Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Вычислите отношение объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольника около каждой из смежных сторон. 51. Диагональ г! осевого, сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом и. Вычислите объем цилиндра. 52. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна Н. Вычислите объем цилиндра. 53. Из куба выточен цилиндр наибольшего объема. Сколько процентов материала при этом сточено? 54.
Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом и вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем фигуры вращения. 55. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с радиусом /! и центральным углом, равным и радиан. Найдите объем конуса. 56. В прямоугольной трапеции основания равны а и Ь(Ь>а). Найдите отношение объемов фигур, образованных вращением трапеции вокруг оснований. 57. Ромб со стороной а и острым углом и вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба.
Вычислите объем фигуры вращения. 58. В конус вписан шар радиуса г. Радиус, проведенный в точку касания, образует с высотой конуса угол и. Найдите объем конуса. 59. Радиусы оснований усеченного конуса равны /? и г, образующая наклонена к основанию под углом и. Найдите объем усеченного юнуса. 60. В усеченном конусе радиусы оснований равны 27 и 11 см; образующая относится к высоте, как 17:15. Найдите объем усеченного конуса. 61. Усеченный конус с радиусами оснований б и 9 см и высотой 12 см пересечен двумя плоскостями, параллельными основаниям, которые делят высоту на три равные части. Найдите объем средней части конуса.
62. Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21 см, а боковая сторона равна 13 см. Вычислите объем фигуры, образуемой при вращении этой трапеции вокруг ее оси. 63. Ромб со стороной а и острым углом и вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба. Найдите объем фигуры вращения. 64. В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину! и наклонена к плоскости основания под углом и.
Вычислите объем усеченного конуса. 65. Диаметры трех шаров равны 6, 8 и 10 см, Найдите диаметр шара, объем которого равен сумме объемов этих шаров. 66. Из куба выточен шар наибольшего объема. Сколько процентов материала при этом сточено? 67. Найдите отношение объемов вписанного в куб и описанного около этого куба шаров. 375 68.
Найдите отношение объемов цилиндра, шара и конуса, если диаметры оснований цилиндра и конуса и их высоты равны диаметру шара. 69. Внешний радиус полого шара 9 ем, толщина стенок 3 см. Найдите объем, заключрнный между стенками. 70. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на две части, равные 3 и 9 см.
Найдите объемы соответствующих частей шара. 71. Два равных шара размещены так, что центр одного находится на поверхности другого. Как относится объем их общей части к объему шара? 72. Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60'. Вычислите объем сегмента. 73. Радиус основания шарового сегмента 8 см, его высота 4 см. Вычислите объем сегмента. 74.
Радиус шара равен Я, угол в осевом сечении шарового сектора 120'. Вычислите объем шарового сектора. ' 75. Радиус окружности основания шарового сектора 60 см, радиус шара 75 см. Вычислите объем шарового сектора. 76. Радиус шара равен Я, дуга в осевом сечении шарового сектора и. Найти объем шарового сектора, 77. Дуга в осевом сечении шарового сектора равна ц, высота сектора равна Ь. Найдите объем шарового сектора, 78.
Радиусы параллельных сечений шара 20 и 24 см, а радиус шара 25 см. Вычислите объем части шара, заключенной между этими сечениями (рассмотрите два случая). 79. В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну сторону центра две параллельные плоскости, отстоящие от центра на 19 и 25 см. Вычислите объем части шара, заключенной между ними. 8 б. ИССЛЕДОВАНИЯ НА ЭКСТРЕМУМ В ЗАДАЧАХ НА ОБЪЕМЫ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ 80. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус с радиусом основания Я и высотой Н, найти тот, у которого объем наибольший. О Пусть г — радиус основания искомого цилиндра, а Ь вЂ” его высота (рис. 168).
Из подобия треугольников АВОт и АСС, имеем К/Н=(Я вЂ” г)/Ь, откуда Ь=Н(К вЂ” г)/Я. Подставив значение Ь в формулу объема цилиндра Р=лгзЬ, получим Н(К вЂ” г) лн Р=лгз = — (Яг -г'); 0<г<Я. К Я Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной: лН лН Р'= — (2Кг-Згз)' — (2Кг — Згг)=0; 2Кг — Згз=О; г(2К вЂ” Зг)=0; К К 2 „лН г,=О, г =-К; Гг"= — /2К вЂ” бг); /г" (2К/3)= — 2кН. 3 К' 376 Рис. 168 Рнс.
169 Вторая производная при г= 2Я/3 отрицательна, следовательно, функция прн г=2Я/3 имеет максимум. Найдем высоту искомого цилиндра: Н(Я вЂ” 2Я/3) 1 Я 3 'Итак, наибольший объем, имеет конус с радиусом основания г=2Я/3 и высотой Ь=Н/3. ° 81. Из всех конусов, вписанных в шар радиуса Я, найти тот, у которого объем наибольший.
О Пусть А/з=г — радиус основания искомого конуса и /зС=Ь вЂ” его высота (рис. 169). Из КВАС по теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике имеем А/т'=В/3 /ЗС, или гз=(2Я вЂ” Ь)Ь. Подставив значение г' в формулу объема конуса $'=лгзЬ/3, получим !г=-л(2Я вЂ” Ь) Ь Ь=-л(2ЯЬз — Ьз); О<Ь<2Я. 3 3 Исследуем эту функцию на экстремум с помощью второй производной 1"=-л(4ЯЬ вЂ” ЗЬ ); -л(4КЬ-ЗЬз)=0; 4ЯЬ вЂ” ЗЬз=О; Ь(4К вЂ” ЗЬ)=О; 3 3 4 „! 2 Ь,=О; 4К вЂ” ЗА=О; Ьз=-К; Зг"=-л(4К-бЬ)= — л(2К вЂ” ЗЬ); 3 ' 3 3 2 Г 4 '! 2 4лй и" (4К/3)=- б 2Я вЂ” 3 -К)=- ( — 2лЯ)= — —. 31, 3) 3 3' Вторая производная отрицательна при Ь=4Я/3; следовательно, функция при этом значении аргумента имеет максимум.
Найдем значение г при Ь=4Я/3: д 4 ! 4 2Я4 8 2.,/г2Я гз= 2Я вЂ” Я) -Я= — -К=-Кз, т. е. г= 3 ) 3 3 3 9 ' 3 Таким образом, наибольший объем имеет конус с радиусом основания 2Я /г2/3 и высотой 4Я/3. ° 377 Рис. 170 Рис. 171 82. Из всех цилиндров, вписанных в шар радиуса о, найдите тот, у которого объем наибольший. 85. Открытый круговой цилиндрический желоб изготовляется из полосы жести шириной а см. При каком центральном угле и объем желоба будет наибольшим? 84. Из всех конусов с данной образующей ( найдите тот, у которого объем наибольший. 85.
Из бумажного круга радиуса )! вырезан сектор и из оставшейся части круга склеена коническая воровка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим7 Найдите радиус основания и высоту воронки. 8 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=у(х) (а4х<Ь), осью Ох и прямыми х=а и х=Ь (рис.
170), вычисляется по формуле ь ~'= л ) у з б(х. (25.11) Аналогично, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой х=ф(у) (е<уЩ осью Оу и прямыми у=с и у=ь(, находится по формуле )г=л) х Ау. (25.12) с Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями. 86. уз=4х, у=0 и х=4 вокруг оси Ох.
О Выполним построение (рис. 171). Фигура вращенив представляет собой параболоид; пределы интегрирования а=о и Ь= 4. По формуле (25.11) получим 378 Рис. 173 Рис. 172 Р=л) 4хнх=тььтс (бо — — 32к(куб. ел.). ° о 87. у=ха-9 и у=О вокруг оси Ох. О Выполним построение (рис. !72). В силу симметрии фигуры относительно оси Оу возьмем пределы интегрирования от 0 до 3, в затем полученный результат удвоим. По формуле 25,!1) находим з, з .3 '3з Ь72=л) (хз — 9)з ь(х= я) (хб-18хо+ 81) Их=я — бхз+ 8!х ~ = 129 бл; о о !'=2 129,6л=259,2л(куб. ед.). Ф 88.
х — 2у+6=0, у=О и х=2 вокруг оси Ох. О Выполним построение (рис. 173). Прямая х-2у+6 = 0 пересекает ось Ох в точке А( — 6; О); пределы интегрирования а= — 6 и Ь=2. Вычислим объем конуса, образованного вращением треугольника АВС, в котором сторона АВ выражается уравнением у=(1/2)х+3; 2 3 К=я -х+3 ь(х=к — хзч-Зх+9 Ах= -б -б Гхз 3хз 1з 2 =л1 — Ч вЂ” 69х~ =.42-л(куб. ед.). Ф (12 2 ~ 3 89, хз/аз — уз/Ьз=1, у=О, х=а, х=2а вокруг оси Ох. О Фигура вращения — гиперболоид. Из уравнения гиперболы имеем у =(Ьз/а )(х — аз) (рис. 174). Следовательно, !'=к — -Ь' б(х=л — Ь х =л — -2аЬ' — — -аЬ 8аЬз-баЬз-аЬз+3аЬз 4лаЬ' я 3 — — (куб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
