Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 43
Текст из файла (страница 43)
4) По формуле (14.16) находим г = б/г = б/ /2езс~=збГ2е!и"+22" еб /с=О, 1, 2, 3; если /с=О, то гб — — 21/2еь!2б1 если 1с=1, то 22= зб/2ез"12~2"зяб= зб/2еб"с!' если /с — 3 то 2 — зв/2ес*14+ел!Яб зб/2е22;цзб з/2 -зиле ° 49. Найдите: 1) е'; 2) е!"; 3) е'+1; 4) е "2; 5) есчз; 6) аббас; 7) ез 8) 50. Найдите: 1) в!п|; 2) сов(1+!); 3) вш(1 — !), 51. Покажите, что для комплексного переменного г справедливы равенства: сов( — г)=совг; яп( — г)= — в|пг; 1-сов22 2 1+сов2г в!пЗг=Звшг-4в|пзг; япзг=; совгг= 2 ' 2 52.
представьте в показательной форме числа: 1) 1; 2) 2/3+11 3) 3+2,,/3; 4) —,,/2+.!',,/6. 1б -- З!бз 241 53. Представив числа з, = /3+! и хз=,/!2+!,/2 в показательной форме, вычислите: 1) г,х; 2) з /г,; 3) хвх; 4) з/хь,' 5) О'зз. 8 5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 54. Выполните умножение: !) (а /Ь+Ьь /а)( — а,/Ь вЂ” Ь1,/а)' 2) (.,/а(Ь вЂ” !,/Ь/а) (./Ь/а+! ы/а/Ь). 55. Разложите на множители: 1) 4х +25; 2) а +12; 3) /5+9; 4)' /2+ /3.
56. Сократите дроби: 1),; 2) —; 3) —,/х+ь',/а+ь,/Ь 57. Выполните деление: 1) ~ '~; 2) ,/3+!,~2»,,/т+ т1, /» 3! — 1 58. Наидите модуль и аргумент комплексного числа —, 2ь+1 59. Проверьте равенство ь/ /т-ь /и,/»-! /т т+» 60. Найдите числовые значения многочленов: 1) х"+х'в+ +3 12 ьо+ 7 и — ' 2) 3+ 3+ +1 и х — 1+ь 61. Выполните действия: !) ( †); 2) 1! — +-) . 1,/3+!/ ' (, 2 2/ ' 62. Возведением в квадрат докажите справедливость формул: ц Сьььь С-ы- ьь!,ьуьь",-.~; ьЬ,йьы-„т-ь~=ю,ьь!ывьь~'-,~. 63. Покажите, что если а= — 0,5(1+! /3), Ь=0,5( — 1+! /3), то: 1) аз=!; 2) Ьз=1; 3) аз=Ь 4) Ьз=а 64. Докажите, что ха+уз — Зху= — 1, если х= — 0,5+1,5!' и у= — 0,5-1,5ь.
65. Произведите указанные действия: ) .ь+ 2 )' в~ ь" ) ! ! 1 1 !+! ! — ь (!+ )ь (! )гь (!+!)в (! !)ьь ! ° !+ 66. Выполните действия в тригонометрической и показательной формах: 1) 5!соз(я/6)-!з!ц(п/6Ц !сов(п/4)+!в)о(я/4Ц; В ) 8 !сов(л/3)+гейл(ц/3Ц: 4 !сов(л/12)+ !в!п(п/12Ц.
7. Вычислите с помощью формулы Муавра: 1) !сов(п/24)+!в!п(я/24Цв; 2) !сов(я/1О)+!в!п(п/10Цьо. 68. Докажате, что (совьр+Рз!пф) '=совьр — ьзщьр. 69. Вычислите: 1) в/г; 2) /1+ь. 70. Решите двучленные уравнения: 1) х' — 8=0; 2) 8х' — 27=0; 3) ха+125=0! 4) 27хз+1=0; 5) хв+81=0; 6) хв-64=0. 71. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами корнями которого служат числа: 1) ь' и — 0 2) 3+! и 3-8 3) 1 — ь.,/5 и 1+ь /5. 72. Решите биквадратное уравнение хв+ хз+ 1 = О, выполнив извлечение корня в тригонометрической форме.
73. Решите уравнения: 1) хв — 28хз+27=0; 2) (2х+3)в — 9(2х+3)в+8=0. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1 вариант 1) Найдате модуль н аргумент 8+2ь числа —. 5 — 3! 1) Нзйаите модуль к аргумент 5+ь' 2+Зь 4) Извлеките корень /2+2ь' /3. 5) Решите уравнение х4 — 4х + + !6=0. Глава 15 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ /1»ь/ьь/ьврвнчиальным урав »вимм называется уравнение, связываюьцее между собой независимую переменную х, псхомую функцию у н ее производные пли дифференциалы. Символически дифференциальное уравнение записывается так: Р(х,у,у') О, Р(х,у,у")=О, Р(х,у,у',у", ...,уиь)=О. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного. Пор»дком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение. Решением !илп ишнввралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает зто уравнение в тождество.
5+ 2ь 2) Выполните действия: —,— 2 — 5! 3-4! 4+Зь 3) Возведите в степень по формуле Муавра ( — !+1,/3)в. 4+3! 2) Выполните дейстзня: —— 3 — 4! 5-4ь 4+ 5ь 3) Возведите в степень по фор- /3 ,/3 ~ муле Муавра ~ — — !/! . 1,2 2 4) Извлеките корень ь/8. 5) Решите уравнение х4 — 2хь+ +4=0. !бь 243 Общим решением (нли общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Так, общее решение дифференцнальногд уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения проювольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и фунхцин.
График частного решения дифференциального уравнения называется шанегральнои кривой. Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых. Диффгренииальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят проюводные (илн дифференциалы) не выше первого парилка. Дифференциальным уравнением с разделяющимися яервменными называется уравнение вида — =/'(х) ф (у), ду Для решении этого уравнения нужно сначала разделить переменные: ду — =г (х) дх, РЫ а затем проинтегрировать обе части полученного равенства: — — у"(х) дх. 1. Найти общее решение уравнения х(1+у')ь/х=уь/у.
(3 Разделив переменные, имеем уду хдх= —,. ! 1у2' Интегрируем обе части полученного уравнения: ! ( уду хз 1 1 хдх= —,; — =-1л(1+уз)+-1пС. ~!+у" 2 2 2 Так ках произвольная постоянная С может принимать любые числовые значении, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали (1/2)!оС. Потенцируя последнее равенство, получим х з = !и [С (! + у з)~. Это н есть общее решение данного уравнения. й! 2. Найти частное решение уравнения з!Егь/г+ь/я=О, удовлетворяющее начальным условиям з=4 при !=и/3. О Разделив переменные, имеем дв ьйгй+ — =О.
Проинтегрируем обе части полученного уравнения: !8ьдь+ — =1пС; -!псов!+!пв=1пС г Гд* нли 1пв=!пС+!псов!, в=Ссозг. Э б шение данного уравнения. Для нахождения значения проювольной постоянной С подставим значения !=к/3 и в=4 в выражен е дл щ — — н я об его решеннв: 4=Ссоз(я/3), или 4=С/2, откуда С=8. Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид в=8совь ° Найдите общие решения уравнений: ду 3Здх 3.
1) х~г/х=3уЫу; 2) /хну= /уь/х; 3) — = —; /х /у 4) (! +у)ь/х = (х — 1)ь/у. 4. 1) худх=(1+х )ь/у; 2) узв/х+(х — 2)фу=О. 5. 1) (хз — ухз)ь/ +(уз+луг)ь/х=О; 2) хзь/у-(2ху+Зу)в/х=о. б. 1) (!+уз)в/х — /хь/у=О; 2) ч/г! — хзь(у — х /7 — узь/х=О Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 7. 1) уь/у хь(х; у=4 при х= — 2; 2)хв(у=уь/х; у=б при х= .
8. ь/з=(Згз — 21)ь/О з=4 при 1=2. 9. —,= — „' у=2 при х=О. ду дх х' у 10. — = —; у=4 при х=О. ду х — 1 у — 2 ЗЕ (1+ )в/х=(! — х)в/у; у=З при х= — 2 32 (1 «-х) уь(х+(1 у) ха!у 0 у 1 при х ! ЕЕ зг/х=евь/у; у= 1 при х=О 34., с!Ехзьпуь/у у и при х к/3 дх сов х сов у й 2. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЮ!ИЕ ДИйьФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 15. Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (4; 0) со скоростью о=21+3!а. (Э П прямолинейном движении скорость есть проюводнак от пути по рн дх времени.
Обозначив путь через я, имеем о= —; тогда — — 2г+Зьз, нлн дх=(2г«-3!')дг. дг Проинтегрировав, получнм х=гз+гь+С. Используя начальные условия, найдем С. Так как х=4 прн 1=0, то, подставив этн значения в общее решение, находим С=4. Итак, закон движения тела имеет внд х= =-!'+ьь+4. й! 245 ур внение крнвои, проходящей через то 16. Составить а (2; — 3) н имеющей касательную с угловым коэффициентом 4х-3. О Согласно условию, имеем оу — =4х — 3, или о/у=(4х — 3)с/х.
Проинтегрировав, получим у=2х' — Зх+С. Используя на у= —, находим С= — 5. Сл уя начальные условия вил у=2х — Зх — 5. й) — у= —, н С= — 5. Следовательно, искомое уравнение имеет 17. Вода в отк ытом р том резервуаре сначала имела температур 70' через В) мин темп а ер тура водь! стала 65, температура окружающей а У через 30 мин о резервуар среды 15'. Определить: температуру воды в резв з в резервуаре темпе т начального момента момент времени, ратура воды в резервуаре станет равной 20'. \ когда О Обозначим Т температуру воды в момент в ме . С охлаждения воды есть ды есть схорость изменения функции, связывающей ! и Т, т. е. проюводная —.
й 4Т Величнна — пропорциональна разности температур воды в резервуаре и в окружающей его среде, т. е. /о(Т-15'), где /с — коэффициент прон цнональиостн. Следовательно, — =х(Т вЂ” 15)1. Р— ( — '). азделив переменные, имеем 4Т вЂ” =/ой. П о — Пр интегрируем полученное уравнении | йТ 7, 15,= /!оп (п(Т вЂ” 15') — /о!+С, Т-15 =енес=енес — еию з* откуда Т= С,е" + 15' Эт () то соотношение и выражает закон охла Найдем величи ждения воды. айдем величину 'С, при начальных условиях Т=70' прн г=О, Имеем 70= С ев'о+ 15, нли 55'=С,ео= С , т. е.
С = 55'. 1=!1= Подставив найденное значение С в равен ( ), (оо) Найдем величину /о. По условию, Т=65' при г=!0 мин. значения в соотн ' ) ошение (оо), получим 65'=55'еь1о+15* или 50'=55'е'о" или !О/11=с'о" Прологарифмировав последнее равенство, имеем 18 1Π— 18 11 10Ибе, откуда 1 — 1811 1 — 1,0414 О,0414 10!бе 10 04343 4343 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
