Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Составьте уравнение этой прямой. 13. 1) Длины сторон прямоугольника равны 3 и 4. Составьте уравнения всех его сторон, если он расположен в П1 координатном угле так, что две из его сторон лежат на осях координат, причем меньшая из них лежит на оси Оу. 2) Составьте уравнения сторон квадрата, если он расположен в 1 координатном угле и две из его вершин имеют координаты А (2; О) и В (5; О). 14, Составьте уравнение прямой, проходшцей через данную точку Мо и перпендикулярной данному вектору й: 1) Мо ( — 2; — 3), й=(4; -5); 2) Мо (1; -1), й=(-3; 4). 15.
Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо и перпендикулярной. данному шжтору'АВ: 1) Мо ( — 2; — 3), 8 2. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ НА ОСЯХ Уравнение ирямой в отрезках на осях имеет вид х у — + -=1, а Ь (18.5) где а ы Ь вЂ” соответственно абсцисса и орднната точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.
19. Построить прямую — — -=1. х у 2 3 О Перепишем данное уравнение так: х у — + — =1, 2 — 3 т. е. а=2 и Ь= — 3. Таким образом, получаем точки А (2; 0) ы В(0; — 3). Прямая, проведенная через точки А н В, является ыскомой (рнс. 123). ° !9 — 3162 А ( — 5; 2), В ( — 11 4)! 2) Мо (2' 2) А (1' -3) В (б' -5)! 3) Мо (-21 — 3). А (2; 1), В (1; 5). 16. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и данную точку: 1) (-4; — 1); 2) (5; — 4).
17. Вычислите длину отрезка прямой 4х+Зу-36=0, заключенного между. осями координат. 18. 1) На прямой х †2у †найдите точку, равноудаленную от точек А (5; — 1) и В (2; — 4). 2) На прямой Зх+4у+20=0 найдите точку, равноудаленную от точек А ( — 8; — 3) и В( — 5; — 6). Рис. 123 Рис. 125 Рис. 124 291 19в 20. Общее уравнение прямой Зх — 4у-ь2=0 преобразовать к уравнению в отрезках на осях. О Произведем слелуюшие преобразования: Зх 4у х у Зх-4у= -2; — — — =1; — + — =1. ° — 2 -2 -2/3 1/2 21. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ох в точке (3; 0), а ось ординат — в точке (О; 5).
О Согласно условию, а=З и Ь=5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид х/3+у/5=1. Ф 22. Постройте прямые: 1) х/2+у/6=1; 2) х/5 — у/4=1; 3) — х/3+ +у/2=1; 4) -х/6 — у/3=1. 23. Преобразуйте уравнения следующих прямых к уравнениям в отрезках иа осях: !) хч-у — 3=0; 2) 2х+Зу+1 =0; 3) 2х+Зу-6=0; 4) Зх — 4у+12=0. 24. Составьте уравнение прямой в отрезках на осях, если она пересекает оси координат в точках: !) А ( — 2; 0) и В (О; 3); 2) А (3; 0) и В(0; — 4).
25. Найдите длины отрезков, заключенных между точками Пересечения с осями координат, для следующих прямых: 1) х/б+у/8=1; 2) х/12 — у/16=1; 3) х/9 — у/12=1. 8 3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЪ|М КОЭФФИЦИЕНТОМ Уравнение прямой с угловым коэффиниглшом имеет вид у/ йх+Ь, (18.6) где /с=!ба — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а Ь вЂ” ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Если а=0, то /с=О. т, е. прямая параллельна оси Ох. При а=90' углового коэффициента /с не существует, т. е. прямая, перпендикулярная оси Ох, не имеет углового коэффициента. Если на прямой, проходящей через начало координат, взята точка А(хл,'у„), то /с=гяа=Ул/хл. (18.7) 26, Построить прямые: у=Зх; у=х; у=(1/2)х; у= — Зх. О Положение прямой на плоскости определяется двумя точками, но для прямой, проходящей через начало координат, одна точка (начало координат) уже известна, поэтому достаточно из уравнения прямой найти еще одну точку и, соединив ее с началом координат, получить искомую прямую.
Построим прямую у=Зх. Полагая х=1, находим у=З 1=3. Соедиспе точку А (1; 3) с началом координат, получим искомую прямую. Аналогично построим. остальные прямые: у =х, В (1; 1); у=(1/2) х, С(1; 1/2); у= — Зх, /7 (1; — 3) (рис. 124). ° 27. Построить прямую у=2х+8. О 1 способ. Построим прямую у=2х. Прямая у=2х+8 проходит параллельно прямой у=2х на 8 ед. выше начала координат (рис. 125). П способ. Найдем точки пересечения прямой с осами координат.
Полагаяу=О получимх= — 4 т е, А (-4; 0). Полагая теперь х=О, находим у=8, т. е. В (О; 8). Через точки А и В проводим искомую прямую (рис. 125). ° 28. Вычислить углы наклона к оси Ох для прямых: 1) у=х; 2) у=-х; 3) у=Зх; 4) у= — 2х; э/ у=тх. О 1) у=х, /с=!ба=1, а=45'! 2) у=-, 8=18 =-1, а=!35; 3) у=Зх, Ь=сйа=З, а=71*,6; 4) у=-2х, /с=гйа=-2; а=180' — 63',4=116',6; 5) уг щх, /с=!ба=ш, и=агссйш, если ш>0; а=я-агсгяш, если а<0. ° 29.
Вычислить угол наклона прямой Зх+2у+6=0 к оси Ох. О Разрешив уравнение Зх+2у+6=0 относительно у, получим у= ( — 3/2)х-З, откуда /с=!8а= — 3/2; а=180' — 56,3=123',7. Ф 30. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если ее угловой коэффициент: 1) /с=5; 2) /с= — 3. О Для составления уравнения искомой прямой достаточно подставить числовое значение /с в уравнение у=Ах. Имеем: 1) у=5х, или 5х-у=О; 2) у= — Зх, нли Зх+у=О. ° 31. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ох угол: 1) 0; 2) гс/4; 3) 120'; 4) агс!8 ( — 3). О 1) /с=!80=0; у=Π— уравнение оси Ох; 2) /с=!8(я/4)=1; у=х, или х-у=О; 3) /с=18120'=18(180 -60')= — 1860'=-.,/3; у=- /3 х, или /Зх+ +у=О; 4) /с=!8(асс!8( — 3))= — 3; у= -Зх, нли Зх+у=О.
° 32. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку А ( — 2; 3). С/ Чтобы составить уравнение прямой, црохсздлщей через начало координат, необходимо знать /с. Величину х находим ю соотношения (18.7): /с= уя/х„= -3/2; подставив значение /с в уравнение у=йк, получим у=( — 3/2) х, или Зх+2у=о. Значение /с можно также вычислить, цолсталцв координаты точки А (-2; 3) в уравнение у=/сх вместо переменных х и у; 3=/с( — 2), откуда й = — 3/2, ° ЗЗ.
Найти координаты точки А, если угзсовой коэффициент ,прямой, проходящей'через начало координат и Через точку А, равен 3/4 и точка А удалена от начала координат на 1О ед. длины. О Из соотношения (18.7) имеем у„/хя=З/4. С другой стороны, длина отРезка ОА Равна Я+Уяс =1О. Решаа системУ ул/хл = 3/4 ,ч/хяз+Уяз 10, получим (х„=8; у„=6) или (х„= — 8; уз= — 6), т е успеваю задачи удовлет- воряют лле точки (8; 6) и ( — 8; — 6).
0/ 34. Госглиихь УРэлиипиг.йпимсзй 41цптхзлнцслХ счсе~ г чаТ УЗ 4/ и отсекяющей на оси Оу отрезок Ь=2. (3 Для составления искомого уравнения прямой необходимо найти к. Подставив в уравнение (18.6) вместо переменных х и у координаты данной точки и значение Ь, получим 4=/с 3+2, откуда /с=2/3. Таким образом, искомое уравнение имеет вил у=(2/З)х+2. ° 35. Составить уравнение прямой, проходшцей через точку (2; 6) и образуюШей с осью Ох угол агс185.
О Дла составлении искомого УРавневил цРЯмсй необходимо вычислить /с и Ь. Найдем угловой коэффицнеит /с=!я(асс!85)=5, Для вычисления Ь подставим в уравнение (18.6) координаты данной точки и найденное значение /с; лолучим 6 = 5 2+ Ь, откуда Ь= — 4. Искомое уравнение имеет вил у =5х — 4.
° 36. ПостРойте пРЯмые: 1) У=5х; 2) У= — (1/З)х 3) у=4х+3. 4) у= — х+2. 37. Найдите Углы наклона к оси Ох дла пРЯьтыхс 1) у — ( /3/3) х 2) у= — Зх; 3) у=7х-8; 4) у= — 2 9х+3; 5) Зх+ Зуф20=0; 6) 29х— 10у+ 1О = О. 38, Составьте уравнение прямой, проходшцей через начало координат, если ее угловой коэффициент: 1) /с='-1; 2) А=4.
39. Составьте уравнение прямой, если ее угзювой коэффициент /с= 2/3, а Ь= — 1/2. 40. Составьте уравнение прямой, проходязцей через начало координат и образующей с осью Ох угол: 1) 60'; 2) я/6; 3) 135'; 4) агс18 3; 5) асс!8( — 5). 41. Составьте уравнение прямой. для которой Ь=З, а угол наклона к оси Ох: !) сс=45'; 2) се='120'; 3) сс=агс185. 292 42. Составьте уравнение прямой, для которой Ь= — 2, а угол наклона к оси Ох: 1) а=30'; '2) а=135'; 3) а=асс/82.
43. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точху: 1) А (3; — 6), 2) А ( — 1; -5). 44. 1) Точка Р удалена от начала координат на 5 ед. длины. Угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и через точку Р, равен 3/4. Найдите точку Р. 2) Диагональ прямоугольника, две стороны которого лежат на положительных направлениях осей координат, равна 20 ед, длины. Угловой коэффициент диагонали равен 4/3.
Найдите вершины прямоугольника. 45, Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (-5; -2) и отсекающей на оси Оу отрезок Ь= — 12. 46. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку (5; — 7) и образующей с осью Ох угол агс18(-2); 2) проходшцей через точку (-1; — 4) н образующей с осью Ох угол 135'. 4 4. УРАВ1/ЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ В ЗАДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ Уравнение прямой, проходяснлй через данную точку А (хя,' уз) л заданном направлении, имеет вид у-уз=/с(х — хл), гле /с=!як — угловой коэффициент црвмой, Уравнение (18.8) можно рассматривать как уравнение лучка прямых, т.
е. множества прямых, проходящих через одну и ту же точку плоскости — точку А (хя, ул). Заметим, что только одна прямая из всех проходюцах через точку А, а именно прямая, перпендикулярная оси Ох, не выражается уравнением вида (18.8). Ее уравнение имеет внл х х„. 47.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(5; — 1) и имеющей угловой коэффициент /с=З. О По условию, хя— - 5, уя-- — 1, к=З. Подставляя эти значения в уравнение (18.8), получим у+1=3(х-5), или Зх — у — 16=0. ° 48. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( — 3; -2) и образующей с осью Ох угол асс!82. О По условию, хя —— — 3, у„= -2. Найдем /с=18(агс/82) 2. Подставив эти значения в уравнение (!8.8), получим у+ 2 = 2 (х+ 3), или 2х — у+ 4 = О. ° 49. 1) Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку (-1; — 1) и имеющей угловой коэффициент /с=1; 2) проходящей через точку (2; О) и имеющей угловой коэффициент /с= — 2. 50.
1) Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку (4; — 5) и образующей с осью Ох угол агс18 ( — 3); 2) проходящей через точку (2; 3) и образующей с осью Ох угол 45'; 3) проходящей через точку (О; 5) и образующей с осью Ох угол 135', 293 8 5. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ ТОЧКИ Уравнение нрямол, проходящая через две данные точки А (хл! Ул) л В (хв; ув), имеет внд Ув Ул у — ул= (х-хл). хв-хл Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А н В, находится нз соотношения (18.9) Ув Ул Еле=в хв-хл (! 8.10) 52. Н . Найти угол наклона к оси Ох прямой, проходящей через точки А (2; 3) и В (-3; 1). О По условию, хл=2, хв= — 3, ул=З н у,=!.
По формуле (18.10) находим Ув — Ул ! — 3 2 =-=0,4, хв-хл -3-2 5 откуда о=ага!80,4=2!',8, ш 53. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А (6; 2) и В ( — 3; 8). О Подставив в уравнение (!8.9) координаты точек А (6; 2) н В ( — 3; 8), получим 8 — 2 у — 2= (х-б). — 3 — 6 Приведем это уравнение к уравнению в отрезхах на осях: у — 2=(-2/З)(х — 6), у-2=( — 2/З)х+4, (2/3) я+у=6; (2/3) х у х у — +-=1, — +-=1. 6 6 '9 6 Следовательно, а=9 н /з=б. Я! 54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
