Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 32
Текст из файла (страница 32)
268. 1) у=; 2) у=!Ех — х; 3) Яи) и318и; 4) /'(х)=з(пх+ 1 — !ях +!8х; вычислите /'(к). 269. 1) у=18(ах+5); 2) у=!8(х/3); 3) у=18хз; 4) у=18 /2х. 270. 1) у=18хв(п'х; 2) у=зх — 183х; 3) /(х)=183хз(пх; вычислите /'(к/3); 4) у=18-+-18'-. 2 3 2 271. 1) /(х)=,' вычислите /'(к/2); 2) у= —. ! + 1В(х/2)' 1яЗ 1+с1ях 272. 1) у=с18х+х; 2) /'(х)=; 3) /'(х)=сгйх-18х; вы- сва х числите /'(к/4). 3. 3 . " ! 3" 273. 1) у = с(йх ; 2) у=свй х; 3) у= — с!я- †-с!8 — .
2 3 2 274 Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону 3=4вш31, в момент времени 1=к/9 (в — в метрах, 1 — в секундах). 275. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону 3= — 2сов26 в момент времени !=к/б, 8 25. ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНК1(ИЙ Формулы дифференцирования 173 Найти производные следующих функций: 276.
1) /(х)=5агсзшх-Загссовх; вычислить /'(,,/3/2); 2) /(х)= = 3 ага!8 х — 2 агсс!8 х; вычислить /' (2). О 1) Используя формулы (9.7ба) и (9.77а), получим ./ (х)= + =; /' — = =16. 5 3 8,( /З~ 8 /! — хг /à — хг /7 — хг ! 2 ) /! 3/4 2) По формулам (7.1), (9.78в) и (9.79а) находим 3 2 5, 5 /'(х)=,+ — = —; /'(2)= — =1. Е ! фх' 1+хг !+хг 1+21 277. 1) у=агав!п2х; 2) у=атосов и/2х; 3) у=атос!83х. О 1) По формуле (9.76) получим 1, 1 2 у'= (2х)'= .2= /1 (2х)г /! 4хг / ! 4хг 2) По формуле (9.77) получим у =- (,/Б) =- —.2= 22 21гьг т-2* 2 2и 1 1 ' 1 ,22-и 2и Щ-г,)' 3) По формуле (9.79) находим 1, ! 3 у'= — (Зх)'= — — г 3= —.
9 1+(Зх)г !+9хг 1+9хг Найдите производньге следующих функций: 278. 1) /(х)=2агсв!пх+агссовх; вычислите /'( /2/2); 2) /(х)= =5агсзшх+2агссовх; вычислите /'(1/2); 3) у=х(агав!пх+агссовх). 279. 1) у=агсвшЗх; 2) у=ножов(х/а) 3) у=агсвшхг; 4) у= = атосов ах. хг — а' 280. 1) у=агсвш /Зх; 2) у=атосов /х — 1; 3) у=агсвш хг+аг, 281. 1) Дх)=ага!Вх; вычислите 1'(,~ 3); 2) у=х(агс!Вх+агсс!Вх).
282. 1) у=агс!Вх'; 2) у=атос!83х; 3) у=ага!8(а/х); 4) у= = агссгй(х/а). 283. 1) у=агс(8 /х; 2) у=ага!8(1/ /х). 1+х х — 1 284. 1) у=атос!8 —; 2) у=атос!8 —. 1 †х+1 $26. ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 285. Найти вторые производные функций: 1) у=вшгх; 2) у= =!пвшх. 174 О 1) у' 2вгпхсозх=з!н2х; У "мсо52х'2=2со52х' 1 2) у'= — совх=сгпх; У'= . г йВ пах 51П Х 286. Найти скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону 5=2вш(яг/3), в момент времени 5=1.
225 яг я 2я яг О 5= — =2сов — — — — соз —; 211 3 3 3 3' 2я я 2я 1 я 5(!)= — 505 — =— 3 3 3 2 3' 2(гг ~о 2я, яг я 2яг яг а = — = =- — 5!и — — = — 5!а —; 2(11 2(1 3 3 3 9 3 2яг я 2яг /3 яг /3 а(1)= — ип-= — — = — —.
ф 9 3 9 2 9 287. Найдите вторые производные функций: 1) у=совх; 2) у= =!Вх; 3) у=!псовх; 4) у=)пгйх; 5) з=еим22 6) в=с ""'. 288. В момент времени != 1 найдите скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону: '1) в=ип(пг/4); 2) в= = — соз(яг/3). 289. Материальная точка массы т движется прямолинейно по закону 5=-5!пЗг. Найдите силу Р, под действием которой точка совершает зто движение в момент г=я/6. $27. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Если точка М движется по окружности радяуса Д (рис. 59) с настоенной угловой скоростью в, то проекция Р точки М на ось Оу совершает по этой оси колебательное движение по закону У = К 5!п (511+ В ).
(980) Движение точки Р ыаэывается лросгиым гармоническим колебанием. Величина и (амплитуда колебания) выражает максимальное отклонение колеблющейся точки Р от начала координат; в — угловая скорость точки М в радяанах в секунду; 1 — время в секундах, эа которое точка М перемещается из положения Ре рве Ме в положеыие М„.  — начальная фаза колебаыия.
й 5 При 1=0 радиус-вектор ОМ2 образует с осью Ох угол В. Через 1 секунд радиус-вектор ш повернется на угол вг ы образует с осью Ох р угол в!+В. Следовательно, проекция точки, равномерно движущейся по окружыости радиуса Рис. 59 д с угловой скоростью в, совершает гармонические колебания с амплитудой Д н начальной фазой В. Время Т, в течение которого точка Р пройдет через все свои фазы, а точка М совершит один полный оборот по окружности, называется лериодом 175 гармонического колебания, т. е, Т есть период функции у=лап(ас+В).
Так как точка Р за время Т совершает один полный оборот, т. е. описывает дугу 2я радиан, то за единицу времеви она опишет угол е, равный 2к/Т радиан; поэтому угловая скорость е=2к/Т. (9.81) Отсюда следует, что Т= 2л/а. (9.82) Величина, обратная периоду колебания Т, т. е. 1/Т=е/(2л), называется часшошай колебания. Частота' колебания показывает число колебаний и, совершаемых алочкой в секунду: (9.83) Т= 1/и. 290. Составить уравнение гармонического колебания, если амплитуда равна 10, период равен 0,5 с, а начальная фаза равна 1,5. О По формуле (9 81) находим а= ?к/05 =4к. Подставляя Я= 10, 8= 1,5, е=4л в равенство (9.80), получим у=10ап(4лг+1,5). ° 291.
Найти период, амплнтуду и начальную фазу следующих функций: х сск 1) у=Ззш 2х — р 2) у= — Зяп-; 3) у=сов — — 2х . О 1) Здесь К=З, е=2, В= — к/6. Период Т находим из соотношения (9.82), т. е. Т=2л/2=л. 2) Здесь Я=! — 3!=3, се=1/3, Т 2к: (1/3)=бл. Для вычисления началь. /х иой фазы запишем данную функцию в виде у=Зал -+к, откуда О=л. (,3 3) Преобразуем данную функцию следующим образом: у=сок — 2х = Г 4 =зш — ~ — 2«~~ =в!о~2«+-), откуда В=к/4, А=1, а=2, Т=2к/2=л.
° 292. Составьте уравнение гармонического колебания, если амплитуда равна 5, частота колебания равна 3, а начальная фаза равна 0,8. 293. Найдите период, амплитуду и начальную фазу следующих функций: 1) у=2з(п~ Зх+-1; 2) у=-з(п~ тсх — -); 3) у=зш(х-5). 3)' 3 ( 4)' 294. Материальная точка массы т совершает простое гармосгк кт ническое колебание по закону к= 5 яп( -г+-). Найдите силу Г, под (3 6) действием которой точка совершает это движение в момент 1=0. 295. приведите к виду )? згп(вс+0) выражения: 1) 12зсп21+ +5соз21; 2) 8зш(5х+к/6) — 15соз(5х+л/б) (см.
задачу 235). ~ Иногда частотой называют величину е. Она выражает число колебаний, совершаемых точкой Р в течение 2к секунд. 176 296. Найдите амплитуду и начальную фазу сумм следующих гармонических колебаний: 1) у,=Зяп(с/2) и у,=5згп(с/2); 2) у,= =2яп21 и уев - 2з1п(21+к/3); 3) у„= с/2яп51 и уз —— . г2соз51. В 28. ОСНОВНЫЕ СВОЙСПЗА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИ Й 297. Найти области определения функций: 1) у=1/зшх; 2) у= =1/(1 — созх); 3) у=г84х; 4) у=!/сгбх. О 1) з!п«ФО, х~гй; 2) 1 — соз«~0, сое«~1, хе2л/с; 3 4«~л/2+л/с, «+л/В+л/с/4; 4) сСВ«РО, х~к/2+л/с, кРоме того, хгсл/с, следовательно, х~л/с/2. ° 298. При каких значениях аргумента принимают наибольшее и наименьшее значения функции: 1) у=2япЗх; 2) у=(1/2)соз2х? О 1) Имеем япЗх=1, Зх=к/2+2к/с, значит, при х=л/6+2л/с/3 функция принимает и наибольшее значение, равное 2.
Аналогично, япЗх= — 1, Зх= — к/2+2к/с, т, е, при х= — к/6+2~й/3, функция принимает наименьшее значение, равное — 2. = /с 2) Имеем сов 2х=1, 2«=2л/с т. е. прн х=к функция принимает на ольш иб льшее значение, равное 1/2. Аналогично, сос,2х= —, = ( ), при х=(к/2) (2/с-~-1) функция принимает наименьшее значение, рав у ие, ное — 1/2. ° 299. Найдите области определения функций: 1) у=1/зшх'; 2) у= =сйх/з!пх; 3) у=них/18х; 4) у=сг83х; 5) у=(1+яцх)/созх. 300.
Найдите области определения функций: 1) у=сйхссйх; 2) у=созх+сгйх; 3) у=! /(зшх+созх); 4) у=1/(зш'х — япх); 5) у= с!8 х/(з!и х — сов х). 301. При каких значениях аргумента принимают наибольшее и наименьшее значения следующие функции: 1) у=з(п(х-1); 2) у= =сов(гс/4+х); 3) у=Зяп4х; 4) у=(1/2)соз5х7 302. Найдите множества значений функций: 1) у=зш )х); 2) у= =(япх(; 3) у=сов)х(; 4) у=)созх!. 303. В каких границах могут изменяться функции: 1) у=1 — япх; 2) у=З+япх; 3) у=2 — созх; 4) у=5+созх? 304. И еют ли наибольшее и наименьшее значения функции: м 1) у = 18 х; 2) у= ! 18 х !; 3) у = 18 х? 305. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций: 1) у=4+яп(х — л/12); 2) у=б-япзх; 3) у=5-3)зшх!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
