Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 46
Текст из файла (страница 46)
8 7. ° 2. Решить уравнение А„'=ЗОА4-з. ' О Используя формулу (16.1), перепишем уравнение а виде п (п — ! ) (п - 2) (п - 3) (и — 4) = 30 (и - 2) (п — 3) (п — 4) (п - 5). Учитывая, что»~6, разделим обе его части на (и — 2) [и — 3) (и — 4); далее, (п(п-1)=30(п — 5))пь(пг-3!а+150=0)п»(п, =6; аз=25). ° 3. Составить всевозможные перестановки из элементов: 1) 1; 2) 5, 6; 3) а,Ь,с. О 1) (1); Р,=1! 2) 15, 6); (6, 5); Рз= ! .2 2; 3) (а, Ь, с); (а, сгЬ); (Ь, а, с); (с,а, Ь); (с, Ь, а); Р,=! 2 3=6. ° 52! 4. Вычислить значения выражений: 1) 5!+61; 2) — '. 50! О 1) 5!+61=5 4 3 2 1+6 5 4 ° 3 2 1=120+720=840; 52! 52. 5! 50! 2) — = =52 51 =2652. ° 50! 50! 5 Вычислить Ц С1з. 2) С4 1- Со О Согласно формуле (!6.7), получим: !5'.
15 14 13! 13!(15-13)! 1312. ! 6! 6 5 4! 2) С2+С?= ' +1= — '+1=15+1=16. ° 4!(6 — 4)! 4! 2 ! б. Решить систему уравнений С"„С"„+ з„ Сз =66. 1. Найти число размещений: 1) из 1О элементов по 4; 2) из и+4 элементов по л-2. !гх (х — ! ) О Решим второе урааиеппе; (Сз = 66) пь ~ — = 66 пь !.2 пь(х — х — 132=0)пь(х, = — 11, х, = 12).
Так как х> 2, то х, = — 11 не удовлетворяет условию задачи. Подставив х=12 в первое уравнение системы, получим С(з=СНз. Используя формулу (!69), имеем Сфы=С(з ". Тогда СД "=С(г~ и, сдедовательпо, 12 — у=у+2, откуда у=5. Итак, получаем ответ: х=!2, у=5. ° 7. Найдите число размещений: 1) А~г„2) А„:,'. 8. Вычислите: 1) А?+Аа~+А~з', 2) ', '; 3) Аз ~Ах Аз Аьь 9. ЗО учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек? 10.
Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности? 11. Решите уравнения: 1) А,з з = 4А,*,— з,' 2) 20А з- з = А ~; 3) А4=15Апз з. х ! 12. Решите уравнения: 1) А,'=42х; 2) — = —; 3) Аз+, — — 5гп(ш+1); Аз !2' 4) " *=13; 5) А(„=14А~. 13. Составьте всевозможные перестановки нз букв: а, Ь, с, А. 10! — 8! 5!+6! 14. Вычислите значения следующих выражений: 1) ' '; 2)— 89 ' 4! 3) 61(7! 3!). 15.
Докажите тождества: 1), =(гп+ 1) (в+ 2) (гп+ 3) (т+ 4); 2) —,=(и — 2) (л — 3). и! (и-3)! 2т(2ш-1) 16. Сократите дроби: 1) '; 2) —; 3) (и-2)1' и! ' (2ш)! 37. Выполните действия: 1) — + —; 2) — —; 3) 1 ! ! ! п(п — !)(и — 2)(п — 3)(п — 4) и! (п+ 1) (и+ 1)! и! (и — 3)! 18. Сколько нужно взять элементов, чтобы ч~(ело всех перестановок из этих элементов: 1) не превышало 100; 2) было меньше 200? 19.
Сколькими способами можно составить список из 10 человек? 20. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов? 21. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений? 22. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по '7 места м7 259 258 17ь 23. Вычислите: 1) С(оз' 2) Сазово! 3) Сзе' 4) Сззоооо+Сзое. 24. Проверьте равенства: А„"е 1) С» =,' 2) Сгз = С!з,' 3) Сг~о+Сего»»Сй,' 4) Сзе+Схгео= Схгзо -» в » 25.
ПРовеРьте Равенствщ 1) Сзо- — —, 2) ф— С„ ш Аз». а з Сы Р,' 2 26. Число сочетаний нз и элементов по 3 в пять раз меньше числа сочетаний из л+2 элементов по 4. Найдите л. 27. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой? 28. Решите системы уравнений: 1) з " '2)~ Се=153; (Аз=20. 82.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 1. Случайные события. Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием. Если событие при заданных условиях может произойти илн не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может проюойти,— невозможным. События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.
События называются совместнымк, если в данных условиях появление одного из этих собмтий не исключает появление другого при том же испытании. События называются ндотивололозкнымгь если в условиях испытания они, являясь едннствениымн его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события. 2. Классическое определение вероатиостн.
Вероятностью события А называется отношение числа исходов т, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу л всех всходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е. Р(А) = т/т (16.11) Вероятность любого события не может быль меньше нуля и больше елнницы, т. е. 0НР(А)ч1. Невозможному событию соответствует вероятность Р(А)=0, а достоверному — вероятность Р(А)=1.
29. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? О Общее число различных исходов есть я=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет т=200. Согласно формуле (!6.!1), получим Р(А) 200/1000=!/5=0,2. ° 30. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным. О Об значим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. — — х Общее число случаев я=5+3=8. Число случаев т, благоприятствующи появлению. события А, равно 3.
По формуле (16.11) получим Р(А)= = т/л = 3/8 = 0,375. ° 31. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? О Об м событие, состокщее в появлении двух черных шаров, означи т й из 20 через А. Общее число возможных случаев л равно числу сочетаний из элементов (12+8) по два: 20 19 л = С1~ = =190.
1 2 Число случаев т. благоприатствующих событию А, составляет г 8'! т Се г= =28 1 2 По формуле (16.11) находим вероятность появленна двух черных шаров: Р(А)=т/»=28/!90=14/95=0,147. '9 32. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными. О Число всех равновозможиых независимых исходов л равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е. 18 17 16 15 !4 12345 Подсчитаем число исходов т, благоприятствующих . ре ьгтию А. С ди 5 взятых наугад деталей должно быль 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний нз 4 по 2: 4 3 С»з = 6.
1 2 14 13 12 123 Л б группа качественных деталей может комбинироваться с любой ю ая гр унион бракованных деталей, поэтому общее число к б ц составляет т=Сх Сз1»=6 364=2184. Искомая оятность события А равна отношению числа исходов т, благоприатствующих этому событию, к числу л всех равновозможных независимых исходов: Р(А ) =2184/8568=0,255. ° 261 Число способов выборки трех качественных деталей нз 14 имеющихся качественных равно 33.
В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей Н сорта и 50 деталей Ш сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь 1, П или Ш сорта7 34. В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым. 35. В урне находятся 7 белых н 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными. 36. Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.
37. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей). Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов два окажутся выигрьппными (см. задачу 32). б 3. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема сяожеиия аероятвестей несовместных событий. Вероятность появления аднога из нсскальких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А )+ Р(В); (16.12) Р(А,+Аз+-+Ал)=Р(Аз)+Р(Аг)+-.+Р(А) (1613) Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность папвлснип хоти бы одного из двух совместных сайыпай равна сумме вероятностей этих событий без всрвнтнасти их савмсстнога папвлснит Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
(1 6.14) Для трех совместных событий имеет место формула Р(А+В+ С) =Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ) — Р(АС) — Р(ВС)+Р(АВС). (16.15) Событие, противоположное событию А (т. е. ненаступлевие события А ), обозначают Я. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: Р(А)+Р(й) = !. (16.16) Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается Рв(А) или Р(А/В). Если А и  — независимые события, то Р(В)- Р„(В) = Ря (В). (16.17) События А, В, С, ... называются независимыми в савакупнасти, если вероатность каждого из них не меняется в связи с настуйлением или ненаступлением других событий по отдельности нли в любой их комбинацяи.
262 38. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из ннх стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А). О 1 способ. Очевидно, что по крайней мере одна из взятых детаяей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий:  — одна деталь стандартная, две нестандартные; С вЂ” две детали стандартные„одна нестацпартнаа и Р— три детали стандартные.
Таким образом, событие А можно представить в виде суммы этих т х со бытий: А В+С+Р. По теореме сложения имеем Р(А)/=Р(В)+Р( + +Р(0). Находим вероятность каждого из этих событий (см. задачу ): . з 'а 32: Сз Сзз 5 15.14 1 2.3 35 ( Сз 1 1,2 20,19,18 76 Сз зС,'з 5.415 123 5 Сз 1 2 1 20,19,18 38 Сз 543 1,2.3 1 Ф)= —,'-— Сззо 1'2'3 20'19'18 114 35 5 1 137 Сложив найленные величины, полУчим Р(А)= —,+ — + — 4-— — =, — — — = — =0,601.
П способ. События А (хотя бы одна ю трех взятых деталей оказалась стандартной) и А (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположнымн; поэтому Р(А)+РДА=! илн Р(А)=1-Р(А) Вероятность появления события Л составляет Сз 151413 123 91 Сззо 1'2'3 20'19'18 228 Следовательно, искомая вероятность есть Р(А) = / — Р(А) = = 1 - 91/228 = 137/228 = 0,601. ° 39. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
