Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1) '~; 2) —,; 3) О 1) По формуле (!1.3) находим 3) Так как х4х=-й(х +1), то 1 2 191 1 х —, =- агс!8- -Ь С. (11.13) х'+аг а а При применении формул (11.3), (11.10) и (11Л1) знак абсолютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение, Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынгегральное выражение. 2. Неносредствеююе ютегрнроваиие.
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представаться следующие глучан: 1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу; 2) данный интеграл после применения свойств Зс н 4с приводится к одному или нескольким табличным интегралам; 3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подыитегральной функцией и применения свойств Зс и 4с приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.
Найти следующие интегралы: 1. ! )5Ых; 2) )бхгИх 3) )4(хг-х+3)йс; 4) 2 (Зх — 1) г сХ»; 5) ~ г(х. х О 1) На основании свойства 4с постоянный множитель 5 выносам за знак интеграла н, используя формулу (11.!), получим (54х= 5 (4х= 5х+ С. 2) Используя свойство 4с и формулу (11.2), получим хз+' бх 4х=б х Их " 6' — +С=2х +С. 2+1 Проверка: 4(2хз+С) бх~ях. Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.
3) Используя свойства Зс и 4е и формулы (11.2) и (11.1), имеем 4(х' — х+3)йх=4 хгг(х — 4 хг(к+12 йх 3 хг 4 =4.— — 4.— Ч.12хЧ-С=-хз — 2хг+12х+ С, 3 2 3 Постояннаа интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную (Сг -Сг+Сз С). 190 О Используя формулу (1!.2), находим: -з+~ х-з !),— 4,=- =- — +С=- —, -С; — 4+1 — 3 Зх 2) — =~х гггйх= =2х'"+С 2,/х+С. Ф lх 1!2+ ! за Гй — =3~ — =3 1п !х! +С. х ~ х 2) Так как 4х=4(1+х), то 4* Г4(!+ х) — — =1п !1+х! + С 1+х | 1+х | хйх 1 Г4(ха+1) 1 =-!п(х + !)+С, хг+1 2~ хг+1 2 Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение хг+1>0, ° 4. 1) )2*сХ»; 2) )2мхг(х; 3) )е з"'хг)х.
О 1) По формуле (11.4) при а 2 получим 2* 2*Их= — + С. !п2 2) Так как хг!х=(1/2)г((хг), то | ! г 1 Г г 1 2 2 2*'хйх= 2*'.— 4(х')=- 2*'4(хг)=- — +С= — +С. 2 2~ 2 1п2 !п2 3) Так как хйх= — (1!6)4(-3хг), то з 3 » ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | е з" хг!х= — — е з"~е(-Зхг)= — -е э*~+С.
й! 6 5. 1) )я!п(ах+Ь)гух; 2) )соя(5х — 3)с(х; 3) 1(ахИх. 4) )соз(2-Зх)И»; 5) )хзсозхзс/х. !Зппх-1' !2 — созх' (3+2ппх 23 1) з ' 2) г ' 3) Нх ( х4» 4) ( з1пз(Зх+2)' ) з1пз хз - |~ '|;. '|,; '|, э/ »/,„/ 9хз 26. 1) — „2) „. 3) „4) б 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Отыскание функции по заданной производной или по дифференциалу— задача неопределенная, так как ! /(»)4» означает множество первообразных функций вида у=г"(х) +С, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым С; С может принимать любые числовые значения, если на перво- образную функцию не наложено никаких начальных условий.
Чтобы из множества первообразных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия. Под начальными условиями понимается задание частных значений х и у для первообразной функции у=г"(х) + С, по которым находится определенное значение С, удовлетворяющее этим начальным условиям.
27. Найти функцию, производная которой у'=Зхз-бх+2. С Имеем у'=Зхз-бх+2, или — =Зхз — бх+2, т. е. ~/у=(3»з — бх+2) 4». 4» Находим интегралы от левой и правой частей последнего равенства: ) ау = ! (3» з - 6»+ 2) ~й; у+ С1 — — хз — Зх з + 2»+ Сь Полагая Сз-С,=С, получим у=хз-Зхз+2х+С. Мы нашли общее выражение функций, имеющих своей производной у'=Зх —,6»+2. В дальнейшем при интегрированяи подобных выражений постоянную интегрирования будем писать только в правой части.
° 28. Найти функцию, производная которой у'=2х — 3, если при х=2 эта функция принимает значение, равное б. су (3 Имеем у'=2х — 3, или — =2х-З, т. е. 4у=(2» — 3) Н». Интегрируя обе Их части последнего равенства, находим (Ыу=!(2»-3)4»; у=ха — Зх+С. Вычислим С прн заданных значениях х=2 и у=б. Подставив в выражение для функции этн значения, получим 6 =2з-3 2+ С, откуда С=8. Итак, функция, удовлетворяющая заданным начальным условиям, имеет внл у ха — 3»+ 8. ° 29.
Найти | (соз х — згп х) Их, если при х= я/2 значение первообразной функции равно б. О Имеем ) (соз х — пп х) Их=) соз х 4» — ) пп х Ых= зш х+ сох х+ С. Вычислим С при заданных начальных условиях: б=з/п(я/2) +соя(п/2) +С, откуда С=5. Следовательно, первообразная функции у=них+созх+5. 41 30. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (х; у) равеы 2х. яу (3 Согласно условию, я=2».
Известно, что к=!Оп»» —; следовательно, пг' ~Гу — =2х, т.е. Ыу=2»4». Интегрируя, получим )су=) 2»4»; у=х +С. 3 Ы» Мы нашли совокупность (семейство) кривых, лля которых угловой коэффициент касательной в любой точке я»! равен 2х. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=О получим параболу у=хз с вершиной в начале координат, при С= 1 †парабо у=ха+1 с вершиной в точке (О; 1), при С= -2 — параболу у=ха — 2 с вершиной в точке (О; -2) и т.
д. (рис. 66). ° 31. Составить уравнение линии, если угловой козффицнеыт касательной в любой точке касания равен у/х. 0 Согласно условию, /г=-; так как у х /у ду у Й= —, то — =-, откуда, разделив перемен- И» 4» х иые, имеем — = —. Интегрируя, находим у х Рис. 66 | /у 1'4 — — !пу=!их+!и С у ~ х Произвольную постоянную полагаем равной Ь С для удобства упрощений. Потенцируа, получим у= Сх — уравнение семейств прямых, проходящих через начало координат. Ф 32. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (О; 1), у которой касательная в любой точке кривой имеет угловой козффициеыт, равный ордннате точки касания.
4У яу 0 Согласно условию, имеем /г = — у, т. е. — =4». Интегрируя, получим 4» — =~ г/х; !пу=х+С. 4У /' у Из начальных условий находим 1п! =О+ С, т. е. С=О; следовательно, у=с*. ° 13» 195 33. Найдите функцию: 1) пронзводная которой у'=4хз — 2х+3; 2) дифференциал которой Ау=(2х+б)Ых. 34. Найдите функцию: 1) производная которой у'=2х — 5, если при х= — 3 зта функция принимает значение, равное 28; 2) обращаюгцуюся в нуль при х=0, если у'=Зх' — 4х+5; 3) производная которой у'=Зе*+2х, если при х=0 эта функция принимает значение, равное 8. 33.
Найдите: 1) |(з(пх+Зсозх)г(х, если при х=п первообразная функция равна 4; 2) ) (сох х-е" +2х) г/х, если при х=0 первообразная функция равна 3. 36. Найдите уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (х; у) равен: 1) -Зх; 2) х+2. 37.
Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке ранен: 1) — у/х; 2) х/39 3) — х/у. 38. Найдите уравнение кривой, проходящей через начало координат, если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен х/3. 39. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М(1; 4), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен Зхз — 2х, 40. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку А(-1; 3), если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен утроенному квадрату абсциссы точки касания.
41. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (О; е), если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке равен у. 8 3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 42. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону е=Згз-21. Найти закон ее движения.
С! Известно, что скорость прямолинейного движения точки равна производной от пути а по времени 6 т. е. и= — =3! — 26 откуда Аг=(31,— з 41 -2г) Аь Интегрируя, находим )4з=)(З!' — 21)40 г=!'-1'+С. й! 43. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону е=Згз+4. Найти закон движения з, если за время г 2 с точка прошла 20 м. 0 Так как а= — =3! +4, то Аг=(3! +4)46 Интегрируя, получим 2 2 4! ) 4г=) (3!я+4) й; а=!а+41+ С Используя начальные условия, найдем 20=2з+4 2-1-С, т, е, С=4. Итак, закон движения точки имеет вид г=г'+41+4. ° 196 44. Найти закон движения свободно падающего тела прн постоянном ускорении 8, если в начальный момент движения тело находилось в покое.
0 Известно, что ускорение а прямолинейно движущегося тела есть вторая производная пути г по времени ! или производная от скорасти а по ,1г ,! г „ .,ени б т. е. а= †= †. Так как а=я. то †-я, откуд — а й= 46 Интегрируя, получим а=8!-ь Сь а=о, имеем О=я О+С„т. е. С~=О, тела изменяется по закону а=як Аг аз тела.
Так как а= —, то — =яд или 41' й ) аа=) я40 Используя начальные условия 1=О, Таким образом, скорость движения Найдем теперь закон движения гЬ=я!46 Интегрируя, получим 4г= я!40 я= — + Сз. 2 Используя начальные условия !=о, а=о, имеем О=я.оз/2+Сг Сз=о. Итак, з закон движения падающего тела имеет анп я=я! /2. ° 43. Точка движется прямолинейно с ускорением а=61 — 12. В момент времени 1=0 (начало отсчета) начальная скорость па=9 м/с; расстояние от начала отсчета яа —- 10 м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
