Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. р/2=!-2(+4=6, откуда р=12. Подставив в уравненяе (19.21) координаты вершины А я найденное значение р, получим (у-6)а=24(х-4). ° 107. Вычислить координаты фокуса параболы у +4у-24х+ 2 +76=0. О Преобразуем уравнение параболы к валу (1921): у +4у=24х-76; уз+2.2у+2з=24х — 76+2з; (г+2)а=24(х — 3), откуда А(3; — 2), 2р=24, р=12. , Расстояние от вершины параболы до фокуса равно р/2=12/2=6. Абсцисса фокуса равна 3+р/2=3+6=9. Фокус лежит прзвее вершины параболы, поскольку ветви параболы направлены вправо; ордината же фокуса равна ордннате вершины, так как ось параболы параллельна оси Ох (рнс.
!47); тогда Г(9; — 2). ° с. !47 Рис. 148 108. Дана парабола у — 4у — 20х+24=0. Составить уравнение ее директрисы. О Директриса параболы проходит иа расстоянии р/2 от ее вершины перпендикулярно оси параболы. Из уравнения параболы найдем р: у — 4У=20х — 24; у — 2 2у+4=20х — 24+4; (у-2) =20(х — 1), откуда а=!, Ь=2; А(1; 2); 2р=20, р/2=5.
Ось симметрии параболы параллельна оси Ох, а ветви параболы направлены вправо, следовательно, директриса проходит левее вершины. Оиа также проходит и левее начала координат, так как расстояние от вершины до оси Оу равно 1, а от вершины до директрисы равно 5. Абсцисса директрисы равна разности р/2- 1= 5 — 1 = 4, взятой со знаком минус; поэтому уравнение директрисы х= — 4. ° 109. Построить параболу хх — 2х — у — 8=0. С! 1 способ. 11айдем вершину параболы, преобразовав уравнение у=х' — 2х — 8 к виду (19.21): х~-2х=у+8; х — 2х+1=у+8+1; (х — 1) =у+9; откуда а=!, Ь=-9; А(1; — 9).
Найдем точки пересечения параболы с осими Ох и Оу; ( — 2; О), (4; 0) и (О; — 8). Получим ряд характерных точек (-2; О), (О; -8), (1; -9) н (4; О), ло которым построим параболу, симметричную относительно оси х = 1 (рис. 148). 11 способ (применяется в тех случаях, когда парабола пересекает ось Ох). Полагая у=о, получим уравнение хх — 2х — 8=0, корни которого х,=-2 и хх=4.
Абсцисса вершины параболы равна полусумме абсцисс точек пересечения параболы с осью Ох: х.,р-— (х,+ха)/2=(-2+4)/2=!. Ординату вершины найдем, подставив значение абсциссы вершины в данное уравнение: у(1)=1хт2 1 — 8= -9; А(1; -9). Дополнительные точки находим приемом, описанным в 1 способе построеияя. ° 110. Составьте уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси Ох, если парабола проходит через точку М и имеет вершину А: 1) М(1; 3), А( — 4; — 2); 2) М(0; 0), А( — 2; — 4); 3) М( — 3; — 3), А(3; — 1).
320 111. Составьте уравнение параболы с осью свмметрии, параллельной оси Оу, если парабола проходит через точку М и имеет вершвну А: 1) М( — б; — 8), А (2; 4); 2) М(0; О), А(5; — 5); 3) М(0; 0), А(3; 5). 112. Составьте уравнение параболы с вершиной А и фокусом Р, 1) А(4; 6), К( — 2; 6); 2) А (3; — 2), Е(3; 0); 3) А(-1; 1), Е( — 1; — 4). 113. Составьте уравнение параболы, если известны координаты ее вершины А и уравнение директрисы: 1) А (1; — 3), х = 5; 2) А( — 2; 4), у=-2; 3) А( — 3; 5), у=7. 114.
Составьте уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, если известны координаты ее вершины А и уравнение директрисы: 1) А (3; 0), к=О; 2) А ( — '4; 0), х=2. 115. Составьте уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, если известны координаты ее вершины А' и уравнение директрисы: 1) А (О; 2), у=О; 2) А(0; — 2), у= — 5; 3) А (О; — 3), У=О. Иб.
Составьте уравнение параболы, если известны координаты ее фокуса г" и уравнение директрисы: 1) г ( — б; — 1)„х= 2; 2) г"(О; 0), х=-4; 3) Г(2; 2), у=-4; 4) Р'(О; 0), у=4. 117. Найдите координаты вершины параболы: 1) х' — бх — бу— 21=0; 2) х +8х+5У+21=0; 3) у +бу+Зх+15=0; 4) ух — бу— — 12х+ 33 = О. 118. Вычислите координаты фокуса параболы; 1) ух — 8у — 8х— -8=0; 2) уз — 12х — 36=0; 3) хз+1Ох+8у+41=0; 4) хх — бу — 9=0. 119.
Составьте уравнение оси параболы: 1) уз — 1Оу-1Ох+5=0; 2) хз+1бх — 18у+100=0. 120. Составьте уравнение директрисы параболы: 1) уз — 2у— — 10х+ 11 = 0; 2) у'+ 8у+ 8х+ 32 = 0; 3) хх — бх+ 2у+ 7 = О, 121. Постройте параболу: 1) х'+2х-у — 8=0; 2) х'+8х+4У=О; 3) уз — 4х+2у= О, 8 7. КАСАТЕЛЬЕ!АЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ Пусть на кривой у=/(х) дана точка Ма(хе; уа), для которой Ус=У(хо) (рис. 149).
Значение производной функции у=/(х) при х=хе равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой у=у(х) а ее точке с абсцяссой х„, т, е. А=У'(ха)=У'(ха)=18Н, где л — угол между касательной к кривой в точке Ме(хм уе) и положитель- ным направлением оси Ох, УРавиение касательной к кРивой У=/(х) в точке Ме(хе! Уе) имеет внд у — ус=У(хе)(х-ха) (!9.25) Нормалью к кривой у=/'(х) в данной ее точке Ме(хм уе) называется перпендикуляр к касательной, проведенной через точку касания Мс(ха! Уе) (рис. 149). Уравнение нормали к кривой у=у(х) в точке Ме(хе! Уе) имеет вил у ус= (х — ха). ! (19.26) ./ (ха) 32! 21 — 2162 Рисе 154 Рис.
153 Рис. 149 Рис. 150 Рис. 15! Рис. 152 323 322 Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклона кривой в данной ее точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью Ох. Углом между пересекающимися прямой н кривой называется угол между прямой и касательной к кривой, провсдсвиой через точху их пересечения (рис. 150). Углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке нх пересечения (рис. 151). 122.
Найти угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой у=з!пх в точке х=п/3. О Найдем производную функции у=зшх при х=к/3: у'=сов х, у'(я/3)=соя(я/3)= !/2. Тангенс угла наклона касательной в точке х= я/3 равен !/2, т. е. 1= !Оп= 1/2, откуда а=асс!к(1/2)сз26",6 (рис.152). ° 123. Под какими углами парабола у=х'+х пересекает ось Ох7 О Найдем точки пересечения параболы у=х'+х с осью Ох.
Для этого решим систему уравнений Значит„парабола пересекает ось Ох в точках А(-1;0) и О(0; 0) (рис. 153). Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках: у' =(хх+ х) ' = 2х+ 1; /с ( — 1) = 2 (-1)+ 1 = — 1; /с (0) = 2 О+ 1 = 1. Вычислим углм а, и а„образуемые касательными в точках пересечения паРаболы с осью Ох: сйа,=-1, а, 135', сйа,=1, аз=45. ° 124.
Найти угол, образованный кривой у=!пх при пересечении ее с осью Ох. О Найдем точку пересечения кривой у=)пх с осью Ох. В этой точке )их=О, откуда х=1 (рис. 154). Вычислим угловой коэффициент касательной в точке х=1: у'=(!пх)'=1/х; у'(1)=1. Найдем угол, образуемый касательной в точке пересечения кривой у=!их с осью Ох: сйа=1, а=45'. ° 125. К параболе у=Зх'-х в точке х= — 1 проведены касательная и нормаль.
Составить их уравнения. О Для составления уравнении касательной найдем ординату точки М, через которую проходит касательная, и ее угловой коэффициент. Найдем ордннату точки касания, подставив в уравнение параболы значение х - 1: у(-!)=3 (-!)з-(-!)=41 М(-1;4). Вычислим угловые коэффициенты касательной и нормали: /с,=у'=(Зхз — х)'=бх-1; у'(-1) 6 ( — 1)-1= — 7; /с р„=!/7. Подставяв в уравнения (19.25) и (19.26) координаты точки М и значения /с„, и й у — 4= — 7(х+1), лли 7х+у+З=О (уравнение касательной) и ! у — 4=-(х+1), или х-7у+29=0 7 (уравнение нормали). ° 126. Составить уравнение касательной и порешали к эллипсу хз/27+у'/24=1 в точке (-3; -4).
135. Составьте уравнения касательной и нормали: !) к параболе у=ха — 7х+10 в точке х=4! 2) к кривой у=2х' в точке х= — 1. 136. Составьте уравнения касательной и нормали: 1) к окружности х'+у' = 25 в точке (-3; 4); 2) к эллипсу хг/100+у'/25 =1 в точке ( — 8; 3); 3) к гиперболе х'/16 — у'/64 =1 в точке ( — 5; 6); 4) к параболе у'=8х в точке (2; -4); 137. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой: 1) у = гйп Зх в точке (и/3; О); 2) у = згп (х/3) в точке (л; /3/2); 3) у=созЗх в точке (л/6; 0). 138, Найдите координаты точки, в которой касательная к параболе у=хг+Зх — 10 образует угол 135' с осью Ох. 139. Найдите координаты точки, в которой касательная к кривой у=я!пх (Осхсл/2) образует угол агс!8( /3/2) с осью Ох.
140. На параболе у=-хг+?х — 10 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой х+у- 1 =О. 141. В какой точке касательная к параболе у= — х' +4 перпендикулярна прямой х — 2у+2=07 142. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении параболы уг — х=О с прямой х+у — 6=0. 143. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении парабол: 1)у=х' и х=у'! 2) уг=4х и 2хг=27у. 144. Вычислите острый угол, образованный при пересечении кривой у=18х и прямой у=1. 8 8. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 145. Через центры окружностей ха+уз — 12х — бу+29=0 и х'+ +у'+4х+бу+4=0 проведена прямая до пересечения с осью Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
