Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 57
Текст из файла (страница 57)
О По условию, Ь/а= х ./6/3. Подставим в уравнение (!9.8) координаты данной точки и решим систему уравнений 6г/аг ( 4)г/Ьг ! 'оь(а = !2„61=8), Ь/а= ~ /6/3, г/8 ! ° Подставив теперь значения аг и Ь' в уравнение (19.8), получ '/!2- ямх/ 74. Найт и вершины, фокусы, эксцентриситет и аснмптоты гиперболы хг/36-у'/64= — 1. О Уравнение данной гиперболы имеет вид (!9.!4\, т. с. фокусы се лежат на осн Оу.
Из уравнения получим аз=64, а=+8 и Ьг= Зб, Ь= х6. В аршины гиперболы находятся в точках А, (О; — 8) и А (О; 8). По формуле (!9.9) ямссм сг= +36=100, с=к!О; следовательно, фокусами служат точки Гг(О; — 1О) я Гг(О; !О). Эксцснтряситет вычислим по формуле (19.10): с= 5/4. Асимптоты гиперболы найдем по формуле (!9.!5); у= к(4/З)х. ° 3!4 75. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если ее действительная ось равна 24, а мнимая ось равна 40. 76.
Составьте уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точкак ( — 3; 0) и (3; 0), а фокусы — в точках ( — 3 /5; 0) и (3 /5; 0). 77. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20. 78. Дано уравнение гиперболы х'/14-у'/22=1. Найдите координаты ее фокусов и расстояние между ними. 79.
Найдите эксцентриситет гиперболы: 1) х'/9-уг/7=1; 2) х г/25-у ' /24 = 1. 80. Составьте уравнения аснмптот гиперболы: 1) х '/64- -уг/36=1; 2) хг/9 — уг/8=1. 81. Составьте уравнение гиперболы, если известны координаты ее фокусов и эксцентриситет: 1) (+2 /2; О), с=2; 2) (+3 /3„0), е = 6/2. 2. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если: 1) длина ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет равен 5/3; 2) длина ее мнимой оси равна 8, а эксцентриситет равен 3 /5/5. 83.
Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если: 1) длина действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку ( — 10; — 3); 2) длина ее мнимой оси равна 12 и гипербола проходит через точку (20; 8). 84. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если она прокодит через точки: 1) ( — 6; — ./7) и (6 /2; 4); 2) ( — 8; 2,,/2) и (6; — 1). 85. Составьте уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот: 1) (+5; 0), у=+(4/3)х, 2) (+3; 0), у=+ /2х; 3) (+8; О), у= ~ /Зх.
86. Составьте уравнение гиперболы по уравнениям ее асимптот и координатам точки, через которую она проходит: 1) у=+(,/3/3)х, (9; 3 /2); 2) у=~( /2/2)х, ( — 4; -2); 3) у= 1(/3/2)х, (4,,/3; 3 /3). 87. Найдите вершины, фокусы, эксцеитрнситет и асимптоты гиперболы х'/9 — уг/16= — 1. 88. Составьте уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку: 1) А( — 5; 4); 2) В(8; 2). 89. Составьте уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу, если гипербола проходит через точку (,/3, — /5). 8 5.
ПАРАБОЛА С ВЕРШИНОЙ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ Параболой называется множество точек на плоскости, равноудалсннык от данной точки, назмвасмой фокусом, н от данной прямой, называемой директрисой. Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо:(рнс. 142, а), имеет вид в 3!5 Рнс. 142 Рнс. 143 316 ЗП у г =2рх, (1 9.17) где р)0 (параметр параболы) — расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы х= — р/2. Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево (рис. 142,6), ямеет вид уг= — 2рх(р>0).
(19.! 8) Уравнение ее директрисы х=р/2. Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью снмметрян которой служат ось Оу н вегви направлены вверх (рис. 143,а), имеет внд хг=2ру(р>0). (19Л 9) Уравнение ее директрисы у= — р/2г Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служат ось Оу и ветви направлены вниз (рис. 143,6), имеет внд х'= — 2ру~»0). (19.20) Уравнение ее диреатрясы у=р/2, Во всех задачак этого параграфа предполагается, что осью симметрии параболы служит одна из осей координат. 90. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке г"(3; О) О Фокус параболы лежит на положительной полуоси Ох, следовательно, уравнение параболы имеет внд (19.17). Так как координаты фокуса (р/2; О), то р/2=3, откуда р=б.
Подставив значение р в уравнение (!9.17), получим у 12х йг 91. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х= — 4. О Расстояние директрисы от начала коордянат равно р/2; следовательно, р/2=4, т. е. р=8. Уравнение этой параболы имеет ввд (19 17), так как абсцисса директрисы отрицательна.,Подставив в уравнение (!9Л7) значение параметра р, получим уг= 16х. й! 92.
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и проходащей через точку А(4; 2). О Искомая парабола симметрична относительно оси Оу и прохолит через точку А (4; 2); следовательно, ее уравнение имеет вид (19.19!. Подставив в это уравнение координаты точки А, найдем р=4. После подстановки в уравнение (19.!9) значения р получим х'=8у. ° ' 93. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы х= — 3. О Расстояние от начала координат до директрисы равно расстоянию от начала координат до фокуса н равно р/2.
Из уравнения директрисы х= -3 следует, что р/2=3. Уравнению директрисы х= — р/2 соответствует парабола уг =2рх, фокус которой Е(3; О). ° 94, Дана парабола у'=12х. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы перпендикулярно ее оси. О Хорда проходит через фокус параболы перпендикулярно ее осн, поэтому абсциссы точек пересечения хорды с параболой равны абсцнссе фокуса (рис. 144). Из уравнения параболы найдем координаты ее фокуса: уг=12х, 2р=12, р/2=3; Г(З; О).
Для вычисления ординат точек пересечения хорды с параболой подставим значение х=З в уравнение параболы: у = 12 3=36, откуда г уг.г = хб. Следовательно, М,(3; 6) н Мг(3; — 6) — точки пересечения хорды с параболой. Длина хорды М,Мг равна 2 ЕМ,=2.6=12. йг 95. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке: !) Г(5; О); 2) р( — 4; О); 3) Р(0; 2); 4) Р(0; -3). 96. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая: 1) ' х= — 2! 2) к=3; 3) у= — 4; 4) у=1, 97. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной.
относительно оси Ох н проходящей через точку: 1) 5; -3); 2) (-4; 2); 3) ( — 2; -2). . Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку: 1) (2; -3); 2) (-3; 1). г ба/х- Рис. 145 рис. !46 3!9 99. Составьте уравнение директрисы параболы: 1) уз =8х; 2) уз = -9х; 3) ха =4у; 4) х =-1Оу. 100. По данному уравнению параболы вычислите координату ее фокуса: 1) уз =бх; 2) уз= — 4х; 3) хз=14у; 4) хз=-5у. 101. Найдите координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если се директриса задана уравнением: 1) х= 2; 2) х=-5; 3) у=4; у= — 6. 102. Дана парабола уз=20х. Найдите длину хорды, проходящей через фокус параРис.
!44 балы перпендикулярно ее оси. бо 103. Найдите точки пересечения: 1) пара- 2 -зу+4=0. болы у = 16х с прямой 2х-у+2=0; 2) параболы з=4 у = х с прямой 104. Найлчте то айлчт чки пересечения парабол: 1) у=х' и х=уз; 2) уз=9х и хз=9у. б 6. ПАРАБОЛА СО СМЕЩЕННОЙ ВЕРШИНОЙ Уравнение параболы с вершиной а точке (а; Ь), с осью сим параллельной осн Ох, и осн Ох, и ветвями, направленными вправо (рнс. 145, а), имеет (у-Ь)з=2р(х-а).
(19.21) Уравнение параболы с вершиной в точке ( Ь), параллельной оси О, (а; ), с осью симметрия, оси Ох, н ветвями, направленными влево (рис. 146,61, имеет (у-Ь)'=-2р(х- ). (19.22) Уравнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), (а; ), с осью симметрии, раллевьнон осн Оу, н ветвями, нацравлеинымн вверх (рис.
146,а), имеет (х-с)з=2р(у-Ь) (!9.23) У авн равнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), параллельной оси О, ке (а; ), с осью симметрии, ой оси Оу, и ветвями, направленными вниз (рис. 146, 6) имеет вид (х-а)' -2р(у — Ь). (19.24) В казщом из уравнении параметр параболы р>0 — расстояние от фокуса 105. Со 5. Составить уравнение параболы, имеющей вершину А(1; 2) и проходящей через точку Аз(4; 8), если ось симметрии па або параллельна оси Ох. так как точка Ьг(4„8) аспол 0 Согласно условию, уравнение искомой параболы имеет вн (!9.2!), имеет внд ветви параболы нап авлены в ч а (; ) расположена правее вершины параболы и, значит, р сны вправо.
Для вычисления параметра р подставим в уравнение (!9.21) координаты вершины А н точки Ь/: (8-2)з=2р(4-1), откуда р=6. Подставив теперь в уравнение (19.2!) найденное значение р=6 и координаты вершины.А, получим искомое уравнение (у-2)а=12(х 1). ° 318 106. Составить уравнение параболы, вершиной которой служит 'точка А(4; 6), а директрисой — прямая х= — 2. 0 Согласно условию, уравнение искомой параболы имеет анд (19.21), поскольку ее директриса перпендикулярна оси Ох и, следовательно, ось параболы параллельна оси Ох, а ветви параболы направлены вправо (ли кгриса расположена левее вершины). Так как расстояние от директрисы до вершяны параболы равно р/2, то величина р/2 равна сумме абсолютн ре ых величии абсцисс директрисы н вершины параболы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
