Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 78
Текст из файла (страница 78)
° 37. Извлечь 1„2г(,025 с точностью до 0,00001. О Имеем !уг1,025=(1+0,025) "э. Рассмотрим биномиальный ряд лэ(иэ — 1) 1 эи Ои — ! Кт — 2) э (1+х) =1+юг+ хэ+ хэ+ „,, 12 123 Полагая х=0,025 и ш=1/3, получим '(' 1 '(' 1' 1 -( — — ! — (- — 11 — 2 (!+0025)"'=!+ — 0025+ (0025)'+ л (0025)'+ 3 ' 12 ' 123 = 1+ 0 008333 — О 000069+ 0,000001. Это знакочередующийся ряд, в котором четвертый член 0,000001< <0,00001; следовательно, для приближенного вычисления (уг1,025 с точностью до 0,0000! достаточно взять три первых члена суммы ряда.
Итак, (!+0 025)цэ 1+0 00833-0 000069лл!,00826. ° Используя соответствующие ряды, выполните вычисления с заданной точностью. Ответ проверьте на микрокалькуляторе. 38. С точностью до 0,0001: 1) а(п 26'; 2) зш 38'; 3) соз 16', 4) соз 47'. 39. С точностью до 0,0001; 1) 1п1,02; 2) 1п1,1. 40. С.точностью до 0,001: 1) аУ),003; 2) 2,11,012; 3) '/К2. б й. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Если функция не интегрируется в конечном виде нли ее интегрирование приводит к громоздким вычислениям, то определенный интеграл от такой функции вычисляется с помощью рядов.
27 — 3162 417 В этом случае первообразную функцию сначала выражают в виде ряда, а затем вычисляют определенный интеграл с заданными пределами интегрирования. Число членов полученного ряда определяется заданной точностью вычисления. х на (-хз), получим ,1, «С хс хе е * 1-х'+ — — + — — ... 2! 3! 4! ) вох 41.
Вычислить интеграл ! — 5(х с точностью до 0,000001. х о О Воспользуемся разложением ппх х' х' х' — =1 — + — — + ... (-со <х<со) х 3! 51 7! (см. п. 10 примера 26). Проинтегрируем этот ряд почленпо: 1 ! / опх (сс хз «С хс х — с(«=~~1- — + — — + — ... с!х= х ~ ~ 3! 5! 7! 9! о о хз х! хт «о !' 1 1 1 1 3! 3 5! 5 7! 7 91 9 ~о 3! 3 5! 5 7! 7 9! 9 Полученный ряд является знакочередующимся, поэтому погрешность вычисления не превосходит первого отброшенного члена. 1 Вычислим — на микрокалькуляторе с помощью алгоритма 9! 9 П П о.з 42. Вычислить / е " сгх с точностью до 0,00001, о О Заменив в разложении хг хз «4 е" 1+х+ — + — + — + ...
( — со<х<со) 2! 3! 4! 418 1 Так как — в0,0000003<0,000001, то пятый член ряда меньше 0,000001. 9! 9 Поэтому для приближенного вычисления интеграла с точностью до 0,000001 достаточно взать сумму первых четырех членов раца! 1 | ппх ! ! 1 — с!«в 1 — + — —.
х 3! 3 51. 5 7! 7' о Вычисления производим согласно приведенному выше алгоритму с семью десятичными знакоми; 1 — 0,0555556+0,0016667-0,0000283= ' 1 =0,9460828в0,946083. Значит, ~ — с(хв0,946083. Ф х о Проинтегрируем этот ряд почленно: о.э О.з 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Э ~ ~ ~ 5 ~ т (с / «4 «е «5 е *йх |(! — х+ — — + — —... Ых= ~ [, 2! 3! 4! о о х' хз хс хз о ' (0,3)5 (0,3)5 (0,3)' =х — — + — — + — — ... =0,3 — + — — — + ...= 3 2! ' 5 3! ' 7 4! ' 9 о 3 2! ' 5 3! ' 7 0 3 О 009+0 000243-0 000005+ 3 1О 42 Так как 0,000005<0,00001, то для приблихсенного вычисления интеграла с точностью до 0,00001 достаточно взять сумму первых трех членов ряда.
О,э Значит, / е =0,3 — 0,009+0,000243=0,309243в0,30924. ° е Используя соответствующие ряды, выполните вычисления с заданной степенью точности. 1 ! 43. С точностью до 0,0001: 1) |вснх' сгх; 2) |созхзсгх. о о 0.2 х 51О— 51пХ 4 44. С точностью до 0,0001: 1) ~ — А«; ~ — с(х. х ' ~ х о о од 0.5 45. С точностью до 0,001: 1) | 'ус)+«за«; 2) 1 /1+х' ох. о о О,з О,гз с(«с! « 46.
С точностью до 0,0001: 1); 2) с 1+ 15' ф+ тз 'о о 0,5 1 47. С точностью до 0,001: 1) | хе 'ссх; 2) |е * с!х. о о Глава 28 РЯД~1 ФУРЬЕ й 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 1. Гвранивкн. Простейшей периодической функцией является синусоидальиая функция у(х) А 5!о(в«+ 1р), где А, в и ср — постоянные. Она называется яростой гармоникой. Функция г(х) описывает гармонические колебания, которые обусловливаются различными причинами. При этом; А — амплитуда колебания (размах колебания); ох+ ср — фаза колебания; ср — начальная фаза колебания; в †кругов частота колебания. Функция вл(ах+ ц) имеет период Т=2к/кь Величина, обратная периоду, т.е. и=1/Т=ФК2к), называется частотой; она показывает, сколько раз данное периодическое явление повторяется в единицу времеви: Сивусоидальную функцию можно преобразовать к виду ((х) = А з(п (ых+ ц) = А з)п ых сох ц+ А соз ых з(п Ф.
Полагая Апнц=а, Асозц=Ь, получим ((х)=осозых+Ьх(пьат. Простые гармоники можно складывать, причем их суммой служит простая или сложная гармоника. Если составляющие гармоники имеют одинаковую частоту, то и их сумма является гармоникой с той же частотой и с тем же периодом, т. е. простой гармоникой. При сложении гармоник разных частот получается новая периодическая функция — сложная гармоника. Функция Дх), представляющая собой сумму конечного числа гармоник: ((х)=о -» (а, созх+Ь, зтх)-» (а,созух+Ь,ьт 2х)+ ... +(о„созпх+Ь„з(лпх). явлвется периодической функцией с периодом Т=2х.
2. Трвгтюметричы:кнй рвд Фурье. Тригопомгтричгспим рядом Фурье для фукции ((х) в промежутке изменения аргумента — я<я<к называется ряд вида аь .((х)= +(аьсозх+Ььз!Пх)+(а соз2х-».Ь зна2т).1 +(а сохах+Ь з(лпх)+ (28.!) или, короче, (28. 3) а.=-~ ((х)созпх~~х (и=1, 2, 3... ), п~ Ь„=- ~ Ях) з(п птг/т (и= 1, 2, 3„.) (28.4) (28. 5) ь /(х) = — +,» (а„соз ах+ Ь„зш пх), 2 где аь, а„а,, „а„..., Ь,, Ьг,..., ܄— коэффициенты ряда, называемые коэффициентами Фурм. Функция ((х) — периодическая с периодом 2к. Тригонометрический ряд достаточно рассматривать только для значений х в промежутке 0<х<2я (нли — к<я<к), так как за пределами указанного промежутка значений аргумента величина калщого члена ряда периодически повторяется.
Разложение функции, прелсзввляиягвй сложное периодическое движение, в тригонометрический ряд имеет важное значение в прикладных науках. Тзюе разложение в тригонометрический ряд называетсв гармопачггким анализом. Чтобы разложить периодическую функцию ((х) с периодом 2я в тригонометрический ряд, нужно найти коэффициенты этого ряда, которые вычисляются по фврмулам: ( 1Г ( а„=-~ ((х)соапхдх=-~~ 0 созпхдх+ хсозпхь/х я я ь ь 421 Формула (28.3) получается из формулы (28.4) прн п=О. 3. Условия Дирихле дтг функций. Напомним (см.
гл. б, $ б), что точка хь называется точкой разрыва 1 рода функции у(х), если при Рис. 180 х-ьхе существует лево- сторонний конечный предел /(хо †) и правосторонний конечный предел ((хо+0), не равные между собой, т. е. если ф(хо †)ьь((хь-~-О). Функция ((х) с областью определения -я<х~к может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к данной функции ((х) при определенных условиях, называемых условиями Дирихяе. 1) функция должна быть непрерывной в промежутке — к<х<я или может иметь в указанном промежутке конечное число разрывов 1 рода; 2) функция должна иметь конечное число экстремумов или не иметь их совсем (в технических приложениях очень редко встречаются функции с бесконечным числом экстремумов).
4. Теорема Дирвхле. Если функция Дх) с областью определения — я<х<к удовлетворяет условиям /(ирихяг, то: 1) ряд Фурье фуикьти г'(х) гходигнся в указанном промежутке значений т, 2) сумма эгпого ряда равна функции у(х)'ао всех точках непрерывности данной функции, лежащих внутри промежутка -п<х<ж ((хь -0) +/ (хь+ 0) 3) оо всех точках разрыва сумма рпда раппа 4) на концах промежутка. т. г. при х=-к н х=к, сумма ряда имеет (( — к+0)+((я — 0) одно и то жг зпачгпиг, равное 1. Раэцржить в ряд Фурье периодичесдузо фуидциго 0 при — л<х<0, /(х) х при ОЯх~л.
(3 График функции вместе с периодическим продолжением на всю' ось Ох изображен на рис. 180. По формулам (28.3) — (28.5) найдем коэффициенты Фурье, учитывая, что ((х) О в промежутке — к<х <0 и Лх)=х в промежузхе 0<х<к. Сначала находим Я ь ь аь=- г(х)дх=- 0 г/х+ хг/х . ь ь 1 ( хг~' л Пе вый интеграл равен нулю, поэтому аь=- ~ хдх= — ~ =-, Р Далее, находим коэффициенты а„: 1 = — [(- !)"- !1 и й 2( Ь„=- 7(х)япихбх (и=!, 2, 3,...). й~ (28.6) рис. 182 Первыи интеграл ранен нулю, второй интеграл вычи числяем по частям по формуле)иг(о=по-)оо(и. Здесь и=х, бо=сойих1(х, б =о(, = ойих, и=ах, о=-япих, откуда и й~ и 1 ) в(пих1(» 1= 1 хввпих+ — сових до ио о о / 'Ч !1' -йяплй+ — совая — О.!. „. ! 1 1 1 Рндаваа и значениЯ 1, 2, 3, пол 2 ,..., получим 1=, до=О, ао= — д Звй* 2 до= —— 51й"" ' Наконец, находим козффициенты Ь„: 1 1 ! о ,!(х)ппихбх=-[) О.я„их,!х() ° ( ) ! о хяпихЫх, о Интегрируем по частям; полагая и=х, а1=яп ахах, ой1=бх о= — сових получим и — Х СОВ ИХ +- СОВ ЛХ 1(Х =- — — Х СОВ ИХ+ — В1П й о и и (о — — совий+ — ов1пий-(О+О) = — -со ий= и — — (-1) --(-1)(-!) --(-1) и и и Откуда Ь,=1, Ьв= Ьз=", Ьо= —, Ь =-,....
1 1 1 Согласно формуле (28Л), имеем )=4 — -совх+ввпх~+ Π— яп2Х)+~- — совЗ +- / 1, й. [ - — сов х+-япЗх + + Π— яп4х +1 — сов5х+-ввп5х +... 4 / ~, 5 ой 5 / Лх)=- — ~ — + — + —,+... + й 2!'совх совЗх сов5х 4 й[ 1 31 51 + со!их воп2Х вюЗх вго4х в1п5х + 1 2 3 4 5 / 2. Разложите в ряд Фурье следующие периодические функции: ( — х при — п<х<0, 1) у(х)=~ в промежутке -й<х<й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
