Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Глава 13 ПРИЛОЖЕНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА $1«ПРИЬ4ЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 1. П рнмеиевие определенного интеграла к вычиелешпо разлячнык величии. Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины и, соответствующей промежутку а <и <Ь изменения независимой переменной х, выполняется по следующей схеме; 212 !. Пусть величина и получает приращение Аи=/'(х)ах, соответствующее изменению х на малую величину Ах; /(х) рассматривается как данная или определяемая из условия задачи функцяя от х (рис. 67).
2. Заменив приращение Аи дифференциалом гги (главная часть приращения Аи) и Ах — дифференциалом 4!х(Ах=«Хх), получим 4/и =/'(х) 1/х. 3. Интегрируя зто равенство в пределах от х=а до х=Ь, находим и=)/'(х) 4/х. а 2, Вычисление площади плоской фигуры. Найдем площадь 6 криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=/(х), осью Ох и двумя прямыми х=а н х=Ь, где а<х<Ь, /'(х)ВО (рис. 68). Так как дифференциал переменной площади Я есть площадь прямоугольника с основанием «!х и высотой /(х), т. е. 4/о=/'(х)1/х, то, интегрируя зто равенство в пределак от а до Ь, получим о = ) /(х) 1/х. (!3.1) Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу так, что с<у<11, х = гр(у) > 0 (рис.
69), то дифференциал переменной площади о равен г!8=/'(у) 1/У, откуда 8=)ЬЫ«!у. с В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=/(х), осью Ох и прямыми х=а и х=Ь, лежит под осью Ох (рис. 70), плопмдь находится по формуле 5=) 1/'(х)11/х. (13.3) Если фигура, ограниченная кривой/(у), осью Ох и прямыми х а и х=Ь, расположена по обе стороны от осн Ох (рис.
71), то « о =) /(х) 1/х+) 1/(х)11/х. 4 Пусть, наконец, фигура о" ограничена двумя пересекающимися кривыми у=/1(х) и у=/г(х) и прямыми х=а и х=Ь, где а<х<Ь и /1(х)(~г(х) (рис. 72). Тогда ее плошадь находится по формуле у=гз'х) Рис. 74 Рис. 73 Рис. б9 Рис. 70 хз)з Я= хзз(х= — ~ =б-(кв, ед,) ф 3 1 3 р гз(г) 6 Х е 1 2 Я= 23, =2 5-=!О-(кв. ед). 9 3 3 Рис. 71 Рис.
72 215 214 з о =1 [з з (х)-з з (х)1 з(х. (13. 5) Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями: 1. х+2у — 4=0, у=О; х= — 3 и х=2. 0 Выполним построение фигуры. Строим прямую х+2у-4=0 по двум точкам А(4; О) и В(0; 2) (рис. 73). Выразив у через х, получиы у= — 0,5х+2. По формуле (13.1), где у(х)= — 0,5х+2, а= — 3, Ь=2, находим г о= ) ( — 0,5х+2)з(х=[ — 0,25хз+2х)з з=!1,25 (кв. ед) В качестве проверки вычислим площадь трапеции МзМФФз обычным путем.
Находим: МзМ=Я( — 3)=-0,5( — 3)+2=3,5, Ь!зЬ1=2(2)=-0,5 2+2= =1, МзФз=5. Следовательно, о=0,5(3,5+ 1) 5=!1,25 (кв, ед.). 06 2. х — 2у+4=0, х+у — 5=0 и у=О. 0 Выполним построение фигуры (рис. 74). Построим прямую х — 2у+ +4=0: у=О, х= — 4, А( — 4; О); х=0, у 2, В(О; 2). Построим прямую х+у-5=0: у=б, х=5, С(5; О); х=б, у=5, О(0; 5). Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений с х — 2у+4=0, х+у — 5=0, х=2, у=З, М(2; 3). Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМХ и УМС, так как при изменении х от А до Ф площадь ограничена прямой х — 2у+4=0, а при изменении х от д пр Ь! о С вЂ” ямой х+у-5=0. Для треугольника АМзу имеем: х — 2у+4=0; у=0,5х+2, т.
е. Ях)= =0,5х+2, а= — 4 и Ь=2. Для треугольника !чМС имеем: х+у — 5=0, у=-х+5, т. е. Ях)=-х+5, а=2 и Ь=5. Вычислив площадь кахспого из треугольников и сложив результаты, находим: з ) (0,5х+2)1(х [0,25х +2х)з 9(кв езь) (( х ь5),(х-[ — 05х~.Ь5х)з=4,5 (кв. ед,); з .с п.ьу „нс — 9.Ь4,5 !3,5 (кв. ед.).
Проверка: Язз с=0,5АС зтМ=0,5.9.3 !3,5 (кв. ед.). Ф 3. у=х', у=О, х=2 и х=З. Сз В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой у=х, прямыми х=2 и х= з =2 и х=З и осью Ох (рис. 75). По формуле (1ЗЛ) находим 4. у=-х +4 и у=О. С! Выполним построение фигуры (рис. 7б). Искомая площадь заключена менду параболой у=.— х'+4 и осью Ох. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у=0, найдем х=х2.
Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим плошадь фигуры, располозкенной справа от оси Оу,и полученный результат удвоим: з Г хз )з Яз= ( — хз+4)з(х=~ — +4х~ =5-(кв, ед.); 3 ~е 3 Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77 5. у'=х, у)Ол х=1 и х=4. О Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболы уэ=х, осью Ох и прямыми х=! и х=4 (рис. 77), По формуле (13.1), где у(х)лл /х, а=! и 6=4, находим — --!л — ! ' )--(л-!)-л-!.. *,! ° и 3, 3 3 3 ! ! б. у=я(пх, у=О, х=О и х=к О Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (рис.
78). Имеем 1» Я=)о(пхл/х= — соох =-соэк+соо0=!+1=2(кв. ед). ® о о 7. у=-бх, у=О и х=4. О Фигура расположена под осью Ох (рис. 79). Следовательно, ее площаль находим по формуле (13.3): 4 Я= -) бхэ/х =!1-Зхэ)о!1=~ — 48!=48(кв. ед). ф о 8. у=(1/3)хэ, у=О, хлл — 1 и х=2. О Кривую у=(1/3)х построим пс точкам (рис. 80). Фигура, ограниченная данными линиями, расположена по обе стороны от оси Ох. Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (13.4): о 2 Я= -Хэл/х + -хэл/хлл — + — = — + — = -! о 5 =1 — (кв, ед.) Ф 12 э+ э э 216 Рис.
78 О 3 треб ется вычислить плошадь, ограниченную окружностью хэ+ '=г', т. е. площадь круга радиуса г с центром в начале оордн десь уе с к наг. х у =г, т.е. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы и трира инте ванна от 0 дог;имеем Я=!г /э-хэ(х.И р ° огов Д р отрнв р ер 80 ,=г, г — х о (2) гл.
11: Я =~ — а!сил-+- ~Гг — х = — апяэп! = — ==. ~2 г 2 ~о 2 22 4 Следовательно, Я=4Я! яг ° Ф 10. у=х' и у=2х. О Данная фигура ограничена параболой у=х и прямой у= ф . ). й =гх г.ис. 81). Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений ~х=б, о ткуда находим хэ — 2х=бо»х(х-2)лл ' Используя для нахождения ) х=2. аскомой пленили формулу (13.5)„получим э хо~!э 8 4 Я (2х — х~)Ых= х' — =4--=- (кв. ед). Ф 3~ 3 3 о 11.
7х'-9у+9=0 и 5хэ — 9у+27=0. — 59 х'+3 и О Запишем уравнения парабол в воще у (7/9)хо+1 и у=(5/9)х +3 и построим эти параболы (рис. 82). Для иахоягдения точек их пересечения решим систему с у=(7/9) хо+ 1, у=(5/9)х'+3, 217 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА с. 81 Рис. 82 11 вариант 1 вариант Вычислите интегралы: Вычислите интегралы: в !) С( /~+3/х)згх в -х'+3 — -х'+1 ~х= о з! г с сов х 4х 2) /2вщх+1 о зтсз Г сСХ 3) /4 — 9х з пз 8=28с 8 (кв. ел,). ° з Найдите площади фигур, ограниченных линивми; 4) у= — хг+х+б и у=О; 5)'у=хо — 8х+18, у=-2х+18.
Найдите площади фигур, ограниченных линиями: 4) у=-хг+2х+3 и у=о' 5) у= — хз+!ох — !б, у=.т+2, 218 219 откзчса х, = -3, хг = 3. Таи как фигура симметрична относительно оси 0у, то найдем половину ее площади, взяв пределы интегрирования от О до 3, и результат удвоим.' з з — 2 — хг ~згх=2~ х- — ~ =2(3-1)=4 (кв. ед.); 9 /) -~ 271,— о Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями: И. 1) х-у+2=0, у=О, х= — 1 и х=2; 2) 2х — Зу+6=0, у=О и х=З. 13.
1) х-у+3=0, х+у-1=0 и у=О; 2) х — 2у+4=0, х+2у-8= =О, у=О, хзо — 1 и х=б. 14. 1) у=х', у=0, х=О и х=З; 2) у=Зх, у=О, х -3 и х=2. 15. 1) у=ха+1, у=О, х= — 1 и х=2; 2) у=0,5хг+2, у=0, х=1 и х.=3; 3) у=-(1/3)х'+3, у=О, х=О и х=З. 16. у'=х, у>0, х=О и х=З. 17. 1) у=-х'-2х+8 у=О; 2) у=-(2/9)х'+(4/З)х, у=0; 3) у=-хг+бх — 5, у=О, х=2 и х=З.
18. 1) у=1/х, у О, х=1 и х=З; 2) у=2/х, у=О, х=2 и х=4. 19. 1) у совх„у=О, х=О и х=п/2; 2) у=18х, у=О, х=О и х=и/3; 3) у=тйх, у=О, х=п/6 и х=и/3. 20. 1) у=-Зх, у=О н х=2; 2) у=2х, «=0 и х= — 3. 2!. 1) у= — Зх,у=О,х=!их=2;2)у=-х — 1,у=О,х=-2их=1; 3) у=ха-4 и у=О. 22.' !) у=хо, у=О, х=-2 и х=2; 2) у=4х', у=О, х= — 1 и х=2; 3) у=хо-~, у=О, 23. 1) уг=4х,,х=1 и х=9; 2) у'=9х и х=4.
24 1) хг+уг '"9. 2) хг/па+уз/Ь !. 3) хг/16+уз/9 1 25. 1) у=вщх, у=О, х=-и/2 и х=п; 2) у=Них, у=0, х 0 и х=2и. 26. 1~ у=ха и у= — Зх; 2) у=хг и у=2х+8; 3) у=хг и у=х+2; 4) у=х +2 и у=б. 27. 1) у=0,5х' — 4х+10 и у=х+2; 2) у=ха — 2х+3 и у=Зх — 1; 3) у=(1/З)хг-2х+4 и у= — х+10. 28. 1) у=2хг+1 и у=ха+10; 2) у= — 1,5х'+9х — 7,5 и у= = -хг+бх — 5. .29!)у хг н» 2 хг, 2)у хг их уг 30. 1) х =Зу и у=х; 2) у=ха — бх+9 и Зх — у-9=0." г 4х 4х 1) ,/!+2 ' сг 2) 34х 2сов~(х/2) ез з з) ( —,'*,. 8 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ Путь, пройденный точкой при неравномерном двюкении по прямой с переменной скоростью е=/(с))О за промежуток времени от с, ло вычисляется по формуле з=) /'(с) сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
