Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 56
Текст из файла (страница 56)
138). Зависимость между параметрами а, Ь н с выражается соотношением аг Ьг сг (19.5) Эксцентриснтетом эллипса называется отношение фокусного расстанная 2с к большой осн 2ж с=с/а= 'а' — Ьг/ас!. (!9.6) Если фокусы эллипса лежат на оси Оу (рнс. 139), то его уравнение имеет внд хг у2 — + — =! (а>Ь). !,г г (!9.7) Во всех задачах нв зллнлс предполагается, что осн симметрии эллипса совпадают с осями координат. 48.
Составить уравнение эллипса, если дне его вершины находятся в точках А,( — б; 0) и Аг(б; 0), а фокусы — в точках Гг (-4; 0) и Гг(4; 0). О Из условна следует, что а б н с=4. По формуле (19.5) находим Ьг = 62-42 =20. Подставив значения аг н Ьг в уравнение (19 4), получим /36+у /20= !. ° 3!О 41. Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей: 1) х +у' — йх — 4у+11=0 и х'+у +4х+12у+4=0; 2) хг+уг+4х — бу-23=0 и хг+уг-!Ох — 14у+58=0. 42.
В окружности хг+у'+ бх-4у-12=0 диаметр образует угол 60' с осью абсцисс. Составьте уравнение диаметра. 43. Дана окружность хг+уг-8х-2у+4=0. Составьте уравнение диаметра, перпендикулярного хорде х — 5у — 12=0. 44. Дана окружность х'+уг+4х — бу=О. Составьте уравнение диаметра, перпендикулярного хорде 2х-Зу+ 13=0. 45. Составьте уравнение радиуса: 1) проведенного в точку А(5; -б) окружности хг+уг — бх+2у-19=0; 2) проведенного в точку А(б; 3) окружности хг+уг-бх — 9=0. 46. Составьте уравнение общей хорды двух пересекающихся окруююстей: х'+уг+2х+2у-23=0 и хг+у'-2бх-2у+45=0.
47. Составьте уравнение окружности: 1) проходящей через точку А(4; — 7) н концентрической с окружностью хг+у'+4х-2у — 11=0; 2) проходящей через точку А (5; 6) и концентрической с окружностью хг+уз -2х+бу+ ! = О. Рис. !38 Рнс, !39 49. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках В, (- 8; 0) и Вг (8; 0), а фокусы — в точках гг (О; — 6) и Р;(О; 6). О Из условия следует, что фокусы лежат на осн Оу; тогда Ь=8; с=б. По формуле (19.5) имеем аз=8'+б'= !00. Подставив значения аг н Ь' в уравнение (!9.7), получим хг/64+уг/100= !. ° 50. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна !О. О Из условия имеем а=5 н с=3.
По формуле (19.5) находим Ь'=5' — 32=!6. Подставив значения а' и Ь в уравнение (19.4), получим хг/25+уз/!6= 1, ° 51. Дан эллипс х'/100+у'/51 = 1. Вычислить его эксцентриситет. О Из уравнения эллипса имеем а'= !00 н Ь2=51. По формуле (19.5) найдем с= 2/!00-5! =7. Эксцентриснтет находим ло формуле (19.6): е 7/1О. ° 52.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках ( — 4; 0) и (4; 0), а эксцентриситет с=0,8. О Из условна имеем с=4, с=с/а=0,8. Подставив в зто равенство значение с, получим а=5. По формуле (19.5) найдем Ь = 2 — 52 42-9 Следовательно, искомое уравнение имеет внд х /25+у /9= . ° 2 2 1 53. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось равна 14, а эксцентриситет е=,2/3. О Из условия имеем а=7, е=с/а=2/3. Подставив в зто соотношение значение а, получим с= !4/3.
Далее, находим Ь2=7'-(!4/3)2=245/9. Итак, искомое уравнение имеет внд уг хг 9уг — Ь вЂ” =1, нли — + — =1. ° 49 245/9 ' 49 245 54. Составьте уравнение эллипса: !) с фокусами на оси Ох, если 2а=8 и 2Ь=б; 2) с фокусами на оси Оу, если 2а=10, 2Ь=4. 3!! 55. Составьте уравнение эллипса, если: 1) две его вершины находятся в точках ( — 5; О) и (5; 0), а фокусы — в точках (-3; 0) и (3; 0); 2) две его вершины находятся в точках (О; — 8) и (О; 8), а фокусы — в точках ( — 5; 0) и (5; 0); 3) две его вершины находятся в точках (О; — 4) и (О; 4), а фокусы — в точках (О; -2) и (О; 2).
56. Составьте уравнение эллипса, если: 1) расстояние между фокусами равно 10 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна 12; 2) фокусами служат точки ( — 2; 0) и (2; О), а малая ось равна 8. 57. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (О; —,/3) и (О; /3), а большая ось равна 4 /7.
58. Найдите координаты вершин и длины осей эллипса: !) хз/25+уз/9=1; 2) хз/16+уз/81=1. 59. Найднге координаты фокусов и расстояние между фокусами эллипса: !) хз/12+уз/3=1; 2) хз/10+уз/26=1. 60. Вычислите эксцентрйситет эллипса: 1) хз/25+уз/9=1„' 2) хз/7+уз/16=1. 61. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках ( — /3; 0) и (/3; 0), а эксцентриситет е=1/3. 62.
Составьте уравнение эллипса с фокусами иа оси Ох, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцеитриситет е=0,6. 63. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если: 1) большая ось равна 10, а эксцентрнситет е=0,6; 2) малая ось равна 16, а эксцентриситет е=0,6. 64. Составьте уравнение эллипса с фокусами на' оси Ох, если: 1) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8; 2) сумма полуосей равна 25, а фокусы имеют координаты (-5; 0) и (5; 0).
65. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит через точки: 1) А(6; 4) и В(8; 3); 2) А( /2; 2) и В(2; /3). 66. Найдите координаты точек пересеченвя: 1) эллипса хз/225+ +уз/25=1 и прямой х+Зу — 21=0; 2) эллипса хз/25+уз/9=1 и прямой Зх+5у — 21=0. 67. Найдите: 1) длину отрезка прямой х+4у — 28=0, заключшгного внутри эллипса х'/400+у'/25=1; 2) длину отрезка првмой х — 2у — 2=0, заключенного внутри эллипса х'/100+у'/25=1. 8 4.
ГИПЕРБОЛА Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния между фокусами (2с). Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид хз уз — — =! (!9.8) где а — длина действительной полуоси; Ь вЂ” длина мнимой полуоси (рис.
!40). Зависимость между параметрами а, Ь и с выражается соотношением 3!2 Рис. !4! Рис. !40 (!9.9) Ь с — а. 2 2 Эксцентриситетом гиперболы ивзывяе2ся отношение фокусного расстояния к ее действительной оси: е с/а= /аз+Ьз/а> !. (!9.!О) Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых у = + (Ь/а) х. (!9.! !) Если действительная и мнимая оси гиперболы равны (т. е. а=в), то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы записывается в виде х2 у2 — а2 (!9.12) а уравнения ее асимптот у=+х. (!9.!3) Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу (рис. !4!), то ее уравнение имеет вид уз х хз уз — — =1, илн — =--1, (!9.!4) аз Ьз Ьз аз а уравнения асимптот такой гиперболы у= х(а/Ь)х.
(!9.!5) Формулы (19.9) н (19.!О) для гиперболы с фокусами не. оси Оу остаются без изменений. Гиперболы (!98) н (!9.!4) называются сопряженными. Уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу имеет вид 2 — хз= аз. (!9.1б) Во всех задачах на гиперболу предполагается, что оси симметрии гиперболы совпадают с осями координат. 3!3 68. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся Р,(5; 0). в точках А,( — 3! 0) и А,(З; 0), фокусы — в точкак Р ( — 5 0) и 1 †.) 0 Из условия следует, что а=З и с=5. По формуле (19.9) пако Ьг 51 Зг 16 — . Подставив значения о и Ь в уравнение (19.8), получим г г хг/9 — уг/16= 1, ° 69. Дано уравнение гиперболы хг/81-уг/144= 1, Найти координаты ее вершин и фокусов.
0 Из уравнения гиперболы имеем аз=81, а= х9. По формуле (19.9) находим сг=81+144=225, с=к!5. Следовательно, вершинами гиперболы слуггат точки ( — 9; О) и (9; О), а фокусами — точки ( — 15; О) и (15; О). й! 70. Дано уравнение гиперболы х'/25-у*/11=1. Найти ее эксцентриситет. 0 Из уравнения 'гиперболы имеем аз=25, Ьг= !1. Эксцентрнситет вычисляется по формуле (!9.!О): е= /25+!1/5=6/5. ° 71. Дано уравнение гиперболы хг/144-у'/256=1, Составить' уравнения ее асимптот. 0 Из уравнения гиперболы найдем а= 12, Ь= 16.
Подставив значения а н Ь в равенства (!9.11), получим у=+(!6/12)х, нлн у= к(4/З)х. ® 72. С . Составить уравнение гипербольг, если известны координаты ее фокусов (-20, 0) и (20; 0) и эксцентриснтет с=5/3. С! Из условия имеем с=20, с=с/а=5/3. Подставив в зто равенство значение с, получим 20/а=5/3, т. с. а=12. Далее, по форм (!9.9) ай — — =256. Подставив значения аг и Ьг в уравнсняс (19.8), получим хг/144 — уг/256=1, ° 73. С 3. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у=+( /6/З)х и она проходит через точку (6; -4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
