Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 31
Текст из файла (страница 31)
й! л! 227. Решить уравнении: 1) аш4х=зшЗх; 2) со55х=сок х-- с! 3) созх=зшЗх; 4) 185х=1йх. О Воспользуемся условиями равенства ощсоамевиых тригонометрических функций: Г 4х+Зх=(2/с+ 1) л, 1) (яп4х=япЗх) «» '«» ~4х — Зх 2сй Г7х=(28+11 „ к Ответ: (28+1)-; 2/ск.
~ х =2к/с. 7' 5х+ х — = 2я/с, кЯ 4 2) СО55Х=С05 Х-- «» 4)) к «» 5х — х+-=2л/с 4 л бхт-+2сй„ 4 4х»« — + 2к/с. 4 Ответ: — (8/с+ 1); — (85-1). 24 ' 16 /к 'с'с Гх+к/2-Зх 2л/с, 3) (созх=яп Зх)«» сося=сов( — Зх)) «»~ ( 2 )) ( х-л/2+Зх=2сй «» Отеет: -(4/с+1); -(4/с+1).
Г -2х Ьй — к/2, л ~ 4х = 2л/с+ к/2. 4 8 4) (5х-х к/с)«»(4х сй)«»(х=сй/4). 165 2) Преобразуем в произведение сумму двух первых слагаемых (можво б двух слагаемых), а третье слагаемое преобразуем по формуле удвоенного аргумента: Зх х , Зх Зх 5!и х+ яп 2х+яп Зх = 2 яп — соз-+ 2 яп — сос — = 2 2 2 2 Из множества решеынй надо исключить те значеыня аргумеыта х, прн которых левая н правая части уравыеныя не существуют, т. е. значения вида л/2(2/с+1). В множестве х=сй/4=(л/2) (/с/2) такие ьначеыыя получаются, если /с/2 — нечетное число: /с/2= 2л+ 1, т.
е. /с = 4н+ 2. Следовательно, уравнению удовлетворяет множество' ворней вида сй/4 прн /сФ4л+2. 4Р Преобразуйте в произведение: 228. 1) сов(л/3)-сов(2л/3); 2) соз(1 — Ипа; 3) 2соз'и — ьш2а; 4) сов20'+зш50'! 5) !025' — с!Е75'! 6) зш'5и-яп Зи. 229. 1) з!писоз0+25!пь(и/2)зшР; 2) зсп10 +2зш5'соз15'+ +сов 50'. 230. !) зп116'+вш26' — вш42', 2) ЯпА+ЯпВ+Яп(А+В)/2; 3) яп(и/2)-зш(Зи/2)+сова; 4) япА+созВ+созС, где А+В+С=л; 5) всп25 +зш37'+вш27'+зш35'. 231. Покажите, что для углов А, В н С всякого треугольника имеют место соотношения: А .
В С 1) апА+в!п — яп С=4яп — зсп — сов —; 2 2 2' А В С 2) 1 — созА+созВ+совС=4вш — сов — соз —; 2 2 2' зспА+51пВ+япС А В =о!Š— с! —; 5!ПА+зш — 51ПС 2 2 4) !ЕА+!ЕВ+!ЕС=!ВА!ЕВ!ЕС. 232. Докажите тождества: а, л (л аь 1 1+вши+сови=4сов-вш — соз( — -); 2 4 (4 2)' г-. а (л а25 2) з!пи+сова — 1=2 ~25!и-соз~ -+-); 2 (4 2)' 3) 2совьа+сони — 1=2сов(Зи/2)сов(а/2). 233. Решите уравнения: (л 1) з!п5х=сов~ --7х(1, 2) сгй~ — х(1=-!Е~--2х; 3) соь( — х) — сов( -+х)=0; 4) соз(х — 70')-вш(х+70')=0: !6 ) [6 в 21.
ПРЕОБРАЗОВАНИИ С ПОМОЩЬЮ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА Данное число а можно рассматривать как значеняе трнгоыометрнческой фунхцан от некоторого аргумента, называемого вслемогаснельным углом, так как прн любом значенны а ымеет место равенство !я(асс!за)=а н прн !а!<! — Равенства яп(агсяпа)=а н сеч(ашсоза) а. Это позволяет представлать алгебраическую сумму любых двух чисел как алгебраическую сумму значеынй трнгонометрнческнх фушщнй, а следовательно, прыменять 166 формулы преобразования алгебранческой суммы трытонометрнчеекнх функ- цнй в провзведенне. 234, Преобразовать в произведение с помощью введения вспомо 3 4сов'а-1' гательного аргумента 1) „/2вши+1 2) /3+!Еи 3) 4сов а-1, 4) и+Ь; 5) аь+Ьз. О !) /25!па+1= /2 япа+ — ~= /2(япа+яп- 2 2'(- -) ( — -)', яп -+а 2яп -+а 2),(З+сйа=!вы Ьгяа= соь-сова 3 3) 4созьа-1=4 созьа — — =4 соьа+- соьа— 2)! =4 воза+''53 ом'-'053 =4'25'5 2+ ИФ 2 6 2я'" 2+6 х ь!и — — 45!а~а+- яп — -а; 6 2 (2 3) 13 е51п +42 Ы 4) д-с-Ь=е !+-)=е(!+СВ42)=е !й +СВ42) сеь- сеь 42 4 (л Е,/~51П -+Я 14 , где ср=агсск-.
Сез ф е 5), +Ь „1~!+ = '(!+!а'В)= —,. тле Я= «!й- ® =Е, —,ь)- -со,ь,р а 235. Преобразовать в произведение 4в)па+Зсози. О Предетавым данное выражение следующям образом: г 451п а+3 еоьа (41+32 (41Ч Зь 41+35 = 5 ((4/5) зш а+ (3/5) соь а). Так как (4/5)ь+(3/5)5=1, то можно найти такой угол ср, что 4/5 соьср, 3/5=нпср. Тогда 45!н а+3 сова=5(яп асов ср+янсрсоза) 55ш(и+Ч2), где !яср нпср/сов ср 3/4. Итак, 4 яп а+ 3 сова= 5 ап(а+асс!в(З/4)). ф !67 236.
Методом введения вспомогательного аргумента решить тригонометрическое уравнение зш х+ / 3 сов х= 2. О Преобразуем в произведение левую часть даыного уравнения; ,/3 »"*~ 22 * 21-» *» — * -2 ,' ) 2 ) (, 3 3 л! =2в!и х+- 3) Таким образом, яп х+- =1»ь х+-=-+22й ч» х= — -+22й чь я чья=-+22й. Ф 6 Преобразуйте в произведение с помощью введения вспомогательного аргумента: 237.
1) 0,5+сова; 2) 1-2сова; 3) 1-2япа; 4) 1+2зша; 5) 1+!Еа; 6) 1-18'а; 7) 1 — с!8'а; 8) /3+2сова; 9) зш'гх-0,75; 10) 1 — /2в!Па; 11) (а — Ь)/(а+/2). 238. 1),„аяша — сова; 2) 4з!Па-Зсоза; 3) 2япа — /5сова, 239, Решите уравнения: 1) /Запх-совх=!; 2) /Запх+ +совх=2; 3) в!их+ /Зсозх= /3. 8 22. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 240. Преобразуйте в суммы тригонометрических функций первой степени следующие произведения: а . За а, 5а 1) 4сов-совпал —; 2) 4сов-совая!ив 2 2' 2 2' а 5а 3) 4сов-созасов —.
2 2 241. Упростите путем преобразования в суммы следующие произведения: 1) в)п20'з!п40'зш60'в!п80'; 2) 1820'1840'1860'!880'. 242. Преобразуйте в произведение: 1) вша+вш2а+ап4а+яп5а; 2) вшЗа+вш2а+2вш — соз-. 2 2 243. Решите уравнения: 1) вгп х+3 соз х 1! 2) ап х+- в!п х Докажите тождества: 168 244. 1) зш'асоза=(1/4Нсова-созЗа); 2) в)пвасова=(1/8)(2ап2а — вгп4а); 3) вш'асовза=(1/16)(2соза — совЗа — сов5а), 4) вшз асов' а=(1/32)(3 ап 2а — вш ба). 245.
1) 4вшаз)п2аап За=зш 2а+вш4а-зш ба; 2) 4з!паз!П()сов(а+!3)=сов2а+сов2!3-сов2(а+!3) — 1; 3) з!п~-+а)в!п~- — а)сов2а=-+-соз4а. в!о а — в2П 2а — в2П 4а+ в»п 52» 246. 1) =18 За; сова-сов 2а — сов4а+сов 5а в!и а+ вт За+ в!и 5а+ яп 7а 2) =с!ба; сова-сов За+ сов 5а-сов 7а яп80'-в!п70' сов20 -сов 50 3) в!и 29 -в!п 19' сов 31'+в!и !1' 4) (сова+сов(а/2))*-(в!па+в!п(а/2))' — с!8(а/4); яп2а-в1па 1 1 2сов(а-13) яп (а — (3) я+.! ! ! япяа яп 8 япаяп(3 япяав!п (3 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант П вариант 1) Упростите в!п 87' — в2п 59' — в!и 93*+ яп 61'.
8 23. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. япх ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ вЂ” ПРИ х- 0 х При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется предел отношеыия синуса луги к самой дуге: 169 2) Докажите тождество яп 1О' яп 20 яп 70' яп 80' = =(1/4) сов 50 сов 70'. 3) Докаясите тождество 1+ила+сова= а !я а»3 =2 (2сов-сов( — — ~, 4) Решите уравыение яп 3х+ яп х = 2 яп 2». 5) Решите уравнение в!и 2» = сов х — сов Зх.
1) Упростите сов 65'+ /3 в!и 5'+ в!и 85'. 2) Докажите тождество сов 10' яп 20' сов 70' бп 80' = =сов!!0 и!и!20'. 3) Докажите тождество 1+ яп а-сов а = а /я а3 =2 ~2в!и-сов~ — -). 4) Решите уравыенне $2п х — соз х=в!п2х 5) Решите ураввеыне сов х — в!и х = /2 яп 2х. 51п х х Ипг — =1 или Ие —,=1. -о х к ОЯПХ (9.71) Вычислить пределы; 5) П соох-сов Зх к 0 ОЕ Х . 51П Х 252. 1) 1пп —.; 2) 1пп —,. о " * о яп Зх+япх 3) 1нп ) яп2хяпх 2) !нп 2) 1 51П 2х сов х созх-1 .
Япх — !Вх к 0 соо х, я/2- х 255. 1) 1гш —; 2) !пп ,„„/гк/2-х', „/г стих ' х Пезех=!'0=0. о 25б. 1) 1пв; 2) 1(ш —. агов п 25 . агс!В 5х к 0 75 «О сЗ х . агсзе Зх „„р х-15/2' о 2х сгбх, сгВ(я/2+у) к «/2 и Г 0 У х— 2 г-о У Тогда получим 170 созгх 247 1) )ггв . 1 2) )шг 3) (пв 4) (шг к -кд1+згпгх о Зх ' гг О !) Очевидно, что при х-4 — я/2 числитель ы знаменатель дроби стремятся к нулю.
Разложив числитель ы знаменатель на мноиители и сократыв дробь на 1+5!их, получим СО5 Х 1-5!П Х Ие к к/21+51П х к -к/г(1+5!ПХ)(1 — ЯПХ+ЯП х) !нп 1 — 5(пх 1 — 51п(-я/2) 1+1 2 к -к/г 1-51пх+51п х 1-5е(-Я/2)+5гп (-и/2) 1+1+1 3 2) Преобразуя щданное вырпкгние н используя соотноееные (9.71), получки яп4х, 4яп4» 4яп4х 4, яп4х 4 4 Пе — =!пп — Ие — =- 1ип — =- 1=-. «о Зх «о43х «034х 34«о 4х 3 3 5!и'2», /гяп2»ггг !, 5!пух'г г 3) !пп — =Ие~ — ) =8~ Пе — ) =В 1=В, г' о(, 5 ) 1,г,-о 25 4) Ие — г= Ие — г.
Яп х = Ие — 5!п х = Ие — х 5) Преобразовав разность косинусов в произведение, получим соох-сов 3», яп2хяпх яп2х, 1пп 21пп 4 Ие — 1ппяпх=4 1 0=0. ° , о к о х г*о 2к о О 1) Введем подстановку х — я/2=у, тогда х=я/2+у, если х- к/2, то у- О. Следовательно, 51ПУ . 1 = — 1пп — Ие — = — 1 1= — 1. г о У г осозУ 2) Полагая агс51пЗх=а, имеем япа=Зх. Произведем преобразоваинв: агсяпЗх 'Запи(пЗх 3 а 2х 2.3х 2 япа аггл!ПЗХ, /3 а ~ 3, а 3 3 !пп =1пп ~ — —,)=-Ие — = — 1=-. Ф к о 2х к О~2 япа) 2« Ояпа 2 2 Вычислите пределы: .
г 249. 1) Ьп е; 2) Иш к 1 +С05Х /4 !ВХ 1 кд С!В» к ОЧ/7 — ГВХ вЂ” 1 Зх, 5а, 5!п'(х/4), Япз Зг 251. 1) 1Пв —; 2) 1гш — ' 3) 1нп г; 4) 1пв — з , 051П2» „Осоза, о х, О г 51П2х+яп4х . со52» — созх 4) Пш к 0 Х к О В 24. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Формулы дифференцыроваыия Найти производные следуюпвик функпий: 257. 1) /'(х)= ~~; вычислить /'(к/4); 2) /'(х)= —; вы1+вглх !ях числить /'(к/3). р Н По формулам (7.5) и (9.72а) получим /'(х)— (1-5!л х)'(1+5!л х)-(! +ад х)'(! — в!л х) (1+в!пх)3 — сов х(1+ 5!л х) — сов х(1 — 5!л х) 2 сов х (1 + 5!л х) (1+51л х)3' 2сов(я/4) / 2 (!+лл(л/4)) (!+ /2/2)3 2) По формулам (7.5) и (9.74а) получим 1 1 1 — 1К х — (!я х — !) — (1В х — 1я х+ !) СО5 Х Сев Х сова х 1 /'(х) 1а' х 1явх 5!лвх 1 4 ,/'(а/3)= ., =-.
ф~ 51П (а/3) 3 258, у=вш(2х'+3); 2) у=в(палвх. О 1) Полагая 2хв+З=и, получим у=или. По формуле (9.72) находим у'=сова ° и'=сов(23'+3)(233+3)'=сов(2ха+3) 4х=4хсов(2хв+3). 2) Полагая льх=и, получим у вл33и. Применяя последовательно формулы (7ЛО) и (9.72), получим у' 35!лвл(вл3и)'=Зблвисови и'=Зв!л'лвхсовех(3лх)'= =35!и ехсо53лх.3л=33лв!и 3лхсовтх, ° ! Найдите производные следующих функций: алх — 1 259. 1) у(х)= —,; вычислите /'(к/3); 2) у=х*+зшх; 3) у= лл х =х зшх. 268. 1) у= 1пЗ 2) /(х)= 1п(4 -1); 3) =йпг; 4) /(8)= (п(8/2); вычислите /'(к/21. 261, 1) у=вш х; 2) г=вш355рз; 3) у=1/в!пх; 4) у=1/апЗх.
262. 1) У(3)=,,/зшП 2) у=,~ в(п2х; 3) у=1/ /ыпух: 263, 1) /(х) =; вычислите /'(к/4); 2) /(х) =; вычислите у'(к/3); 3) у=2вшх — совх+3; 4) /'(х)=2вшх-2созх; вычислите /'(к/6). 264. 1) /(1)=в(пвсовц 2) /(х)=з!пх(! — созх); 3) у=хсозх; 4) /(х) = соз х(14-5(п х). 265, 1) у=созхв; 2) у=сов(1/хв); 3) у=сов'х; 4) у=1/сов2х; 5) у=1/совах, 266. 1) у= /соз2х; 2) у=1/ /созда. 172 267. 1) у=(1 — сов2х)з(п2х; 2) у=,; 3) /(х)=совзхйпх; 1+сов'х' вычислите /'(к/3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
