Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти: 1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент 1=2 с; 3) момент, когда скорость является наименьшей. ~Ь О 1) Находим скорость: — =61-12, или 4а=(б! — 12)4!. Интегрируя, л! получим '!г!а=|(61-12)40 а=ЗГ~ — 121+Со Используя начальные условия 1=0, аа=9, имеем 9=3 От — !2.0+С„т. е. С,=9. Следовательно, а=3!'-12!+9. Находим закон движения точки: — =31 — 121+9, или Аг=(З! -121+9)4ь Й 1 2 ' 41 197 Интегрируя, находим (,Ь=((З!з — !2!+9) 40 г=г'-бг'+9!+ С,. Используя начальные условия ! О, та=!0, имеем 10=0з — б Оз+9 О+С,, т.
е. Ст=10. Таким образом, я=11-бгз+91-1-10. 2) Найдем а, а напри 1=2; а=б 2 — 12 О; и=З ° 2~-12 2+9=-3 (м/с); 2з 6,2з+9.2+10=12 (ы) 3) Исследуем функплю, определяющую изменение скорости, на максимум и мвнимум: и Згз — 121+9, и'=бг — 12, б! — !2 О, 1=2; и"=бъО. Следовательно, скорость является наименьшей при !=2 с. ° 46. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону: 1) с гз — 8!+2; 2) и=41-Згз.
Найдите закон движения точки. этому 198 47. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой е=2! — 3. Найдите закон движения точки, если к моменту начала отсчета она прошла путь б м. 2 48. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой о=31 +41-1. Найдите закон движения точки, если в начацьньгй момент времени она находилась в начале координат. 49. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой е=2созг. Найдите закон движения, если в момент с=п/б точка находилась на расстоянии э=4 м от начала отсчета.
50. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью пе. Найдите закон движения этого тела (сопротивлением воздуха можно пренебречь). 51. Точка движется прямолинейно с ускорением а=12!э+ба Найдите закон движения точки, если в момент 1=1 с ее скорость п=8 м/с, а путь э=6 м. 52. Точка движется прямолинейно с ускорением а= — 6!+18. В момент времени 1=0 (начало отсчета) начальная скорость ее=24 м/с, расстояние от начала отсчета ге=15 м. Найдите: 1) скорость н закон движения точки: 2) значения ускорения, скорости и пути в момент 1=2 с; 3) момент, когда скорость является наибольшей.
б 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ Сущность интегрирования методом замены переменной (епссобом подстановки) заюпочается в преобразовании интес.рала ),Г(х) с/х в интеграл ) г"(и) Йг, который легко вычисляется по какой-либо вз основных формул интегрированна. Для нахождения интеграла )Г(х)с/х заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки х=ф(и), Дифференцируя это равенство, получим с/х=я'(и)йи. Подставляя в подынтегральное выражение вместо х н с/х нх значения, выраженные через и я 4и, имеем ) Г(х) с/х=) Г(<р(иЦ ср'(и) с/и=) Р(и) с/и. После того как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки и=ф(х) он приводится к переменной х. Найти следующие интегралы; 53. 1) ) (Зх+2)зс/х; 2) )(2хз (-1)»хзс/х; 3) з э! 4) э О !) Введем подстановку Зх+2=и.
Дифференцируя, имеем Зс/х=с/и, откуда с/х=(!/З)с/и. Подставив в данный интеграл вместо Зх+2 н с/х нх выражения, получим 1Гэ 1и~ 1 (Зх-Ь2) с/х=- и с/и — — +С= — ив+С. 33 3 6 18 Заменив и его выражением через х, находим (Зх-!-2) д»= — и»+ С= — (Зх-~-2) с.~-С. 5 с 18 !8 Проверка: с( — (Зх+2) +С = — (Зх+2) Зс/х~(З»+2) есх. ! ~1 6 5, 5 18 3 18 2) Положим 2хк+1 и, откуда 6»зс/х с/и, хэ с/х (1/6) с/и. Таким образом, | (2»з+1)"х~с/х — и»с/и=- — +С= — и +С= — (2х +1) +С.
6~ 6 5 30 30 3) Полагая хэ+1=и, имеем 2»с/х=йю, хс/х=(!д)йи. Значит, — (х +1) ~хс/х=- и ~йг=- — +С= — — +С= хс/х Г э (хэ+ !)з ~ ( 1 +С. 4(хз+ 1)э 4) Положим 5хэ+1 и, откуда 15»зс/х с/и, хзс/х=(1/15)еси. Поэтому хэс/х 1 Гйг ! 1 — — — = — 1и и +С вЂ” !п(5х +11+С. 80 5хз+1 15~ и 15 15 Гй Гй 54. 1) 18/схйс; 2) ~ —,; 3) ~ —.
Гяп йхс/х О 1) Имеем !8»»с/х=~ —. Положим соз/сх=и, откуда ~ сов໠— Кйпйхс/х=с/и, з!пйхс/х= — (!//с)с/и. Следовательно, 1 Гйи !8 йх с/х = — — ~ — = — — 1п ! и ! + С= — — 1п ! соз йх ! + С. /с~ и /с /с 2) Так как япи=2яп(и/2)соз(иД), то йи (' ~/и яп и ( 2 з!и (иД) соз (иД) Разделив и умножив знаменатель на соз(и/2), получим с/и 1 ( с/и и!пи 2(18(иД)сох~(иД) 1 ' 1 А Положим 18(и/2)=г; тогда з -ди=йг, т. е.
— 2с/х. Таким еоэз (и/2) 2 созз (и/2) образом, =1Г =1.(,!+С=!.!!8( Д)!+С йи Гс/з и!пи ~ х Г ди Г с/и к 3) Имеем = — — — Положим — +и=э тогда с/и=с/г По ~сохи ~, я 2 яп — +и ! — — — =!и 18- +С~)п !8 — +С 1п 18 — + — +С. ° 55.
1) |Заохйс; 2) |е эы~схс/х. )г*'~г)'*'ь; г) )г/))-'г**)' ш. хг» ~ хг»х )(г*~г) г ЛР В оЗх»х; 2) |с!я/сх»х; 3~ )с!К(х/2)»х. — 2) ~.»'; з)~ —; 4)" в;и 2 .' ~ пп (х/3)' сов Зх' ! сов(х/2) 6 9 ~ ~ ~ ц е ~ | ~ ~ | ~ эх ~ ~ ~ ~~ ~ 1~ ~ х е ~ 2 « г ~ |~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ | ~ л ~ 3 ~~ 4 ~ ~ ~ ~ х г г 69 ц ' »х; 2) ~хе **»х;. 3) ~еп"*совх»х; 4) ~ —, /х ( г ц»! 2) |вщ(я/2)»х 3) ) косов х»х 4); 5) хсов(х +ц»х.
/х 71. Ц, ' ° 1совгх' 1 по'(Я/3 — В))' х сов,/х ) | — „„„".,„„ Ф | 72. Ц 73. Ц »х х' в1п' (1 /х) ееоо»Е) /! — е" В)П Х»Х о'+сов' х Интегрируя обе части равенства»(ио)=и»о+о»о, получим |»(ио) =| и»О+ | о»)г, м) = | и»о+) о»и, откуда (11.14) ) в»о=во — | о»и. С помощью этой формулы вычисление интеграла ) и»о сводится к вычислению интеграла )о»и, если последний окажете рощ я и е исходного. 74.
Найти следующие интегралы: Г!их»х Г г з г ц хв)пх»х; 2) ~ —,' 3) ~ч/~,+и О !) Положим в=х, »о=в!пх»х тогда»и»х, )»о=)в!пх»х, т. е. о= — совх. Используя формулу (11.!4), получим 201 200 О 1) Положим 5хг=и, о~куда 10х»х=»и, х»х=(Ц10)»и. Значит, Г Г ! Зв"'х»х= — ~ 3" гй= — — +С= +С. !0~ 10!пз 10!пЗ 2) Положим — Зхг+1=и, откуда — бх»х=»в, х»х= — (Цб! й. Таким образом, е г" ч'х»х= — — е'гй= — -е"+С= — -е г* ь'+С. ° б~ б б ) совг 2хг' О Ц Положим ./х =и, откуда»х/( /х)=2»в. Следовательно, В1П /Х г* г|' ж — г с -г *~С. /х 2) Положим 2хг=и, откуда 4х»х=»и, х»х=(1/4)»в. Таким образом, Зх»х ЗГ»и 3 3 г г=-~ г =-!Ои+С=-!02 г+С ° совг 2х 4 совг в 4 4 ц 3" »х 2) совх»х /25 9г,) 4-1-в1п х О Ц Полагая 3"=в, находим 3'!пЗ»х гй, /25 — 9*= /25 — вг.
Сле- довательно, 3" »х 1 Г »и 1 , и 1 , 3' — — = — агсип — + С = — агспп — + С. /Б 9* !п 3 ~ /51 „г !п 3 5 !п 3 5 2) Положим в!ох=и, откуда совх»х=»1. Таким образом, совх»х Г»в 1 в 1 ппх ,, = —,=- гсгй-+С=-агс!а — +С. ° 4+в!пгх ~4+ив 2 2 2 2 Найдите следующие интегралы: 5В. Ц ((7-2Х)з»; 2 ((5!-1)'»!; »х»в | (4 — Зх)г' (5в+!)г 4) гг. О !!Яз 1)) г; г) ),)ь — ) г; о |)/)г-))'гг г) | В т,: г) | 66. Ц )(хг+3)вх»х; 2) |4(хв — Цзх'»х 3) бв»в 4) ! ! ! ! (1-2вг) ' | (5х*+З)в.' 6) ц ) )г* ).) * г*; г) ! ДР- )) г) 1,)г ь -т . *г* 1 ге г - ) =,); 4) |,,/е" +1 е*»х (подстановка е" +1=и).
бг. О) 63. Ц 3,/ 65. Ц)! и.))| 67. Ц 2) в /! — !пгв 2) 1+ *' ) 1+" П+!') а 5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 77, !) хе" агх; 2) 78. 1) агсз)п хг(х; 79. 1) е" созхс/х; 2) [ агс!8 х г/х. 2) )е" 5(пхг/х. 88. Проверьте равенства интегрированием до частям: О | с,г-. а=-*,~- — ь~*-:-„~г!:,-с. 2 2 аг гг |,~Р:р гг-'— г и -*~*-„Сс Ргс. 2 а 2 202 ) хяпхс/х= — хсогх+) созхггх= -хсозх+яп к+С.
Их 2) Положим и=1пх, гйг= —; тогда г/и= —, ~ гйг=~ — =~ х 22/х= х2 х х 1 1 — —; е= — —. По формуле (11.14) получим х х | 1пх 1пх 1 г/х 1пх 1пх 1 — г/х= — — + — — — — + х зги= — — — — +С. х' х 2хх х ~ х х 3) Положим и= /х +а, с/с=2/х; тогда г/и= г г г Х г/Х , и=х. По форм- орму/Х24аг ' л е (! !.!4) получим 2 ~ ~ ~~ 2 ч/хг+атг/х=х г/хг+аг— Г х ггх (хг+дг В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем а и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов: 2 гх +а г/х=х /хг+аг — г/х=х г/хг+аг — ~ г/х+ х+а гх+а с/х +а' / 2+аз Последний интеграл находим по формуле (11.11): ) ч/х э+а~ г/х=х /х2+ аз — ) //хг+аг г/х+аг!и ! х+ч/хг+аг ! + С. Перенеся [ /х +а с/х нз правой части в левую, получим / г 2) /хг+аг г/х=х /х +аз+аз!п(х+ /хг+аг !+С, или окончательно /хг+а' с/х=-х /хг+а' + — !п1х+ /х'+аг !+С.
° 2 2 Найдите следующие интегралы: 78. 1) )хсозхг/х; 2 )(1-х)япхг/х. 1пх —, г(х; 2) 1пг хг/х. 76. 1) 8 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ При вычислении интегралов вида ) 5!пг" хг/х или ) согг" хг/х от четной степени синуса или косинуса используются формулы понижения степени 1 — со52х г 1+со52х згп2 х= 2 ' 2 созг х= При вычислении интегралов вида [51п24+гхг/х или [согг"ггхс/х от нечетной степени синуса или косинуса нужно отделить от нечетной степени один множитель и ввести новую переменную, полагая созх=г в первом интеграле и згп х=г — во втором. При вычислении интегралов вида |япахсоз((хс/х, |япахяп(3хг/х и [сог ахсоз )3х с/х применяются формулы 1 янах яп(3х=-[соз(а-)3)х — соз(а+)3) Х1, 2 1 соя ахсоз(3х= — [сог(а-8) к+005(а+!3) х) 2 ! зги ах сов (3х=-[зги(а — 13) х+яп(а+(3) х1.
2 Найти следующие интегралы: ВК 1) |созгхг(х; 2) |0054х,/х. О 1) Заменяя созгх на (1+со52х)/2, получим | Г1+с052Х 1 1 1 ! 1 1 с05 х с(т = г/х=-~ с/х+ -~ со52хг/х=-х+-51п2х+С. 2 2~ 2~ 2 4 Г/1+согух'гг 1 Г 2) со54 х г/х = (сог' х)' с/х = г/х =- с(х+ — соз 2х г/х+ ! / + — С05 2Х г/Х. 4| В послелнем интеграле заменим созг 2Х на (1+со54х)/2; тогла получим 1 1, 1 1 со54хг/х= — х+ — яп 22+ — ~ (1+со54Х)г/х=-х+ — 5!п2х+ — х+ — яп4х+С= 4 4 8~ 4 4 8 32 3 1, 1 =-х+ — ял 2х+ — яп 4х+С. ° 8 4 32 82. 1) |!82 хс/Х„2) |!84хг/х. 1 О 1) Воспользовавшись соотношением !82х= — — 1, получим С05 Х !82 хг/х= —, — 1 г/х= —, — г/х=гйх — х+С. гг С05 Х С05 Х Вычислим первый интеграл. Полагая гйх=и, найдем г/х/(согг х)=Ни н, следовательно, !я~ хг!х ! из !82 х — =~ и'аЪ= — = — +С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
