Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в цель для первого, второго и третьего стрелков соответственно 267 равны 314, 4/5 и 9/1О. Найдите вероятность тогод что все три стрелка одновременно попадут в цель. 67. На книжной полке произвольным образом расставлены восемь книг. Вычислите вероятность того, что трн определенные книги окажутся поставленными рядом. 68. На трех автоматических линиях изготовляются одинаковые детали. На первой линии изготовляется 5086 всех деталей, на второй — 3086 н на третьей — 2056в. При этом на первой линии изготовляется 0,025 нестандартных деталей, на второй †,02 и на третьей †,015.
Найдите вероятность того, что наудачу взятая из готовой продукции деталь окажется стандартной. 69. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом «герб» выпадет 3 раза7 70. В ящике накодятся 60 стандартных и 40 нестандартных деталей. Найдите вероитность того, что из взятых наудачу двух деталей одна окажется стандартной, а другая нестандартной. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант 1) Докажите тождество Со+Со=С«„,. 2) Решите уравнение а! 20 и! (л — 5)! (и-3) 3) Решите уравнение 5С1.'=8С1.-» 4) Талоны, свернутые в трубочку, занумерованы всеми двузначными числами.
Наудачу берут один та. лон. Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых цифр? 5) В ящике находятся детали, из которых 12 изготовлены на первом станке, 20 — на втором и 16 — на третьем. Вероятность того, что детали, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно равна 0,9; 0,8 и 0,6. Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. П вариант 1) Докажите тождество С'„+С;,=С5,ы 2) Решите уравнение (2и)! й)и! (Ъ~-3)! (и — !)! ' 3) Решите тзравнение 7С1,-з=ЗС1.-'о 4) В урне 12 шаров. Среди этих шаров 3 белых и 9 черных.
Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым? з1 На двух поточных линиях проязводятся одинаковые изделия, которые поступают в ОТК. Производительность первой поточной линии вдвое больше производительности второй. Первая поточная линия в среднем производит 7086 наделяй первого сорта, а вторая— 90?ы Наудачу взятое ОТК вв про. верку изделие оказалось первого сорта. Найдите вероятность того, что зто изделие произведено на первой поточной линии.
РАЗДЕЛ Ш ГЕОМЕТРИЯ Глава 17 ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ 8 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Параллельиыи перевес. Преобразование фигуры Р на плоскости, при котором ее произвольная точка с координатами (х, у) переходит в точку с координатами (х+а; у+Ь), где а и Ь вЂ” постоянные, называется параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами х'=х+а, у'=у+Ь„ (17.1) где (х'; у') — координаты точки, в которую переходит точка (х;у) при параллельном переносе.
2. Понятие мктора. Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка„а другой — его концом. Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом АВ. Точка А называется началом, а точка  — концом вектора. Расстояние 1АВ! называется длиной (модулвм) вектора АВ. Для обозначения векторов употребляются также строчные латинские буквы со стмлкой наверху: а, Ь, ..., х, у.
Вектор АА, концы которого совпадают, называется нулевым векнюром. Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится. Каждый вектор, отличный от нулевого, вполне характеризуется своим направлением и длиной. 3. Коллвиеариые векторы. Два вектора называются коллииварнымн, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Если два ненулевых вектора а и Ь коллннеарны, то оии могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно.
В первом случае векторы а и Ь называются сонаправленнымн (а??Ь), во втором — нромнвонолоисно направленными (а?1Ь) 4. Равенство митдров. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. если существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Другими словами, равные векторы сонаправлены и равны по модулю, т.
е. если а=Ь, то а??Ь и )а (=)Ь!, и, обратно, если векторы сонаправлены и равны по модулю, то они равны, т. е. если а??Ь и (а(=(Ь(, то а=Ь. Любой вектор Равен самому себе: а=а. Если а=Ь и Ь=с, то а=с. 5. Отилашлваиве вектора от данией точки. Из любой точки плоскости можно отложить единственный вектор, равный данному вектору. Построение вектора МФ, равного вектору а, называют онжладыванием вектора а от точки М (рис. 9б).
269 ь йьЬ я Рис. 98 Рис. 96 Рис. 97 Рис. 100 Рис. 99 ° ~ я Рис. 1О! -Ь ВЬ Рис. !03 Рис. 102 270 271 Чтобы построить вектор МЬг=с, проведем из точки М луч, соиаправленный с йехтором а, и отложим на нем отрезок МФ такой, что МУ=[а [. Тогда МФ=е. 1. Параллельный перенос переводит точку (2; 3) в точку (-3; 2). В какую точку он переведет точку (5; — 2)? (3 Используя формулы (17.1), находим значения а и Ь, соответствующие параллельному переносу точки (2; 3) в точку ( — 3; 2): -3=2+а, 2=3+Ь, т.
е. а=-5, Ь= — 1. Далее, по формулам (17.1) получаем х'=5-5=0, у'=-2 — 1= — 3, т. е. точка (5; — 2) переходит в точку (О; — 3) (рис. 97). ° 2. Параллельный перенос переводит точку (-4; 1) в точку (2; -3). В какую точку он переведет точку (5; 5)? 3. Параллельный перенос переводит начало координат в точку (-3; -5). В какую фигуру он переведет треугольник АВС с вершинами А( — 2; 6), В(4; 8), С(5; 3)? 4. Дан параллелограмм. Выполните параллельный перенос, который отображает точку пересечения его диагоналей в одну из его вершин. 5.
Сколько векторов задают всевозможные упорядоченные пары точек, составленные из вершин: 1) треугольника; 2) параллелограмма? б. Даны пары точек: 1) ( — 2; -3); (5; 4); 2) (б; -2), (13; 5); 3) (-8; — 5), (-1; 1). Укажите, какие пары определяют равные векторы. 7. Дан параллелограмм АВС17; ' 0 — точка пересечения его диагоналей. Какие пары, составленные из точек А„В, С, 27 и О, определяют один и тот же вектор? б 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 1. Сложение иектарои.
Для того чтобы построить сумму двух данных векторов а и Ь, нужно выбрать произвольную точку А и отложить от нее вектор АВ=а, а затем от точки В отложить вектор ВС=Ь. Тогда вектор АС является искомой суммой: а+Ь=АВ +ВС=АС=а (рис. 98). Вектор е а+Ь называют замыхаюяГил вектором, а векторы а в Ь вЂ” оземавляющиии векторамн. Этот способ построения называется правилом треугольника. Правило треугольника можно сформурир~вать и так: если А, В и С вЂ” произвольные точки плоскости, то АВ+ВС=АС. Это равенство называют правилом трех точек. Сумму двух данных векторов а и Ь можно построить и следующим оразом. Откладывая от произвольной точки О (рис. 99) векторы ОА=а и ОВ=Ь, построим параллелограмм ОАСВ. Тогда вектор ОС (где [ОС) — диагональ параллелограмма) является искомой суммой: а+ Ь = ОА + ОВ= =ОА+АС=ОС=с.
Этот способ построения называется правилом параллелограмма. Для того чтобы построить сумму л данных векторов л„аз, ..., а„, нужно от произвольной точки О отложить вектор а„затем от конца вектора а, отложить вектор а з, ..., наконец, от 'конца вектора а „, отложить вектор а„.
Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а „а конец — с концом вектора а„, является искомой суммой с=а,+аз+!...+а„ (рис. 100). 2. Вычитание векторов. Два вектора называются лрогливолололсными, если их сумма равна нулевому вектору. Вектор, противоположный вектору а, обозначают — а. Таким образом, а+( — а)=0. Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления (рис. 101). Вектор с называется разностью векторов а и Ь, если с+в=а.
Чтобы вычесть из вектора а вектор Ь, достаточно прибавить к вектору а вектор, противоположный вектору Ь, т. е. а — Ь=а+( — Ь) (рис. 102). Другой способ построения разности векторов а и Ь состоит в следующем. Откладывая от произвольной точки О векторы ОА=а и ОС= — Ь (вектор, протявоположный вектору Ь), получим ОВ=а — Ь (рис. 103). 3. Умвожевие вектора иа число. Произведением ненулевого вехщора а на число т называется вектор, имеющий направление вектора а, если т>0, и противоположное направление, если т<0.
Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа ль Произведение вектора л на число т обозначается тл. При любых гл и а векторы та и а коллинеарны и [та )=[т[ )а !. дл д Л Рис. !04 Рис. !05 Рнс. !06 4. Угол между даума векгорамя. Углом между двумя ненулевьпаи векторами а и Ь называется угол между направлениями этих векторов: Л- (а, Ь =ф, где 0«р<!80'. „)- -- ' л астные случаи; 1) если аЦЬ, то (а, Б ) = 0; 2) если а? )Ь, то (а, Ь)=!80'.
8. Дано: а, Ь, (а, ь). Найти модуль вектора с=а+Б. 0 По теореме косинусов имеем с =а'+Ьг-2аЬсояС. Так как Л Л соя С=сгж(!80' — (а, Б))= 12. По данным векторам а, Ь, с постройте вектор а+Ь+с. 13. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь я с, чтобы из них можно было образовать треугольник? 14, Найдите модуль равнодействующей двух сил Г, и Г, и углы, образуемые равнодействуюгцей с силами Г, я Г„если модули сил равны Г,=8Н и Гэ=5Н, а угол между нимя равен 30'. 15.
При каких значениях т длина вектора та (где аФО) удовлетворяет условиям: !) (та (=!а (; 2) (та 1>(а 1; 3) !та (<!а !? 16. В треугольнике АВС меднаньг АА, и СС, пересекаются,в точке Мп Найдите множитель т, если: 1) А,С =т. ВС; 2) С,В =т С,А; 3) АМ=т МА, . 17. Точка М вЂ” середина стороны АВ треугольника АВС. Выразите СМ через векторы АВ и ВС. 18. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
19. Дан правильный щестиугольняк АВСРЕГ, 0 — его центр, ОА=а, ОВ=Ь. Найдите ОС, ОР, ОЕ н ОГ. 9. Найти модуль равнодействующей А двух сил г'г и Г, и углы, образуемые равнодействующей с сялами Г, н Г„если Г,=4 Н и Г,=6 Н, а ф=60' (рис. 104). О Используя формулу предыдущей задачи, находим По теореме синусов имеем Гг/э!па=р,/ппб/ В/эш(!80' — ф)=В/э!и ф. Следовательно, в!па=(ргяпф)/В=(6э|п60')/8,72=0596; а=36',6; э!п()=(Г, пи ф)/В=(4э!и 60')/8 72=0 397; !1=23',4. Контрольное вычисление: а+8=36',6+23'4,=60'. ° 10.
Цан ненулевой вектор ОА. Отложить от точки О векторы: 1) ЗОА; 2) -20А; 3) 0,50А; 4) — 0,750А; 5) г/20А. 0 На рнс. !05 изображены векторы ЗОА н -20А. Остальные векторы отложите самостоятельно. ф 11. Векторы АС=т и ВР=л служат диагоналями параллелограмма АВСР, Выразить векторы АВ, ВС, СР и РА через т и й (рис. 106). С! 43о определению суммы и разности векторов имеем ВС+СР=л, ВС вЂ” СР=т. Сложив этн равенства, получим ВС=(т+п)/2, Далее, находим: СР=п-ВС =й — т+ф2=(й-т)/2, АВ= — (л — т)/2=(т-л)/2, РА= -ВС= — (т+г0 /2. ° 272 8 3. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ !.
Ось. Угол макну авкгорем я осью. Прямы, на которой выбрано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор в, имеющий длину )г !=1 и направление, совпадающее с направлением осн, называется едииичиым вектором (ортом) этой осн. Если а ~ 0 н в — вектор единичной' длины, направление которого совпадает с направлением вектора а, то а=!а!.е. Углом между ненулевым волевом а а О и осью / называется угол между направлениями оси и вектора; (а,/)=ф, где 0<ф<!80'. 2. Проекция вектора ня ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
