Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Найдите координаты точки относительно исходной системы, если эта точка вмеет координаты (2 /3; 2) в системе, повернутой относительно исходной на угол: 1) 30'1 2) 60'. б 8. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 0 р Рис. 118 0 Р Рис. ! 17 283 Злемептамя полярной системы координат являются: 1) точка Π— палик; 2) луч, выходящий из точки О,— полярная ась Ор; 3) единица измерения длины 1. Положение точки М на плоскости (рис. 117) задается расстоянием этой тачхи ат полюса — длиной радиуса-вектора, выраженной в принятых единицах измерения, и углом между рацяусам-вехтарам и полярной осью.
Числа 9 н г иазываются яаяярными координатами точки М; г — яаяярным радиусом, а 9 — наяярным угяам. Полярные координаты точки записываются г'ах: М(ц ~р). Если тачка М совпадает с полюсом, то я = О, а значение <р не определено. Для любой другой точки пласхасти г>0, а значение <р определяется с точностью ла слагаемого, кратного 2я. Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ох совпадает с полярной осью, та пр»маугальные координаты тачки выражаются через ее полярные хаардллаты па формулам хс гсазе ук гзгл9.
(17.23) Для выражения полярных координат тачки через ее прямоугольные координаты ислальзуются формулы г=чгхг+уг; о(по=у1' ухз+уг' саз<р=х( /Р+у~, (17.24) 18ог=у(х. (17.25) 94. Построить точку М(2; я14) в полярной системе координат. О Проведем через полюс 0 луч Ою пал углам я14 х полярной асл Ор. На луче Ош отложим отрезок ОМ, равный двум единицам масштаба. Тонха М является искомой.(рис. 118). 48 95. Найти прямоугольные координаты точки А(4; и/3). О По формулам (1723) получим: х=лсоз(к/3)=2, у=4ил(к/3)=2 /3.
° 96. Найти полярные координаты точки, прямоугольные координаты которой ( — 3; Зз/3). О По формулам (17.24) получим.' г=,у1( — 3)з+(Зз/3)з=б, Вар=3,~Ъ)6=,~3/2, созй=-3/6= — 1/2, Учитывая знаки синуса и косинуса, находим полярный угол 9й 2я/3. ° 97. Вычислить расстояние между двумя точками А(г,; ~рз) и В(гз,' 9з), заданными в полярных координатах, О По теореме косинусов имеем АВ= ). ° 98. В полярной системе координат постройте точки: 1) (3; я/3); 2) (4; Зн/4); 3) (2; — и/6); 4) (5; — Зи/4).
99. Найдите полярные координаты точек, симметричных точкам (2; н/4), (4; 2н/3) и (1; — и/6): 1) относительно полюса; 2) относительно полярной оси. 100. Найдите прямоугольные координаты точек: 1) (2; и/2); 2) (2,,773; -и/3); 3) (,,/2; — п/4); 4) (2; Зн/4), 101. Найдите полярные координаты точек: 1) (О; 5); 2) (О; — /73); 3) ( †,„/3; — 1); 4) (1; — 1). 102. Могут ли быть прямоугольные и полярные координаты точки представлены одной и той же парой чисел? 103. Вычислите расстояние между двумя точками А(6; и/3) и В(5; 2я/3). 1 9. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ В задачах 104 — 113 доказательства проведите с применением векторов.
104. Докажите, что три медианы любого треугольника могут служить сторонами треугольника. 105. Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны. 106. Даны параллелограмм АВСЮ н произвольная точка плоскости О. Докажите, что ОА+ОС=ОВ+Оз3. 107. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 108. Докажите, что трн высоты треугольника пересекаются в. одной точке, 109.
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 284 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант 11 вариант !) Даны точки А ( — 3; — 4) и В(2; 5). Разложите вектор АВ по единичным векторам Г и / координатных осей. 2) Отрезок АВ задан точками А(7; — 4) и В( — 8; 1) и делится точкой С в отношении 1:4 (от А к В).
Найдите точку С. 3) Отрезок задан точхами 1) Найдите координаты вектора АВ, если А( — 2; — 3), В(1; 4). 2) Точка С(2; 3) делит АВ в отношении 1:4 (от А х В). Найдите точку А, если В( — 6; — 1). 3) Найдите точку М, равноудаленную от осей координат и от данной точки А(4; — 2). 4) Вычислите угол между вехто- 110. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 111. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. 112. Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований. 113. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности,— прямой. 114.
Найдите точки, симметричные точке А(-2; — 3) относительно: 1) начала координат; 2) оси Озх 3) оси Оу; 4) биссектрисы 1 и П1 координатных углов. 115. Дан отрезок с концами А (-3; !) и В( — 1; 7). Найдите концы отрезка, симметричного данному относительно: 1) начала координат; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) биссектрисы П и 1Ч координатных углов. 116. Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В(7; 4) и С(1; 6). Найдите вершины треугольника, симметричного данному относительно: 1) начала координат; 2) оси Окз 3) оси Оу; 4) биссектрисы 1 и 1П координатных углов. 117.
На векторах а=АВ и Ь=ВС построен треугольник АВС, в котором проведены медианы АМ,, ВМз и СМз. Выразите векторы + Ф вЂ” + АМм ВМ, и СМз через а н Ь. Найдите ~АМ, ~, если координаты вершин треугольника А(2; 5), В(4; — 4) и С(!2; — 2). 118. Отрезок АВ задан точками А( — 7; — 1), В(9; 7) и делится точкой С в отношении 5:3 (от А к В). Найдите длину отрезка, соединяющего точку С с точкой, симметричной ей относительно начала координат. 119. Отрезок АВ разделен иа семь равных частей.
Четвертая точка деления (от А к В) есть г (4; 1). Найдите точку А, если В(13; 4). 120. На биссектрисе 1 и П1 координатных углов найдите точку, равноудаленную от точек А(7; 2) и В(2; — 13). 121. Точки А(3; 2), В( — 2; 1) н С(1; — 4) служат вершинами параллелограмма, причем А и С вЂ” противоположные вершины. Найдите четвертую вершину П. 122. Смежнымн вершинами параллелограмма служат точки А( — 3; 1) и В(1; 3). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке М(1; — 2). Найдите две другие вершины.
рамн а=(-3; 4) и Ь=(4; 3). 5) Докажете, что если Π— точка пересечения мелонан треугольника АВС, то ОА+ОВ+ОС=О. А ( — 10; 4) и В(5; — 1). До какой точки С нужно его продал»сить, чтобы АВ:ВС=5:!7 4) Вычислите косинус угла между векторами а=(З; 4) н Ь=(5; 12). 5) В треугольнике АВС провсддена медиана ОМ. Докажите, что 2АМ =АВ+АС. Рнс. 120 Рис. 119 Рис. 122 Рис. 121 287 286 Глава 18 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ $1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. ВЕКТОРНОЕ И КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 8 1. Общее уравнены прямей. Уравнение первой степени относительно переменных х и у, т. е.
уравнение вида Ах+Ву+С=О (18.1) при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнекием прямой. Отметим частные случаи общего уравнения прямой. 2. Векторное уравнение прямой. Пусть 1 — пйямая на плоскости хОу (рис. 119), Мо (хо! уо) — точка на этой прямой, а л=(А; В) — ненулевой вектор, перпендикулярный прямой ! (он называется нормальным веннюуом прямой). Если М(х; у) — проювольная точка на прямой 1„отличная от М„то вектор МоМ =г-г о=(х-хо! у-уо) периенднкулярен вектору л=(А; В), т.
е. скалярное произведение этих векторов равно нулю: й(г — г о)=0. (18.2) Уравнение (182) называетск векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение А (х — хо) + В (у —.уо) =О. (18.3) 3. Каиоиячеекее уравнение примой. Пусть Мо(хо! уо) — заданная точка прямой, а 9=(вй л) — вектор, коллииеарвый прямой (он называется наиравхыащим ввнноауом прямой). Если М(х; у) — произвольная точка на прямой, то векторы МоМ =(х-хо!у-уо) и 9=(ап л) коллинеарны, т.е. каор!пшаты этих векторов пропорциональны: (х-хо)/м =(у-уо)/н (18.4) Уравнение (18.4) называется каноническим уравнением прямой.
1. Проверить, принадлежат ли точки А (3; 14), В (4; 13), С( — 3; О), Ю(0; 7) прямой 7х-Зу+21=0. О Если координаты точки удовлетворяют уравнению, т. е. обращают его в тождество, то зта точка прина»делят данной прямой; если' же координаты точки ве удовлетворяют уравнению, то точка не принадлежит прямой. Подставив вместо переменных х и у а уравнение 7х-Зу+21 =О координаты точки А, получим тождество 7 3 — 3 14+2! =0; следовательно, точка А (3; 14) принадлежит данной прямой.
Аналогично убеждаемся в том, что точки С н О принадлежат примой, а точка  — не пренадлежит. ° 2. Построить прямую Зх+4у-12=0, О Для построения прямой найдем координаты точек пересечения с осями Ох и Оу. Полагая у=0, получим Зх-12=0, х=4, А (4; 0). При х=О получим 4у-12 О, у=З, В (О; 3), Через точки А и В проводим искомую прямую (рис. 120).
° 3. Построить прямые: 1) х=З; х= -2; х=О; 2) у=4; у= — 1; у=0. 0 1) На оси Ох возьмем точки х=З, х=-2. Через эти точки проводим прямые, параллельные оси Оу (рис. 121), Прямая х=О является осью Оу. 2) ~а осн Оу возьмем точки у=4, у= — 1. Через зги точки проводим прямые, параллельные оси Ох (рис. 122). Прямая у=О является осью Ох. ° 4. Прямая, параллельная оси Ох, проходит через точку ( — 2; 2). Составить уравнение этой прямой, С! Уравнение прямой, параллельной Ох, имеет выд у=Ь. Ордината точки, через которую проходит искомая прямая, равна 3; следовательно, уравнение прямой у=З, нли у — З=О. Ф 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Мо(3; — 5) и перпендикулярной вектору й=(4; 2).
(3 Пусть М(х; у) — произвольная точка искомой прямой. Вектор МоМ = =(х — 3; у+ 5) перпендикулярен вектору л=(4; 2). Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: и МоМ =О. Запысав произведение этих векторов а координатной форме, получим (4; 2)(х — 3; у+5)=Ов»4(х — 3)+2(у+5)»0»»4х+2у-2»0»»2х+у-!=0. Уравнение искомой прямой имеет внд 2х+у — 1=0. Ф 6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М(2; 3). С Вектор ОМ=(2; 3) коллинеарен искомой прямой.
Для составления уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой (18.4). Подставив значения т=2, и=З, хо=О, уо=О в уравнение (18.4), получим (х)2 = у/3) в» (Зх — 2у = 0). ° 7. Вычислить длину отрезка прямой Зх+4у-24=0, заключенного между осями координат. С Найдем координаты точек пересечения прямой с осами коордынат: у=О, х=8, А (81 О); х=О, у=б, В (О; 6). Следовательно, длина отрезка АВ равна АВ=чГЙ+Зб =10. Э 8. На прямой 2х+у — 6=0 найти точку М, равиоудаленную от точек А (3; 5) и В(2; б), (3 Обозначив координаты точки М через (хм, ум), получим: мв г — 3)~~ -5г, мв à — о'~о -6) . Так хак МА=МВ, то ~(, -~) г о -о -,с:г) т о -в'.
После возведения а квадрат и упрощений получим хм — ум+3=О. Точка М(хм; ум) принадлежит прямой 2х+у — 6 = О, следовательно, ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Решив систему уравнений хм - ум+ 3 = О, 2хм+ум — б =0 находим хм=1, ум=4; М(1; 4). й! 288 9. Постройте прямые: 1) 2х — 5у+10=0; 2) 4х+бу-3=0. 10. Постройте прямые: 1) х=4; 2) х= — 3; 3) у=2; 4) у= — 4. 11. Постройте фигуру, ограниченную линиями х= — 2, х=0, у= — 3 и у=0. Вычислите плошадь этой фигуры. 12. 1) Прямая, параллельная оси Ох, проходит через точку (3; — 4). Составьте уравнение этой прямой. 2) Прямая, параллельная оси Оу, проходит через точку ( — б; О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
