Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 65
Текст из файла (страница 65)
*-. ° 3 ) 2)' 2' 3' 3' 3' 44. Найти точку пересечения прямой (х — 2)/4 =(у — 3)/2 = (г+ 1)/5 с плоскостью х+2у — Зг — 4 О. О Запишем уравнениа прямой в параметрической форме. Полагая (х — 2)/4=(У вЂ” 3)/2=(г+1)/5=6 получим: х=2+40 у=3+20 г= — !+5г. Подставив найденные значения х, у, г в уравнение плоскости, имеем 2+4!+2(3+2)) — 3( — ! +5)) — 4=0, откуда )=1. Подставим значение ) 1 в параметрические уравнения прямой; (тогда получим: х=6, у=5, г=4. Итак, (6; 5; 4) — искомая точка пересечения 4)рамой и плоскости. ° 45. Убедиться в том, что прямая (х — 2)/4=(у+4)/3=(г-1)/(-2) параллельна плоскости 5х — 2у+7г+3=0. О Используя условие (22.17) параллельности прямой и плоскости, получим 5 4+ ( — 2);3+7 ( — 2)=0, т.
е. прямая и плоскость параллельны. ф 46. Проверить, что прямая (х-3)/4=(у — 1)/2=(г+2)/3 лежит в плоскости 2х — у-2г — 9= О. О Используя условия (22,19) при а=З, Ь=1, с= -2, т=4, п=2, р=3, А=2, В= — 1, С= — 2, В=-9, нахолим 2 3+ ( — 1) 1+ (-2) ( — 2) — 9= 0; 2 4+ ( — 1) 2+ ( — 2) 3=0. Следовательно, прямая лежит в плоскости. ° 47.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 2х+у — Зг+4=0, х †у+я+3 и точку М(2; 1; -1). О Используя равенство (22.20), запишем уравнение пучка плоскостей, проходицих через данную прямую: 2х+у-Зг+4+!3(х-у+к+3)=0. (') Так как координаты точки М должны удовлетворять уравненяю плоскости, то, подставив в соотношение (е) х=2, у=1, г= — 1, имеем 2 2+! — 3( — 1) +4+2(2 — 1 — 1+3)=0, или 12+38=0, откуда Х=-4. Подставляя теперь в соотяошение (ч) найденное значение !3, получим 2х-5у+7г+8=0. й! 48.
Вычислите угол между прямой (х+4)/3=(у — 1)/2=(г-3)/4 и плоскостью 2х-Зу-2г+5=0. 49. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (21 — 1; — 4) перпендикулярно прямой (х- 3)/2 = (у+ 2)/4 = (г+ 5)/3. 351 50.
Через точку (1; 2; 4) проведена прямая, перпендикулярная .плоскости 2х+ Зу+г — 4 = О. Вычислите направляющие косинусы этой прямой. 51. Составьте уравнение перпендикуляра к плоскости 4х — 5у— г — 3=0, проходящего через точку М( — 1; 1; -2). 52. Найдите точку пересечения прямой (х+ 3)/2 =(у-1)/3 = (г+ 5)/2 с плоскостью 2х+Зу+г-22=0. 53. Составьте уравнения перпендикуляра к плоскости х — Зу+ + 2г — 26 =0, проходящего через точку ( — 2; 2; -4). Найдите координаты основания этого перпенднкуляра.
54. Проверьте, что прямая (х — 1)/( — 2) = (у — 4)/( — 3) = (г+ 1)/3 параллельна плоскости Зх-5у-Зг-4=0. 55. Проверьте, что прямая (х — 1)/2=(у+3)/(-!)=(г-4)/5 лежит в плоскости Зх-4у-2г-?=0. 56. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую 2х — 4у+ 5г+ 5 = О, 2х — у+2г — 1=0 и точку М(3; 2; !).
9 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 57. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(-2; 2; — 3) параллельно вектору ~у=(2; -4; 5). 58. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий вектор 9 прямой образует с координатными осями Ох, Оу, Ог углы ц=2п/3, /З=п/3, у=.я/4. 59. Вычислите угол между прямыми (х — 3)/1=(у+2)/(-1)=г/ /2 и (х+2)/1=(у — 3)/! =(г+5)/ /2. 60.
Составьте уравнениа плоскости, проходящей через ось Ог и точку А (1; — 2; !). 61. Составьте уравнение плоскости, если точка М (2; — 1; 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат. 62. Найдите проекцию точки М (5; 2; — 1) па плоскость 2х-у+ + Зг+ 23 = О. 63. Вычислите угол между прямой (х — !)/4=у/12=(г — 1)/(-3) и плоскосп ю бх — Зу-2г= 0. 64. Найдите точку пересечения прямой (х-12)/4 = (у-9)/3 = =(г — !)/1 и плоскости Зх+5у — г — 2=0. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант 11 вариаят 1) Составьте кгиоиические и па- !) Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, поо- раыстричсские уравнения прямой, про- ходящей через точкг А (2; -3; 4) параллельно вектору 4=( — 1; 4; — 2).
2) Составьте уравиевие плоскости, проюдгщей через точки А (1; 2; !) и й(0; 3; 4) и перпендикулярной плоскости х+2у — г=0. 3) Вычислите угол между прямой (х-5)/2=(у+!)/(-2)=г/(-!) и плоскостью 2х+у — 2г+5=0,. ходюцей через точки А (1; 3; — 5) и В(4; — 1; 2). 2) Составьте уцзвиеиие плоскости, прохолацей через точку М (-2; 1; 2) параллельно двум векторам а= =-7+23х — ЗЕ я 5=5/-7хь/с. 3) Найдите точку пересечения прямой (х- !)/3 =(у+ 2)/4=(г — 3)/(-2) и плоскости 2х-у+Зг-1=0. Глава 23 МНОГОГРАННИКИ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ $1. ПРИЗМА 1. Какое число граней, вершин, ребер и боковых ребер имеют треугольная, четырехугольная и шестиугольная призмы? 2. Сколько плоских, двутранных и трехгранных углов имеют треугольная, четырехугольная, шестиугольная и л-угольиая призмы? ' 3.
Сколько диагоналей имеют треугольная, четырехугольная, шестиугольная и л-угольная призмы? 4. 1) Сколько диагональных сечений можно провести через одно боковое ребро в треугольной, четырехугольной, шестиугольной и и- угольной призме? 2) Сколько диагональных сечений можно провести через все боковые ребра в четырехугольной, шестиугольной и и-угольной призме? 5. Чему равна сумма всех плоских углов треугольной, четырехугольной, шестиугольной и л-угольной призмы? 6.
Докажите, что сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно каждой ее боковой грани. 7. Докажите, что число ребер призмы кратно трем. 8. Чему равна сумма всех двугранных углов, образованных боковыми гранями прямых призм: треугольной, четырехугольной, шестиугольной„и-угольной? 9. Докажите, что углы наклона всех боковых ребер призмы к плоскости ее основания равны, 10. Докажите, что в наклонной треугольной призме расстояние от бокового ребра до противополохсной грани равно высоте треугольника, который служит перпендикулярным сечением призмы.
11. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна гл, а боковые грани †квадра. Найдите диагонали призмы и площади диагональных сечений. 12. В правильной треугольной призме каждое ребро равно а. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Вычислите плошадь сечения. 13. В правильной четырехугольной призме диагональ основания равна ги, а диагональ боковой грани равна и.
Вычислите диагональ призмы. 353 352 33 — 31б2 В 6! 14. Дана правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна а Л! и высота Ь. Вычислить кратчайшее расстоя! ние от стороны основания до непересекающей ее диагонали призмы. О Прямые АВ и 0В! — скрещивающиеся. Ор- тогональная проекция двух скрещивающихся пряь мых на плоскость, перпендикулярную одной из них, изображается прямой и точкой. Расстояние Я В мехслу этой примой и точкой равно расстоянию Рис. 166 между скрещивающимися прямыми (рис.
!66). Спроецировав прямые АВ и ВВ! иа грань АА!В!О, получим точку А=пррр р рАВ н Агй=пр„„р р0В,. Расстояние между АВ и 0В! равид расстоянйю от точки А до А,Ь, т. е. высоте АК прямоугольного треугольника АА!О: А!У АА, ай АК= А!О !рх+Ьх 15. В правильной четырехугольной призме диагональ наклонена к боковой грани дод углом 30'. Вычислите угол наклона ее к основанию, 16, В правильной треугольной призме сторона основания равна !2 см, а боковое ребро равно 10 /3 см.
Вычислите площадь сечения, проходящего через боковое ребро перпендикулярно противоположной грани. 17. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 13, 20 и 2! см, а высота призмы равна 25 см. Вычислите плошадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания. 18. Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы и высота соответственно равны 8, 5 и 2 ем.
Вычислите сторону основания призмы, 19. Вычислите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 1) 12, 16, 21; 2) 2, 4, 6. 20. Вычислите диагонали прямого параллелепипеда, каждое ребро которого равно а, а угол в основании равен 60', 21. В прямом параллелепипеде все диагонали равны. Докажите, что данный параллелепипед является прямоугольным. 22. Найдите зависимость между ребром куба а и его диагональю и. 23. Найдите зависимость между диагональю куба Ф и диагональю его грани Аг. 24.
Вычислите угол между диагональю куба и его основанием. 25. Вычислите острый угол между диагоналями куба. 26. Какой длины нужно взять проволоку для изготовления каркаса куба со всеми его диагоналями, если ребро куба равно !О см7 27. Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние от диагонали до не пересекающего ее ребра. 28. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали. 29. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если диагонали его граней соответственно равны 11, 19 и 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
