Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причем сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти: 1) скоросп* вращения диска в момент 1=120 с, если прн 1=0 он вращался со скоростью 12 рад/с, а при 1=10 с его скорость стала 8 рад/с; 2) момент времени, когда скорость вращения диска окажется равной 1 рад/с. О Пусть в †углов скорость вращения диска в момент времени б йо тогда замедление вращения диска под воздействием силы трения равно —. й йо Согласно условию, — = хв, где /г — коэффициент пропорциональности.
й Разделив переменные н интегрируя, получим .йо ! Ыв — =/ей, ~ = — /г й, 1лв=/о!+С, откуда в=е"' е=е"ее, нли в= С,ен. () Найдем постоянную величину С, при начальных условиях в=12 рад/с при !=О. Подставив эти значения в равенство (о), имеем 12=С,е"'о, т. е. 12=Со Таким образом, в=12е", (о о) Найдем числовое значение /г по следующим данным: 1=10 с и в=8 рад/с. Подставим эти значении в равенство (оо); 8 12е"''о, откуда е'о'=2/3, 10/г!бе=!82 — !83, /г- — — 0,0405.
182 — 18 3 18 3 — 182 0,4771 — 0,3010 1О!бе 1018е 10 0,4343 Подставив значение /г в соотяошение (оо), получим закон охлаждения, связывающий переменные г и Т: Т= 55'е о,оомз г + 15 (о о о) Найдем температуру воды через 30 мин от начального момента.
Для этого в уравнение (ооо) подставим значение !=30: Т=55'е-оооозэз зо+15' нли Т=55'е оооо+15 Произведем вычисления х=55 е-о.гоо 1вх=1855 — 0,286!бе=!,7404 — 0,286 0,4343= = 1',7404-0,1242= 1,6162, х=41,32в41; тогда Т=41'+15'=56'. Найдем, через сколько времени температура воды в резервуаре станет равной 20'. Подставив значение Т=20' в соотношение (ооо), получим 20 55.е-ооомэз'+15' илн 5'=55'е-оооозэг откуда 0 0909 илн 0 009532!18 т. е.
2,9586 1,041 211 45" !1 " ° 0,009532 0,4343 0;009532 0,4343 Подставив значение /с в равенство (оо), получим со 12 -о,оооос (ооо) Найдем скорость вращения диска в момент времени ! = 120 с. Подставим в равенство (ооо) значение 1=120:, ы=12е-овнов по 12е о'=0,09 (рад/с). Определим, в какой момент времени диск будет вращаться со скоростью 1 рад/с. Подставив в соотношение (оо') значение а=1, имеем -о,ооовс, -о,ооосс . О 0405!! ! 1 ! 12 1 12' 18 12 =61 (с). ° 0,0405 18 е 19. Найти закон движения тела по оси Оу, если оно начало двигаться из точки М(0; 6) со скоростью с=41 — бгз.
20. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; — 1) н имеющей касательную с угловым коэффициентом /г = 1/(2у). 21. Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Оу. 22. Температура воздуха равна 20'. Тело охлаждается за.40 мин от 80 до ЗО'.
Какую температуру будет иметь тело через ЗО мин после первоначального измерения? 23. Радий распадается со скоростью, пропорциональной начальному его количеству. Через сколько лет распадется половина начального его колнчества7 Принять л=0,00044 (единнца измерения времени †г). 24. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2 рад/с, если при 1=0 он вращается со скоростью 20 рад/с, а при 1=8 с — со скоростью 16 рад/су 83.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнение вида — +/'(х) у+ср(х)=0, с/у й где /'(х) и ф(х) — функции от х, называется линейным дифсференциальным уравнениум первого порядка. В частном случае /'(х) и ф(х) могут быть постоянными величинами. Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки у=из, где и и,г — новые функции от х.
25. Найти общее решение уравнения — — =(х+1), ссу 2У з й х+1 248 О Это линейное уравнение: здесь у (х) = — 2/(х+ 1), ф (х) = — (»+1) ° Положим у=из и продифференцируем это равенство по х: с/у дг с/и — и +е —. й й й с/у Подставив теперь выражения для у и — в данное уравнение, получим й й й 2из и — +г — — — = (х+ 1) г/х й х+1 или й /й 2и! и — +з — — =(х+1) . с/х (,й х+ 1,) Так как одну ю вспомогательных функций и или е можно вмбрать проюаольно, то в качестве и возьмем ощю из частных решений уравнения сйс 2и — — =О. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем с/х х+1 — — =О, — =2 —; 1пи=2!п(х+1), и=(х+1)' и х+1 ) и )х+1 (произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно ю частных решений). Подставим теперь выражение для и в уравнение (о),' тогда получим уравнение ,й, й (х+1)' — =(х+1)з, или — =х+1.
й ' й Отсюда находим й= (х+1)й; к= — +С. (х+ 1) 2 Зная и и г, теперь получаем общее решение данного уравнения: Г(х+ 1) ' 1 (х+ 1) у=из=(х+1)з — +С = — +С(х.+1) . ° 2 ~ 2 26. Найти частное решение уравнения сов»о/у+уз)пхс/х=с/х, если у=! при х=О. О Разделив все члены данного уравнения на сов хй, получим уравнение — +угяхы —, с/у 1 () й сов х ду й йс которое является линейным. Положим у=и»; тогда — =и —.+з —,. Подс/у ставив выражения для у и — в уравнение (о), имеем й й ди 1 и — +х — +из!8»= —, й й соз х и — +2 ~ — +и!Ох!= —. ,/я [,Ых ) созх (ее) Для отыскания и получаем уравнение г/и гги — +и!як=О, т. е.
— +гяхгЬ=О, ~Ь ' и | г/и — — — гяхг/х; 1пи=1псозх; и=созх. и Подставляя выражение для и в уравнение (*), имеем г(2 1 г/г 1 созх — = —, илн — =,, т. е. г=!Ох+С. «Ь соз х' гЬ сов' х' Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так: у = иг = сов х (! В х + С) = з! и х + С сов х. Используя начальные условна у = 1, х = О, имеем 1 = ил О+ С сов О, откуда С=1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у =йп х+ сов х. ° Найдите общие решения уравнений: Т/. 1) — 2у-3=0; 2) — =у+1; 3) х — — хг+2У=О.
ау, ггу, ггу «Ь ' Йх ' гЬ 28. !) — +ху=х; 2) — — — (х+1); 3) — ус!Ел=а(пх. ду ду 2У 2, г/У гЬ «/х х+ 1 гЬ Найдите частные решения уравнений, удовлетворянпцие указан- ным начальным условиям: г/У Зу * з. 29. — — =е*х; у=е при х=1. гЬ х (у 2У 30, — + — = —; у=1 при х= 2. гЬ х хг 31. — соз хт(йх-у; у=0 при х=О. г(у г г/х 5 4. НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнение, содержащее производные -(или дифференциалы) не аьппе .второко порядка, называется диффергичиальиым урааигиием второго порядка.
В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом: — =/' х,у,— . Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Рассмотрим на примерах неполные дифференциальные уравнения второго порядка. 32. Найти общее решение уравнения — =зшх. д'у г/х' 0 Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида гг ду — =У'(х). Полагаем = — г; тогда данное уравнение можно записать в виде ,/хг гЬ а 2«г/у( гг~ — — !=з(пх, т.
е. — =з!пх, ь(, ь) откуда дг=з!пхг/х. Интегрируя последнее равенство, получим )г/г=)з!пх«Ь, т. е. 2= — созх+С,. Следовательно, г/у — = — созх+С„т. е, ду=( — созх+С,)ах. г/х Снова интегрируя, находим (г(у=((-созх+Сг)гЬ, или у= — них+С,х+С,. Это н есть общее решение данного уравнения. ° гггу г/у 3 г(у 33. Найти частное решение уравнения — = 2 —, если у=- и — =1 г(хг г/х' 2 Их при х=О. О Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вада дгу /'ду'( /г — =,/'~ — /. Положим — =г; тогда —,= — и, значит, — =22.
Разделив в д ' (Ь)' дх ' . Ьг дх ' ' дх зтом уравнении переменные и интегрируя, получим — =2г/х; — =2 гЬ, !пг=2х+С„2=ем+си Следовательно, г(у м«с, г/х т. е., г/у=ег"«с г(х, Интегрируя, находим общее решение данного уравнения: у=(1/2) г'"'с +С,. (ее) Для нахозгдения искомого частного решения подставим в соотношения («) и (е«) начальные данные: гге с1 с, или 3/2 (1Д)ег о+с,+С (3/2 (!/2)ес,+Сг откуда С =О, С,=1. Таким образом, искомое частное, решение имеет вяд у='(1/2) е *+1. ° д'у ! ду 34. Найти частное решение уравнения —,= — —, если у=2 н г/хг х+2 4х' — =8 при х=2.
г/у ах 251 (3 Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вада дгу ( ау') ду д у г/г — =У(х, — . Положим = — г; тогда — —. Подставив выражении для дх * г/хг дх дгу ду дг ! г/Х вЂ” н — в данное уравнение, получим — = — г. Разделив переменные н дх х+2 интегрируя, имеем дг дх Гдг Г г/х — = —; ~ — =~ —, 1пг=!п(х+2)+1пС„ г х+2' ~ г ~х+2 откуда г=Сг(х+2). Следовательно, ду — =С,(х+2).
г(х Теперь можно найти общее решение данного уравнения: у=(!/2) С,х +2С,х+Сг. ( ) Найдем частное решение, подставив в уравнения (*) и (вв) начальные данные: < 8=С, (2+2), 2=(!/2)С, 2 +2Сг 2+С, откуда Сх — — 2 и Сг=' — Ю. Таким образом, искомое частное решение имеет внд у х +4х — Ю. ° Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: !г 35. — =0; у=2 при х=О, У=З при х=1. дх Зб. —,=4; У=О при Х=О, у=1 при х=1. дгг, й 37.
—,=бг; г=О и — =10 при !=О. дгг дг фг 38. —, —; У=О и у'=0 при х=1. д г э ,!г 4г 39. —,=181+2, г=4 и — =5 при 1=0. ' дгг ' 7г дгЕ, де 40. — =ш', 0=0 и — =12 при ш=О. дшг д!а 41. — = —; У=2 и — =1 при х=О. дгу г/у г/у г/х дх г/х ~Фу ! ду г/у 42. —,=- —; У=б и — =1 при х=2. ' г/Хг Х В(гг г/Х 43. Ускорение свободно падающего тела удовлетворяет уравнедг нию — =8 (8кв9,8 м/с'). Найдите закон движения тела, если г=в и ,! г г/в — =со в момент времени г=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
