Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Вычислите угол, образуемый этой прямой с осью Ох. 146. Найдите угол между прямыми, проходящими через центр окргужности х'+у'-4х — 1бу+32=0 н через фокусы эллипса х'/36+ +у /20=1. 147. Вычислите углы, под которыми видны из центра окружности х'+у' — бх — 12у+36=0 большая и малая оси эллипса х.'/36+ +уг/!6= !. 148. Окружность х'+у'+2х — бу — 40=0 пересекает прямая Зх — у+16 =О, внутренний отрезок которой служит стороной вписанного в окружность прямоугольника. Составьте уравнения сторон этого прямоугольника.
149. Найдите точки пересечения эллипса х'/8+у'/2=1 и окружности ха+уз=5. 150. В окружность ха+у'=4 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого имеет координаты (О; 2). Вычислите координаты двух других вершин треугольника. 151. Составьте уравнения прямых, проходящих через фокусы эллипсов хг/25 +уг/16= 1 и хг/24+уз/49= 1. 152.
Вычислите площадь квадрата, вписанного в эллипс х'/36+ +у /9=1. 326 153. Вычислите плошадь прямоугольника, вписанного в эллипс х'/16+у'/12= ! так, что две его противоположные стороны проходят через фокусы. 154. Составьте уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах эллипса хг/20+уз/8= 1, а фокусы — в вершинах эллипса.
5 — 4 г/25= 155. Найдите расстояние от вершины гиперболы х /2 — у / =! до ее асимптоты. 156. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах равносторонней гиперболы х'-у'= !8, если эллипс проходит через точку (5 /2; 4 /2). 157. Н " е чки пересечения двух парабол, имеющих общую андит то вершвву в начале координат, а фокусы — в точках г",(; ) гг(0 3/8). г=8 . Со- 158. Окружность х'+у'=20 пересекает параболу х = у. оставьте уравнение их обшей хорды. 159. Из точки О под острым углом к горизонту брошено тело, которое, описав дугу параболы, упало на землю на расстоянии 40 м от точки О.
Найдите параметр параболической траектории, если максимальная высота, достигнутая телом, равна 25 м (сопротивление воздуха в расчет не принимать). ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА Глава 20 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 8 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1. Преетейщяе задачи на наетреение сечении мнегеграннниа. Сечением многогранника называется часть' секущей плоскости, ран и, аг иченнай линиями пересечения этой плоскости с поверхностью мнагагр анника.
При ластра- 327 ! вариант !) Составьте уравнение радиуса, проведенного а точку А ( — 3; !) окружности: х'+у' — 4х+ 2у — 24=0. 2) Составьте уравнение эллипса с фокусами на аси Ох, если расстояние между фокусами равно 20, а зксцентрисвтет раасн 5/6. 3) Дана гипербола хг/81- — у'/63=!.
Найдите ее зксцентриситет. 4) Дана парабола уг — 2у+ !бх+ +65=0. Составьте уравнение ее аси. 5) Дана парабола х'+бх — !2у— — 3 = О. Составьте уравнение ее директрисы. П вариант !) Составьте уравнение касательной, проведенной в точке А ( — 2; !) окружности хг+уг -йх+ +4у-!3=0. 2) Дан зллннс х /625+уз/400= !. Найдите ега зксцентриснтет.
3) Составьте уравнение гиперболы с фокусами на аси Ох, зная расстояние между фокусами 2с=90 и уравнения ее аснмптат у=+(4/З)х. 4) Дана парабола хг+6х+20у— — 5! = О. Составьте уравнение ее аси. ,'5) дана парабола уз+ 8у+28х+ +72=0. Составьте уравнение ее директрисы. 5 енин сечения многогранника необходимо найти; 1) положение секущей плоскости; 2) линию пересечения се- К кущей плоскоети с поверхностью много- В грвнника. А 1. В тетраэдре 5АВС провести сече- гу ние плоскостью, проходящей через три С точки К, Е, М, лежащие соответственно на ребрах 5А, 5В и АС (прямые КЕ и Рис.
! 58 АВ не параллельны; рис. 158). О Плоскость, проходящую через точки К, !., М, обозначим ш Плоскость и имеет с плоскостью 5АВ общие точки К и Е; поэтому плоскости ЯА В и а нересекэются по прямой Кб, Отрезок Кх,— пересечение грани ВАВ и плоскости а. Аналогично построим отрезок КМ. М; Плоскость грани АВС имеет с секущей плоскостью а общую точку; для построения линии пересечения этих плоскостей достаточно найти еще одну их общую точку. Такой точкой является точка пл пересечения прямых КЬ и АВ (точка 19 лежит в плоскости а оскости АВС). Проведя 'прямую Мхэ, получим точку В на Ребре и в ВС.
О треэки МФ и ЬГЬ вЂ” две другие стороны сечения. Итак, сечение МКЬ1ч' — искомое. ° 2. Даны тетраэдр 5АВС и точки М и Аг, причем точка М лежит на ребре 5С, а точка Аг — на ребре АВ. Постройте пересечение плоскостей АВМ и 5САг. 3. Дан куб АВСЮАгВгСг))„причем К лежит на ребре АА„ Š— на ребре СС, и М вЂ” на ребре 2)С. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, Е, М. 4.
В кубе АВСОА,В,Сг)Зг постройте сечение плоскостью, проходящей через: !) вершины А,, В и Вч 2) середины ребер, выходящих из одной вершины; 3) диагональ основания В)3 и вершину А,; 4) три точки, лежащие на ребрах АА„СС, и ВС. 5. В тетраэдре 5АВС постройте сечение плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ребрах 5А, АС и ВС. 6. В тетраэдре 5АВС постройте сечение плоскостью, проходшцей через вершину 5 и точки М и Аг, лежащие соответственно на ребрах АВ и АС. 7.
Постройте сечение тетраэдра 5АВС плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер В5 и С5. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно а. 8. Постройте сечение тетраэдра 5АВС плоскостью, проходшцей через ребро 5А и точку пересечения медиан грани АСВ. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно а. 2.
Скрещивающиеся прямые. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми а и Ь, достаточно через прямую Ь провести плоскость и~!а и из любой точки А прямой а провести к плоскости а перпендикулир АА, (рис. 159). 328 9. На модели куба укажите его ребра, лежащие на скрещивающихся прямых. 10. Через данную точку проведите прямую, скрещивающуюся с данной прямой. 11.
Сколько пар ребер, лежащих на скрещивающихся прямых, имеет тетраэдр7 12. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба с ребром а. 3. Параллельные прямые Рис. 159 13. Концы данного отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 и 44 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость. 14. Отрезок длиной 15 см пересекает плоскость, концы его отстоят от плоскости на 3 и 6 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость. 15.
Отрезок пересекает плоскость; концы его отстоят от плоскости на 3 и 12 см. Найдите расстояние середины этого отрезка от плоскости. 4. Параллельность прямой н плоскости 16. Дан тетраэдр 5АВС, причем М лежит на ребре А5 и Аг на ребре АС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходшцей через точки М и Аг и параллельной прямой АВ. О Анализ.
Предположим, что сечение построено (рис. 160). Пересечение плосхости сечения с гранью АЯС получим, соединив точки М и 1У. По условию, прямая АВ параллельна плоскости сечения, поэтому грани АВС и АВВ пересекают плоскость сечения по отрезкам Ргч' и М12, параллельным прямой АВ. Построение. 1) !1Р!!АВ, Р лежит на ребре ВСЬ 2) МЧАВ, 12 лежит на ребре ВВ. Четырехугольник !ЧАР— искомое сечение. Доказательство. Плоскость !ЧАР параллельна примой АВ, так как М21АВ. Исследование.
Задача имеет единственное решение, так как ребро ВС пересекает плоскость сечения в единственной точке Р и через точки М, 1Ч, Р проходит единственная плоскость. Мы применили общую схему решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование). 17. !) Даны точка А и прямая а, причем А не лежит на прямой а.
Проведите через точку А прямую, параллельную данной плоскости. 2) Даны точка А и прямая а, причем А не лежит на прямой а. Проведите через точку А плоскость, параллельную прямой а. 18. Дано а||Ь. Проведите через прямую а плоскость, параллельную прямой Ь. 19. Проведите через данную точку отрезок так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна длине отрезка. 20. В кубе АВСЮА гВгСг1)г проведите сечение через: !) ребра АВ и 1)гСг; 2) ребро А.0 и середину ребра ВВ„З) середину ребер АВ и 2)С параллельно ребру 2Юг! 4) середину ребра СС, параллельно ребрам АВ и Аг))г.
329 21. В тетраздре ЯАВС проведите сече- ние через середину ребра АС параллельно М ребрам АВ и СЯ. 22. Постройте сечение тетраэдра ЯАВС плоскостью, проходящей через середину ребер ВЯ и СЯ и внутреннюю точку О ребра АС. Р 23. Дан параллелепипед АВСОА,В,С,О,. Постройте точку пересечения прямой АС, Рис. 160 с плоскостью, проходящей через ребра РС и А,В,. 5. Параллельные плоскости 24. Через точку грани АЮВ тетраэдра ЯАВС проведите сечение, параллельное: 1) плоскости грани АВС; 2) плоскости грани АЯВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
