Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 63
Текст из файла (страница 63)
56. Даны силы г"=( — 2; -3; 2) и точка ее приложения А( — 1; 3; — 1). Найдите момент силы относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями. 8 4. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 57. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (1; 4; 3), В(2; 31 5), С(2; 5; 1) н у)(3; 4; 3) — параллелограмм. 58. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек А(1; — 3; 7) и В(5; 7; — 5). 59.
Докажите, что четырехугольник с вершинами А(3; — 1; 2), В(1; 2; — 1), С( — 1; 1; -3) н .0(3; — 5; 3) — трапеция. 60. Вершинами треугольника служат точки А (10; — 2; 8), В(8; 0; 7) н С(10; 2; 8). Вычислите периметр треугольника. 61. Отрезок АВ, концами которого служат точки А( — б; 1; 12) н В(9; 4; — 9), разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления. 62. Даны два вектора: а= Зс+ 2у — 5ус и Ь = — 2г+ Зу+ 4ус. Вычислите координаты векторов а+Ь н а — Ь. 63. Вектор АВ= а задан координатами своих концов: А( — 4; 1; 3), В(2; — 5; 6).
Вычислите косинусы углов, которые вектор а образует с базиснымн векторами. 64. Даны векторы а=(2; 2; — 1) и Ь=(-3; б; — б). Вычислите косинус угла между ними, 65. На векторах а=21+ут и Ь"= — У+ус построен параллелограмм, Вычислите острый угол между его диагоналями. 342 1 вариант В Вектор Ай=а закан координаоих концов: А(2;41 — 3) и В(б; — 3' 1) В лл косинусы углов, которые образует вектор с базисжыми векторами. 2) Даны векторы а =(2; — 4; 5) и Ь=(4; — 3; 5). Вычислите косинус угла между ними.
3) Найдите векторное произведение векторов а=21 +4у+Зл и Ь= 31+)+ 2й. 1) Дан треугольник с вершинами А!-21 -4; О), В(-2; -1; 4) и С( — 2; 3; 1). Вычислите его внутренний угол при вершние А. 2) Даны трн вектора: а=12с— Зу-4ус, Ь= у+ 2ув рйл и с= = с'- Зу — 2)с. Вычислите проекцию вектора Ь+с на вектор а. 3) Вычислите плошадь параллелограмма, построенного на векторах а=31+5уобйус и Ь=у+2улбЗЕ Глава 22 УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ б 1. ПЛОСКОСТЬ (22.2) осте. П сть Р— плоскость, Мо(хо; уо; го) — точка, прииаллпкшцая этой ппо оскости Уфрис. 164), а л = А;; — н е пендик ля ныи плоск плоскости Р (он яазывается МоМ =(х-Хо' У Уо' г-го) пеРпендикУлврен ве- то л=(А; В С), т. е.
скалярное д оезвеление этих векторов равно нулю: л. л (г-г о)=0. ,22.1) -. д р Уравнение (22.1) называется уравнением лгоекоппи в векторной форме. Если и его записать в г Рис. 164 координатной форме, то получится уравнение А(х — хо)+В(у уо)+С(г-го)=0 , л охода.„через данную гаечку в которое называется уравнением ллосяоети, лрохо заданном направлении.
У е (22.2) можно переписать в виде Равнени (22.3) Ах+Ву+С +)1=0, — Сг ). У авнение (22.3) называется общим уравнением где уз= — (Ахо+Вуо+ гш. р Заметим, что так как нормальны е л й вектоР— ненулевой, то плоскости. стим, о вов сменно не равны коэффициенты, и о А, В С бщего уравнения плоскости одвоврем нулю. еекоспви. Угол между двумя плоскостями. 2. Угол между двумя елеекоспви. гол +Вор+Сох+У)г=0 посеют нормаль плоспюпс Асх+Всу+Ссг+Эс= и Агр+ гу гг г.= 343 (22.4) 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(3; 2; 4).
О Уравнение искомой плоскостя имеет внд Ву 4Сг=О. Подставив в это уравненве координаты точки М, получим 2В+4С=О, т. е. В= — 2С Подставив теперь значение В в уравнение Ву+ Сг= О, находим — 2Су+ Сг= О, т. е, 2у — г=О. ° ) 4. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Ог и проходящей через точки М, (3; — 1; 2) и Мг ( — 2; 3; 4). О Так хак искомая плоскость параллельна осн Ог н проходят через точкв М, (3; — 1; 2) в Мо ( — 2; 3; 4), то в качестве ее нормального вектора )с= =(А; В; С) можно взять вектор, перпендикулярный векторам М,Мг= =(-5; 4; 2) в л, =(О; 0; 1) (едвнвчному вектору осн Ог).
С другой стороны, известно, что векторное произведение двух векторов есть вектор, перпенднкулярный векторам-сомножятелям; поэтому эа л можно принять векторное произведение М,М, в л,. Следовательно, а=М,Мгха,= — 5 4 2 =)' — уо +!с =4!+5!о (о ! ! о 1~ ! о о 344 ные векторы л) —— (А,; В,; С,) в лг=(Аг! Вг! Сг), Тогда угол между этями плоскостями вычнсляется по формуле л) 'лг !А,Аз+В)Во+С,Сг1 соо 4) ) ) *) озцвЬс,,оо)+о' ' 3. Угловая параллельяостя я перпендякуляряостя двух плоскостей. Для того чтобы две плоскости были параллельны, вх нормальные векторы л) в л г должны быть коллвнеарны, т.е. л, = Хи г, где 1~0.
Если нн одна яз коордвнат векторов л, в л г не равна нулю, то вз последнего равенства следует, что А) !Аг = Вс !Вг = С) !Сг (22,5) т. е. коэффициенты прн соответствующих координатах цропорцнональны. Для того чтобы плоскости были перпенлнкулярны, ях нормальные векторы л, н л г также должны быть перпендикулярны, т. е. нх скалярное произведение равно нулю; л, лг=О. Отсюда следует, что А)Аг+ В)Во+ С) Сг 0 (22.б) 1.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (- 3; 0; 2) н перпендикулярной вектору л=(2; 3; 5). О Здесь А=2, В=З, С= 5. Подставив в уравнение (22,2) значения коэффициентов А, В, С я координаты точхв М, получим 2(х+3) +З(у — 0) +5(г — 2)=0 влв 2х+Зу+5г — 4=0.
° 2. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку Мо (2; — 1; 3). О Уравнение плоскостя, перпендикулярной осн Ох, имеет вкд Ах+!3=О. Подставив в зто уравнение координаты точки М„ находвм )3= — 2А.
Подставив теперь значение !З в уравнение Ах+1)=0, получим Ах — 2А =О, т.е. х †2. ° задач 4 н 5). Таким образом, )' уо !С л= М,Мгхл)= 3 7 — 3 2 3 — 1 7 — 3 13 — 3 37( =! —,! +!с ~=2! — ЗУ вЂ” 5(с. 3 — 1 )2 — 1 23~ Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку М, ( — 2; — 3; 1) перпендикулярно вектору л=(2; — 3; — 5): 2(х+2) — 3(у+3) — 5(г-!)=0, лля 2х-Зу — 5г=О.
Заметим, что прв составленян уравнения искомой плоскости вместо точки М, можно было взять точку Мг. ° В. Найти угол между плоскостями 2х — Зу+4г-1=0 и Зх — 4у— — г+3=0. О Для вычисления угла )р между плоскостями воспользуемся формулой (22 4). Имеем А) = 2, В, = — 3, С, = 4 в Аг = 3, Вг = — 4, Сг = — 1. Следовательно, +( 3)'( )+ '( )1 051. 59 2 ~)-3) ~~ Р+)- ) ~)-О /2955 9. Найти расстояние от точки А (2; 3; 4) до плоскости 4х+Зу+ +12г — 5=0.
345 Остается воспользоваться урввненнем плоскости, проходящей через данную точку М, (3; — 1; 2) перпендикулярно вектору л=(4; 5; 0), Имеем 4(х — 3)+5(у+1)=0, яля 4х+5у — 7=0. ° 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (2; — 1; 3) и параллельной векторам а (3; О; — 1) и Ь (-3; 2; 2). О Очевидно, что в качестве нормального вектора в=(А; В; С) нскомой плоскости можно взять векторное произведение а на Ь; 0-1! 3-1 ( 30( в=ахЬ= 3 0 — 1 =)Р ~ -! +Ь ~ 1=2)Р— 3!+б!с. 2 2( — 3 2 -32 Используя теперь уравнение (22.2) прв А=2, В= — 3, С=б, хо=2, уо= — 1, го=3, получим 2(х — 2) — 3(у+1) +6(г — 3)=О, ялв 2х — Зу+бг — 25=0.
° 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М( — 2; 3; 4) и параллельной плоскости х+2у — Зг+4=0. О Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости х+2у — Зг+ +4=0, в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор л=(1; 2; — 3) данной плоскости. Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении, получим (х+2)+2(у — 3) — 3(г-4)=0, яля х+2у — За+8=0. 41 7.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Мг ( — 2; — 3; 1) и М, (1; 4; -2) и перпендикулярной плоскости 2х+ Зу — г+ 4 = О. О За нормальный вектор й искомой плоскости примем векторное произведение векторов М,М,=(З; 7; — 3) в й) =(2; 3; — 1) (ср. с решением О Пусть А — расстояние от точки А до данной плоскости. Вектор АВ копяииеареи вектору й=(4; 3; 12), поэтому АВ =Хи. Обозначив координаты точхи В через х„у„г„иаидем АВ=ОВ-ОА (гэ — 2; у1-3; г1 — 4).
Из равенства АВ = Хя следует, что х, -2 = 4к, уз -3 = ЗХ, г, — 4 = 121. Используя формулу расстояния между двумя точками, имеем йэ) Щ 7Щ 7~~21) 13)1~ Так как координаты точки В(х,; у,; г,) удовлетворяют уравнению плоскости, то 4(2+41) +3(З+ЗХ) + !2(4+ !2х) -5=0, т. е. эо=-60/!69. Следовательно, АВ= !3 ! — 60!!691=60/!3, ° 10. Найти расстояние между параллельными плоскостями 2х — Зу+бг+28=0 и 2х — Зу+бг-14=0. (3 Для иахождеиая искомого расстояния нужно взять точку на одной иэ плоскостей и оиредеюпь расстояние от этой точки до другой плоскости.
Полагая в уравнении первой из заданных плоскостей у=О, г=О, имеем 2х+28=0, т. е. х= †!4; итак, получили точку М (- !4; О; 0). Теперь, так же как и в задаче 9, находим расстояние от данной точки М ( — !4; О; О) до данной плоскости 2х — Зу+бг — 14=0, Это расстояние равно 6 (убедитесь в этом самостоятельно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
