Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ррогкиига вектора иа ось называется направленный отрезок на осн, начало которого есть проекция начала вектора н конец — проекция его конца. Длина этого направленного отрезка берется со знаком плюс, если направления отрезка и осн совпадают, и со знаком минус, если их направления противоположны (рнс. !07). Проекция вектора ачвО на ось! равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла ф между осью и вектором (рис. !08): пр а = ! а Г. сов ф. (!7.2) Отметим свойства проекций; пр, (й+ Ь) = пр, аа ь пр, Б; пр, (та) = т пр а. 3. Прямоугольная система координат. Пусть на плоскости задана цара единичных взаимно перпендикулярных векторов ! н Л отложенных от некоторого начала — точки О (рнс. !09).
Такую пару векторов называют Л> вг В, В, Рис. !09 Рис. !08 Рнс. !07 !Э вЂ” 2!62 Рнс. 111 Рис. 112 Координаты радиуса-вектора г ОМ являются одновременно координатами точки М, т. е. конца радиуса-вектора г. Если начало вектора а= АВ не совладает с началом координат, то координаты вектора а н координаты его конца различны (рис.
111). В этом случае проекции вектора а=АВ на оси координат соответственно равны х=хн-х„и у=уи-ул, т. е. а=АВ=(х'у)=(хи хл'ув ул). (17.3) 5. Разлоямвве вектора по координатным осам. Разложение вектора,а в базисе (1, Я имеет внд Рис. 1!О а хг'+!у, (17.4) где / †единичн вектор на оси Ох, а г †единичн вектор на оси Оу (рнс. 112). Числа х и у называются координатами вектора а в базисе (и г). Векторы х| и уу называются составляющими (или иомпонентаии) вектора а по осям координат. Если начало вектора а находится в точке А(х„; ул), а конец †точке В(хьс уи), то разложение вектора а записывается в виде а=АВ =(хв «л)'+(ив ул)лз (17.5) 6.
Правила действий вад векторами, заданными свонмв ююрдаиатамв. Если в базисе (/,у) заданы векторы а=(х,; у,) и Б=(хг; уг), то: координаты суммы двух (илн более) векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т. е. а+Ь=(х,+хг;у,+уг); координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов, т.
е. а-Ь=(х,-хг; у,-уг); координаты произведения вектора иа число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на зто число, т. е. та=(тх „' ту,). 7. Условие коллянеайиости двух векторов. Условие коллннеарности двух векторов а=(х„у,) н Ь=(хг; у,) имеет внд х1 =тхг уг =туг (17.6) т.
е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны. 274 прямоугольным базисом иа плоскости. Совокупность начала О и прямоугольного базиса (б у) называют прямоугольной системой координат иа плоскости. Точку О называют началом координат, а вехторы 7 и у — координатными векторами. 4. Кеордвиаты вектора. Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М пляюхости хОу, называется радиусом-векпюром точки М и обозначается г: ОМ=г (рис.
110). Проекции вектора г на координатные осн, т. е. пр„г=х и пр„г=у, называются координатами вектора (рис. 110). Координаты вектора г кратко' записывают так: г=(х; у). ,-2) л/-/, Рис. 113 Рис. 114 Если т>0, то векторы а и Ь имеют одинаковое направление; если т < О, то направлении векторов противоположны. Ю. Дано пр,а= — 2; пр,Ь=1. Вычислить: 1) пр,(2а+Ь); 2) пр, (За — 2Ь). О Используя свойства проекций, получим; 1) пр,(2а+Ь)=2пр,а+пр,Ь=2 ( — 2)+1»» — 3; 2) пр,(За — 2Ц~=Зпр,а — 2пр,Ь=З .( — 2) — 2 ° 1= — 8. Э 21.
Найти проекцию вектора а на ось /, образующую с вектором угол 60', если )а )=б, О По формуле (17.2) получим пр,а б созбО 3. ф 22. Построить: 1) вектор а=(3; — 2); 2) вектор а=АВ, если А( — 1; -2), В(4; 3). О 1) Строим радиус-вектор с концом в точке М(З; — 2) (рис.!!3). Ралиус-вектор ОМ вЂ” искомый.
2) Строим точки А( — 1; — 2) — начало вектора и В(4; 3) — конец вектора (рис. 114). Вектор А — искомый. й! 23. Найти координаты вектора а=АВ, если А( — 1; -2), В(; ). — В,4; 5,. О По формуле (17.3) получим а=АВ=(4 — ( — 1); 5-( — 2))=(5! 7). й! 24. Выразить через йдиничиые векторы г и /т следующие векторы: 1) а=( — 2; 4); 2) а = АВ, А (- 2; — 1), В(4; — 3). О 1) Здесь х=-2, у=4. По формуле (17.4) получим а= — 27+4/ 2) По формуле (17.5) находим а=АВ =(4 — (-.2))г+(-3 — ( — 1))7=67 — 27.
° 25. Проверить, коллицеарны ли векторы АВ и СВ5 если да, то сонаправлены ли они. Векторы соответственно заданы точками: 1) А(1; 1), В(7; 3), С( — 4; — 5) и /7(5; — 2); 2) А(2; 1), В( — 4; 4), С( — 1; — 1) и /3(7; — 5); 3) А(2; 1), В(6! 5), С(3; — 1) и /7(7; — 2). » О 1) По формуле (17.3) находим координаты векторов: АВ=(6; 2), С/У=(9; 3). Используя соотношения (!7.6), устанавливаем, что координаты этих векторов пропорциональны: 6/9=2/3 =т>0; следовательно, векторы коллннеарны и соналравлены. 2) Аналогично получаем: АВ=( — 6; 3), СВ=(8; — 4), ( — 6)/ =3/( — 4)= =т<0; следовательно, векторы коллннеарны и противоположно направ- лены.
275 !8» 3) Имеем АВ=(4; 4), СО =(4; — 1)1 так как 4/4тв( — 1)/4, то координаты не пропорциональны н, следовательно, векторы не коллннеарны. ВВ 26. Дано: пр,а= — 1, пр,/в= 3. Вычяслите: 1) пр,(а — Ь ); 2) пр( -а+Ь 27, Докажите, что если для двух непараллельных осей / и и выполнены соотношения про=О и пр„а=О, то а=О. 28. В каком случае проекция вектора на осек 1) равна нулю; 2) равна по абсолютной величине длине данного вектора? 29. Векторы а и Ь симметричны относительно прямой /.
Каким соотношением связаны между собой проекции этих векторов на ось л: 1) параллельную прямой /; 2) перпендикулярную прямой /7 30. Даны векторы а и Ь. При каком положении оси справедливо равенство пр,а =пр,Ь? 31. Найдите проекцию нектара а на ось /, образующую с вектором угол: 1) 45'; 2) 120'1 3) 150'. 32. Постройте векторы: 1) а=( — 2; 4); 2) Ь=(З; 2); 3) а=АВ, если А( — 1; — 1), В(4; 1); 4) с=С/3, если С(0; 2), Х>(4; 01.
33. Найдите кцордииаты вектора: 1) а=АВ, А(-2; -2), В(4; — 1); 2) Ь=ВС, В(1; — 3), С(4; -5), 34. Даны векторы а=(-2; — 3), Ь=(5; 0), с=(3; — 5). Найдите координаты векторов: 1) а+Ь; 2) а-с; 3) а+Ь-с; 4) 2а; 5) За — с; 6) а — 2Ь+2с. 35. Выразите через единичные векторы / и уе векторы: 1) а=( — 2; — 4); 2) а=АВ; А( — '1; 2), В( — 2; -6). 36. Даны точки: А(-2; — 3), В(2; 4) и С(5; !).
Разложите векторы АВ, ВС и СА по единичным векторам (' я ~. 37. Проверьте, коллинеарны ли векторы АВ и СВ5 если да, то сонаправлеиы ли они. Векторы соответственно заданы точками: 1) А( — 3; 6), В(1; 2), С(4; — 6) и ву(-2„0); 2) А( — 3; 1), В(3; 3), С( — 2; — 3) и й(6; — 1); 3) А(-3; -6), В( — 1; 2), С(З; -5) и Р(5; 3). 8 4. ДЛИНА ВЕКТОРА. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ НА ПЛОСКОСТИ. УГЛЫ, ОБРАЗУЕМЫЕ ВЕКТОРОМ С ОСЯМИ КООРДИНАТ Длина радиуса-вектора а=(х; у) находется цо формуле 1а1- /хв+ув (17.7) Длина вектора а=АВ =(хв — х„; ув — ув) находится цо формуле (л(=„ы:,,т+ь,-у.( .
117.8) С помощью этой формулы вычисляется также расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором а=АВ с осями координат Ох н Оу, находятся цо формулам сова= "; совб= в " 1179) (*-*Ге-,т' ((*-*.в~в — (в*'в 276 38. Найти длину вектора АВ, если А(1; 1) и В(4; — 3). о и эю у (гв( (л(- ((а-~~д-з-::.р=с ° 39. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор: 1) а=(3; 4); 2) Ь=(-6; -8). (3 1) Находим длину данного вектора: 1а1= /3'+4'=5. Единичный вектор е того же направления, что н вектор а, равен е=а /(а(=(1/5)а. Каждая проекция вектора е также рвз меньше соответствующей проекции вектора а, поэтому е= (3/5) (+ (4/5) у', нлн е= (3/5; 4/5).
2) Аналогично получим е=( — О,б; -0,8). ° 40. Найти косинусы углов, образуемых заданными векторами с осями координат: 1) а=АВ, А(2; — 3); В(1; 4); 2) Ь=ВС, В( — 1; 1), С(2; 5). О1) По формулам 117.9) находим 1-2 сов а = — — — = — О,1 ь/2; ~(~-2('~(4~г(' 4+3 сов(1= =0,7 /2.
~(~-2)' (4~1(' 2) В этом случае получаем сова=0,6; соей=0,8. ® 41. Даны точки А(4; 0), В(?; 4) и С( — 4; 6). Найдяте длины векторов: 1) АВ; 2) ВС; 3) СА. 42. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точкж 1) А(4; 0), В(7; 4) и С( — 4; 6); 2) А(6; 7), В(3; 3) и С(1; -5). 43. Найдите косинусы углов, образуемых заданными векторами с осями координат: 1) а = АВ, А ( — 2; — 3); В(3; 9); 2) Ь = ВС, В(4; — 1); С(0; 2).
44. Найдите точку, равноудаленную от точек: 1) А(7; — 1), В( — 2; 2) и С(-1; -5); 2) А(10; 7), В( — 4; -7) и С(12; — 7). 45. Найдите центр окружности, проходящей через точкя А( — 1; 9), В(-8; 2), С(9; 9), и длину ее радиуса. 46. Расстояние от точки М, лежащей иа оси Ох, до точкя /У(10; 5) равно 13. Найдите точку М. 47. Расстояние от точки В, лежащей на оси Оу, до точки А(3; — 1) равно 5. Найдите точку В. 48. Вычислите координаты точки на оси Оу, равноудаленноя от точек: 1) А( — 4; 0) и В( — 3; -7); 2) А( — 3; — 1) и В(б; 2).
49. Найдите точку на оси Ох, равноудаленную от точек: 1) А(5; 13) и В( — 12; -4); 2) А(0; 6) и В(2; — 4). 50. Вычислите координаты точки М, равноудаленной от осей координат и от точки: 1) А(-8; — 1); 2) А(4; 2). 51. Найдите точку М, расстояние которой от оси ординат и от точки А(8; 6) равно 5. 52. Вычислите координаты точки М, расстояние которой от оси абсцисс я от точки А(1; 2) равно 1О.
277 б 5. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АСгСВ=л, то координаты точки С находятся по формулам хл+? в «л+Ку» хе= х Ус= 1+к (!7.10) Если 2=1, то получаются формулы для нахождения координат се и ы редины (17.! 1) 54. Даны вершины треугольника А(х„; у„), В(ха; ув) и С(хс, ус). Найти точку пересечения медиан этого треугольника. О звестио, что медианы треугольника пересекаются в одной точхе, И которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника. Найдем точку Р— середину стороны ВС: хо=(ха+хе)/2 ус=(ув+ус)/2. Находим точку Ьх, в которой пересекаются медианы; для этого разделим медиану АР в отношении к=2:1=2 (от А к Р): хл+ лхв ха+ 2. (ха+ хс)/2 хл+хв+ хс 1+к 1+2 3 У Ул+хуо Ул+2 "(«в+Ус)/2 Ул+Ув+Ус 1+к !+2 3 Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому одноименных координат его вершин.
й! 55. Отрезок АВ задан точками А( — 9; -3) и В(1; 2). До какой точки С нужно продолжить отрезок АВ, чтобы АВ:ВС=5:3? О По условию, хл= — 9 хв=1 ул=-3, ув— - 2, Х=АВгВС=53. Требуется найти С(хс' ус). Для точки В(1; 2), делящей отрезок АС в данном отношении, получим: хл+хв ул+ув хе= 2 ' 2 Ус= 53. Отрезок, концы которого А( — 11; 1) и В(9; 11), разделен в отношении 2:3:5 (от. А к В). Найти точки деления. О Обозначим точки деления от А к В через С и Р. По условию, ,,= — !1, хв — — 9, ул=-1, ув=! и АС:СР:РВ=2лй5. Точка С делит АВ в АС 2 2 1 отношении Х= — = — =-=-; значит, СВ 3+5 8 4 — ! ! + (1/4) 9 1 +(1 /4) 1 1 с !+Ц4 — 7; Ус= 1+1/4 — — 3; С(-7; 3). Точка Р служит серединой АВ, поэтому — 11+9 !+ !1 хв= — = — 1; ур — — = — б; Р( — 1; 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
