+( — !)"" — +... г 3 4' 5 "' лз 1 л эиакочередуюшийся. Согласно признаку Лейбница, он сходится. 403. 24» б) 2', (-1)"" —. 4л-1 2) Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд: а) 2, (-1)"".—, 1 » л 3" а) 2', ( — 1)"+' —; ба-1' 1 б) Х(-1)" ' —,. (в+ 1)! 2) Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд: ) „Е ( ) ( +1) 2" ) Х(-!)»м „ 8 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ х 2 а„х"=ан+а,х+и»х +...+а„х"+... -о (27.4) !нп =»х11нп — <1 (х не зависит от л), откуда (х1<!нп —" (27.5) !х!э йш — ' л — 198л — 99 = О, ! О, л-200.
(27.6) 1 1) Имеем 5=5 +г, или 5=1 — + — — +г, отку а г' 3» 4' 1 1 1 115 54=1 + — — = — т0,7986„' 5=0,7986+ 4 9 16 144 Так как !г,!<!и»1, то !г !<1/5 =0,04 (г >0); следовательно. 0<г <0,04. Сумма ряда 5т0,7986 (с недостатком) вычислена с погреш превышающей 0,04. сна с погрешностью, не 2) Имеем 5=55+»5, или 1 1 1 1 5=1 — -+ — — + — +г», т. е. 5=0,8386+55. Так как !»5!<!и,», то !г,»<1/Збге0,0278, Из данного я а в 5 Сумма ряда 5т0,8386 (с избытком) вычислена с ио превышающей 0,0278. ° ) слепа с погрешностью, не 18. Сколько членов ряда т' т 1! -1 » нужно взять, чтобы 4=1 вычислить его сумму с точностью до 0,01? О Ряд „,2л — 1 3 5 2л— 2» 3» л 4 ! л л» знакочередующийся; так как его члены убывают по абсолютной величине и Ъ~ — 1, 52 1! 1пп и„= йш — = 1пп ( — — ~ = О, х х а л а Ф1л н Имеем то, согласно признаку Лейбница, ои ссади тся, меем !г„!<!и„41!.
Найдем такое л, чтобы !и„4,!40,01, т. е. чтобы 2(л+1) — 1 гл+1 !»Ь4! !» = — <0,01. (л+1)' (л+ 1)» Р 2л+1 ешим уравнение — =0,01; имеем (л+1)» (2л+1) 100 =1; 200л+100=л +2л+1; (л+ 1) Итак, чтобы вычис и ычислить сумму данного ряда с точностью до 0,01, необходимо взять 200 членов этого яда. ° Р 19. 1) Д ) Дан сходящийся знакочередующийся ряд ',»„( — 1)" +'— (л+ 1)1' Оцените погрешность, допускаемую при замене суммы членов этого ряда суммой первых четырех его членов.
404 2) дан сходящийся знакочередующийся Ряд»' ( ) ) )' (,+г)(л+3)' Оцените погрешность, допускаемую прн замене суммы этого ряда суммой первых пяти его членов. О 20. 1) Дан сходящийся знакочередующийся рдд,'» ( — 1)" + '— (За+1)» Сколько членов этого ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? 2) Дан сходящийся знакочередующийся ряд ,'Г ( — 1)" л+1 (гл)» Сколько членов этого ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001? Гтгн!тн»м.и ридам называется ряд вида тле числа а, и„и», ..., а„, ... называются каэффиииентами ряда, а член а„.т" .-абьтнн и.!!нни ряда. 06настьт ехидн нас»ли стеленного ряда называется множество всех значений .т. при которых данный ряд сходится. Число и называется радиусом схадимасти ряда (274), если при 1х»<л ряд сходится и притом абсолютно, а при !х!>Д ряд расходится. Радиус сходимости л можно найти, используя признак Даламбера: т. е, если ряд (27.4) сходится при любых х, удовлетворяющих условию (27.5), и расходится при Отсюда следует, что если существует предел 11=1ип~ —" (а„,-40, л=1, 2, 3, ...), (г?л) 4- х а„+1 то радиус сходимосги ряда )7 равен этому пределу и ряд (27.4) сходится при !.т!<)(, т, е.
в промежутке — й<х<д, который называется лрамелсуткам (интерес.»н.н ! схнднмасти. Если предел (27.7) равен нулю (Д 0), то ряд (27.4) сходится в единственной точке х=О. дм!пп —" =!нп 1+- =1. Ряд сходится в промежутке — 1<х<1. Исследуем сходимость ряда в точках х — ! и х 1. При х= — ! имеем знакочередующийся ряд 1 ! и — !+ — — +...+( — 1)" — +... 2 3 л~ В силу признака Лейбница он сходится. Ряд 1 1 ! 1+ — + — + ... + — + ... 2з Зз составленный нз абсолютных величин его членов, есть обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как р=2>1 при х=1 имеем тот же сходящийся обобщенны» гармонический ряд. Следовательно, данный ряд сходится в промежутке — 1<х<1. 5) Полагая х — 1=у, получим ряд 2.
2"У" (*). Используя формулу (27.7), -О имеем 1» 1 ОО1. ' а„„2"" 2* (а„), ! 1 Я=!пп —" =1пп-=-. О-ф(а О~~ 2 2 Получили промежуток — 1/2<у<1/2. Исследуем сходимость ряда в точках у= — 1/2 и у=1/2. При у= — 1/2 имеем ряд 2. ьу~ — ) = 2 (-!)"= ф Г(~О ф = ! — 1+ ! — ..., который расходится.
При у= 1/2 имеем ряд 2' 2" 1-) = 2' 1, "'.. И-.—. который также расходится. Следовательно, рял (О) сходится в промежутке — 1/2 < у < 1/2. 1 ! 1 ! Выразив у через х, получим — -<х — 1<-, или -+1« -+1, 2 2' г 2~' 1 3 -<х<-. Это искоман область сходнмости данного ряда Ф 23. Исследуйте сходимость ряда: О 1) 2,' -„х" в точках х= -1 и х=2; „„,2* х" 2) ,'Г ( — 1)" „в точках хфф — 2 и х=2 (л+1) 2" 24. Найдите промежуток сходнмости степензто о р да.
О х" ОО 1),~ —,; 2) 2,' —,; 3) ,'à — „х". .= (+1)' 25, Найдите промежуток сходимости степенного ряда: 1) Х ', „; 2) 2. (-1)" — "—,—.' 3) 2. (-1)" ' — ' =о(л+!)'3" =о (л+1)'4" . г /» 4) 2, ; 5) „'Г г л(я+1) „г л~ 8 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКПИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Рядом Тейлора для функции /(х) называется степенной ряд вида У'О(а) У'ф(а) /(х)=у(а)+/" (а)(х — а)+ — (х-а) + ... + — (х — а)'+ .... (27.8) 2! л! Если а=О, то получим частный случай ряда Тейлора /(х) /(О)+ х ! хз+ + хО ! / (0) / (О) 3 /а~ (О) 1! 2! л! (27.9) который называется рядом еьакяорела.
Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд. 2/вв етеоенныг рлкв ввезено ногленно елллеьтввтя н уьвнолгвть ло правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходнмости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.
Для разложения функции г(х) в ряд Маклорена необходимо; 1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке х=О, т. е. 7(0), /'(О), у'"(0), ..., 7™(0); 2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу (27.9); 3) найти промежуток сходнмости полученного ряда по формуле (27.7). Для разложения функции в ряд Тейлора необходимо; 1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке х=а, т.
е. 7(а), у'(а), у'(а), ..., уи'(а); 2) составить ряд Тейлора, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу (27.8);, 3) найти тпромежуток сходимости по формуле (27.7). 2б. Разложить в ряд Маклорена функцию: 1) /'(х)=е"; 2) /'(х)=з!пх; 3) /'(х)=созх; 4) /'(х)= —; 1 5) /(х) !п(1+х); 6) /(х)=(1+х)"; 7) /(х)ОΠ—; 8) /(х)=совзх; 9) /'(х)=агс!Ех; 10) /(х)= —. х С! 1) Вычислим значения функции и ее производных при х=О; имеем Г(х)=е", у'(х)=е", У'"(х)=е", ..., У™(х)=е"; ЛО)=1, у'(0)=1, У'"(0)=1, ..., У" (О)=1 ( = 1, г, 3,...) Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение функции у(х)=е" в ряд Маклорена: х хз х" е"=1+ — + — + ... + — + ....
1! 2! " л! Этот ряд называется эяслоиеиииаяьимм рядом. Промежуток сходимости найдем по формуле (27.7): л!' (л+1)! (л+1)л!' а„э, л! Я=!пп — =!йп (л+! (=со, т. е. — оэ<х<со. о„ и о О„т1 Полученный ряд сходится к функции Г(х)=е" при любых значениях х, так как в любом промежутке функция Г(х)=с* и ее производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом.
2) Вычислим значения функции и ее производных при х=О; имеему(х)= =з!пх, у"(х) соек, Г" (х)= — ыпх, Г'"(х)= — созх, учч(х)=з!пх; Г(О)=0, У'(0)=1, / "$0)=0; Г"(0) — 1,,Г~(0)=0.Заметим, что производные четного порядка Г го(0)=0, а производные нечетного порядка Г'~" "(0)= =( — 1)" ' (л=1, 2, 3, 4, ...).
Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение синуса в ряд Маклорена: х х» х' з!их= —,— + — — + ... +( — !)" — + .... 1! 3! 5! 7! (2л — 1)! Промежуток сходимости полученного ряда найдем по формуле (27.7): 1 1 (2л — 1)1 (2(л+1)-!)! (2л+1)! (2л+!).2л(2л — 1)! а, (2л+1) 2л(2л — 1)1, ! о„ вЂ” — '=(2л+1) 2л; Я=!пп1 —" =!пп ((2л+1).2л(=со, о.+1 ' (2л-!)! ' ч-ч о ~1( и-ч т. е. ряд сходится в промежутке — сс<х<оэ.
3) рассуждая твк же, как и в п. 2, аналогично получаем хз хч хе г ~з.= ! — + — — + ... +(- 1)" — '+ ..., 21 4! 6! (2л )! причем этот ряд сходится в промежутке — со<к<со. 4) Вычислим значения функции и ее производных при х=О; имеемУ(х)= 2 „23 — Г (х)=- —, ф (х)= —, Г (х)= —, ..., Го'(х)= 1+х (!+х)з (14х)' (!+х)~ л(»- !)(л-2) ... =(- 1)" „„ ";Г(0)= 1; Г (0)= — 1; У'"(0)=2;,Р" (О)= — 2 .
3; ...,,Гм(0)= =( — 1)" л(л — !) (л -2) .... Подставив зти значения в формулу (27.9), получим разложение функции ! ,/(х)= — в ряд Маклорена: 1+х ! ! 2, 2.3, л(л-!)(л-2) 1+х !! 2! 3! ' ' л! илн ! — =! — х+хз — кэ+,, +( 1) х + 1+х 4!О Промежуток сходимости найдем по формуле (27.7): а„=1, а„,1=1; о„/о.~,=14 Я=1. Следовательно, — 1<х<1. При х= — ! и х=! Ряд расходится, поэтому область сходнмости ряда — промежуток — 1 < х < 1, 5) 1 способ. Вычислим значения функции и ее производных при х=О; 1, ! „21 имеем ф(х)=1п(1+х), Г'(х)= —, Г" (х)= — —, Г" (х)= —, уч" (х)= 4,Г(0)-)п ! — 0 Г(0)=1;,Г (0)= — 1,7 (0)=21, Гж(0)= — 3!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
