Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. тождество доказано. 2) Упрощаем правую часть равенства: 18 а+ 18 О 18 а — 18 О 18' и — 18с (! 18(а+0)18(а 0)- 2 з ' Ф ! — 18и18)5 1418и180 ! 18зислз(3' 176. Решить уравнения: 1) вш2хсовх+сов2хв)их=О; !8 к+1 2) вш(к/4+х)+сов(х-и/4)=0; 3) =1. О 1) Используя формулу (9.34), получим (яп2хсовх+сов2хвпх=О)чУ(в!п(2х+х)=0)ч/У(в!и Зх+0)чУ(3х я/с)чьх=)й/3. 2) По формулам (9.34) и (9.37) получим вп(к/4)совх+сов(л/4)впх+совхсов(я/4)+во хвп(к/4)=0. Сократив аа вп(к/4)(яп(л/4) сов(л/4Ц и приведя подобиые члены, приводим к уравнению 2япх+2совх=О, т. е.
впх+совх=О. При условии, совхсвб имеем 18х=-1; х=-к/4+гй. 3) Имеем — =! 18х+1 ') / Сйх+18(к/4) = 1)ес(18(х+ л/4) = 1)еУ(х+ к/4 = к/4+ )й )сэ ! — 18х ! — 18х!8(к/4) /) чух )й. 177. Вычислите, не применяя таблип, значения синуса и косинуса дуг л/12, 5п/12 и 7п/!2(п/12=и/3-п/4; 5п/!2=к/6+и/4, 7п/12= = и/4+ и/3).
Вычислите: 178. 1) яп(а+(1) и вгп(а-)5), если сова=4/5, в1п()=-3/5, Зк/2са<2к, пср<Зк/2; 2) сов(а+р) и сов(а-р), если в!па=8/17 и сов(1=3/5, к/2<а<к и Зп/2<р<2п. 3) вгп(л/4+а) и сов(п/4+а), если !ба= -3/4, и/2<а<п. !53 179. сов(атосов(1/7)-атосов(11/14)); 2) вш(агсяп(5/13)+агсип х х (12/13)); 3) 18(асс!к(2/3) — агсгк (1/3)); 4) с!К(агссСК 5- агссгк(1/5)). 180. 1) СК(к/12); 2) Ск(5гс/12); 3) Ск(ул/12); 4) ! — СК(л/!5) СК(4л/!5)' 5) сск(к/4+и), если вши= — 1/2 и л<а<Зк/2. 181. Упростите: 1) сов(к/4)сов(л/6)-з(п(к/4)в!п(к/6); 2) з!п(к/З)сов(к/4)-сов х х(к/3~в!и(к/4); 3) всп(а+Р)-в!п(а-Р)! 4) сов(к/3+а)сов(к/3-а)— -соя а; лу- 2всп(к/4+а)вш(к/4-сс)+в(пасс; 6) всп2а-сов2а(ки; 7) 1+ СК (л/4 — а) ! -ск(л/4 — и) 182. Докажите тождества: 1) всп(а+ Р) зсп(и — Р) = з!пг и — з!пг~; 2) сов(и+Ясов(и-Р)=созга — з!и Р; 3) сов — — а =-(сова+ /Зв!па); сСЗ 2 4) яп — +а) =- -(если+сова).
183, Решите уравнения: 1) яп2хсовх=соз2хзспх; 2) 8зш х х(к/6-х)-Зсовх О! 3) 5всп(л/3+х)+7яп(гс/З-х)=0. 6 15. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ Вычислите: 184. 1) сов(и+Р) и сов(а,-Р), если сова=3/5 и совР=7/25, 0<а<л/2 и 0<Р<л/2; 2) вш(а-Р) и соз(и-Р), если яви= — 4/5 и созР=-24/25, к<и<Зк/2, к<Р<Зк/2. 185. 1) СК(а — 45'), если сСКа=2/3; 2) сСК(а-45'), если !Ей=3/2.
186. Упростите: 1) вш(к/12)+сов(л/12); 2) зспг (сс- Р)+в!пг Р+ +2яп(а-Р)совазш Докажите тождества: 187. 1) всп(к/6+а)+яп(к/6-и)=сова; 2) сов'а+совг(л/3+а)+созг(к/3-а)=3/2; соз а+ вгп й сова — з!и и Ск(л/4+ а) — СК(л/4-а) СК(л/4+ й)+ Ск (л/4-й) 188 1) !"(+Р)+!"(-Р) 2шзгиеоз'Р с г,+! гР.
еоз (а+Р)+сов (й — Р) 1 г 2згп'азгпг Р ск(а — Р)+ !кР сов(а+Р) ск(а — Р) — скР еоз(а — Р)' 4) (ск и*!к Р) сск (й+ Р) + (ск и — ск Р) с!к (а — Р) = 2; 5) + ски+скР ска-скР ск(а+Р) ск( -Р) .189. 1) з!п(и+~3+у)=в!п(и+Р)сову+сов(а+Р)в!пу; 2) сов(а+Р+у)=сов(и+Р)сову-вш(и+Р) з!пу! 3),, +,, +,, =О. яп(а-/3) з!п(Р-7) яп(у-а) япаяп(3 япРяпт яп7япй 190.
1) сов15 + /Зяп15 =,,/2. 2) сов 59'сов79'+совЗГсов!1'+сов20'=2 сов20'; 3)..., .=с825'! яп40'соз !5'-сов40'яп !5' соз !5'воз 10' — згп !5'яп !О' соз !!5'яп 305'+яп35'воз 25' г- 4) еоз 160' яп 230'-сов 70' яп 40' 191, Решите уравнения: !) сов2хсовх=зш2хяпх; Зх х 2) сов~-+2х~сов~~- — 2х)=-сов'2х; 3) соз — =сов-совх.. 14 ) 14 ) 2 ' 2 2 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 5) Решите уравнение 2яп — х — яп — +х =О. 8 !6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УДВОЕННОГО АРГУМЕНТА Формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента позволяют выразить функции аргумента 2а через функции аргумента и: яп 2а = 2 яп а сов и; (9.423 сов 2а = сов г и — япг а; (9.43) 2ски л л тй г ' й' +лс' и~ + 1 — Сага' 2 ' 4 2' сСК2а=, игс —.
ескг й ! лсс (9.453 2сСКи ' 2 Иг формулы (9.43) легко получаются следующие соотношения; 1 вариант !) Вычяслате еоз(а+ Р), если япа= — !5/!7, созР=8/!7, к<а< <Зл/2 н Зл/2<Р<2л. 2) Вычислите яп (агсяп (12/! 3)— — агссоз (! 5/! 7)). 33 Докажате тождество в!п(а — Р) сов 0+воз(й — Р) зггг Р сксс. соз(й-Р)сов 0-яп(и — Р)яп Р 4) Докажите тождество ски!к Р+(!к и+!к 9)йк(а+Р)= !. П вариант 13 Вычислите яп(а — Р), если сова=3/5, совР= — 7/25, Зл/2<и< <2л н к<Р<Зл/2.
23 Вычнслвте соз(агсяп(!5/!7)+ + атосов ( — ! 2/13)). 33 Докажите тождество в!и (л/4+и) — соз (л/4+и) = !кй. всл (к/4+ а) + воз (л/4+ а) 4) Докажате тождество 8СКа ск (к/3+ й) — ск (л/3 — а) = ! — Зск а 5) Решите уравнение япхяп Зх+соз4х=б. !55 сое2а=2соег и-1; (9.43а) сов 2а = 1- 2 е1п' а. (9.43б) 192. Вычислить: 1) в!п2и, если сова=4/5 и Зл/2<и<2л; 2) сов2и, если сова=-0,2 и л/2<се<к; 3) 182сс, если !Еи=З/4 и гс<а<Зл/2.
О !) Находим е!па= — (!-(4/5)г= — 3/5. По формуле (942) получим ап2а=2 ( — 3/5) (4/5)=-24!25. 2) По формуле (9.43а) находим сое2сс=2(-0,2) -1=-0,92. 3) По формуле (9 44) находим ей 2сс =, = 3-, йг 2.(З/4) 3 ! — (3/4)' 7 193. Выразить: 1) вшЗсс через апсс; 2) совЗсс через совсс.
О !) поза=в!п(2а+и)=ап2асоеи+сов2аапа=2апасовсоеа+ + (1 -2 яп' а) ап а = 2 яп а сое' а+ яп а- 2 яп' а = 2 яп и(! - вш' а) + яп ив — 2апга=2апа — 2япга+е!па — 2япеа=зала — 4яп а; 2) соеЗа=сов(2а+а)=сов2асоеа — ап2ав!па=(2совг а — 1)соеа— — 2апасоеав!па 2сов а-соеа-2апгасоеа=2соега-соеа— — 2(1-созга)соеа=2сов'и-сова — 2сова+2совеа=4соееа — Зсоеи.
ВЕ Вычислите: 1Ж ап2сг, сов2и к 182и, если: 1) ааиее — З(5 и л<а<Зл(2; 2) сова=5/13 и Зл/2<а<2л; 3) !Еи= — 3/4 и л/2<а<к. 195. 1) ссбг, если 18(г/2)=5/3; 2) вшЗи, совЗи и !83и, если ап(Зи/2)=-5/13 и л<сс<Зсс/2; 3) сов4х и !84х, если !Ех=1/5 и л<х<Зл/2. 196. Найдите числовые значения выражений; 1) вш2и/(2сова), . если сова=-4/5 и л<и<Зл/2; 2) сов2а/вши, если всп и= — 3/5 и Зл(2 < и < 2л.
197. Выразите: 1) всп4а через в(па и сова; 2) сов4и через в!пи и сова; 3) !83и через сба; 4) сов4и через сова; 5) вш5и через апа. 198. Уцростите: 1) 1-2сов 1- — — ); 2) 2совэ (-+ — )-1; 'т4 3)* 14 2) 3) 1-2всп -- —; 4) 2вспг -+- — 1. г4 2)' (4 2) 199.
Докажите тождества: 1) 2вшэи+соа2и=1; 2) 1+сов2и=2сов'и; 1+сов 2а г ап 2и-есп а =с!8 и; 4) =!ба; 1-сое2и 1-соеа+сое2а 5) совеа+в(пеа=1-0,5вшг2а; 6) сове а+ вспе и = 1-0,75 апг 2и; 1+ап2а вши+сова апеа+апЗа =осби; сов2а соек — апи сов а-соеЗа 1 — сов2а+ап2а, 2-апеисг82а =!Еа; 10) =182и; !+сое2а+в!п2а ' е!п4а япЗа соеза !+сое2а !+сое4а =с!Еа; в1п а сое а сое 2а яп 4а 156 13) сов4и+4сов2и+3=8совеа. 200. Решите уравнения: 1) ап2х-в1пх=0; 2) в(пх совх=1/2; 3) совгх-вшэх=!. $17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выразить функции аргумента а/2 через функции аргумента а: а 1-сова ап= —.~ 2 г8' 2 а 1+соек сов=- х 2 З/ 2 а /1 — сов а сй-=~ /, аяк(2/с+1); 2 З/!+сова а 1+соек сей-=+, и~2Ы; 2 г!/! — сова (9.46) (9.47) (9.48) (9.49) и его а ей= —, аяк(2(с+!); 2 !+сова' а 1-сова в левой части ияя(2!с+!), сб- —.
2 япа ' в правой части итси(с; а 1+сова в левой части ая2я!с, ссй-= 2 е!па 'в правой части аяк(с; (9.50) (9.51) (9.52) а е!пи сгй-= , и~2яй. 2 1-сое а (9.53) 157 В формулах (9.46) н (9.47) зиах перед корнем определяется по знаку четверти, которой принадлежит дуга и!2.' В формулах (9.48) и (9.49) знак перел корнем берется так, чтобы он совпадал со знаком 18(и!2), т.
е. ставится плюс, есля и/2 — дуга 1 или 1П четверти, и минус, есля и/2 — дуга П или 1У четверти. Вместо формул (9.48) и (9.49) можно применять формулы (9.50) — (9.53), дающие рациональное выражение сй(а/2) через тригонометрические функции аргумента а. В равенствах (9.51) и (9.52) левая и правая части имеют различные области определения. В равенстве (9.51) область определения левой частя авек(2!с+1), а область определения правой части иая!с. В равенстве (9.52) леваа часть определена при а я2к(с, а правая — при а як/с. Применяя формулы (9,5П и (9,52) при решении тригонометрических уравнений, надо учитывать несовпадение'областей определекия этих формул.
Все тригонометрические функции любого аргумента мо:кно выразить через тангенс половины этого аргумента по формулам апи=,, аяк(2(с+!); 2 18(а/2) ! + сйг (и(2)* (9.55) , азвк(И+1); 1 †1(а/2) ! +102(а/2)' 210(а/2) к , й 22 к (2/г+ 1), й 22-+ к/г; 1-102(а/2)' * 2 (9.56) сгва=,, а~к/с. 1 — 102 (й/2) (9.57) 2 20(й/2) 201. Дано: сова 1/2 и п/2<а<к. Вычислпчь ап(й/2), сов(й/2) и 10 (й/2). О 1) По формулам (9.46) н (9.47) находам а /! — !1//2 1, а /1+1/2 /3 2 ч/! 2 2' 2 ~/ 2 2 (перед хорнем в обоих случввх ставим плюс, тва хах нз условна следует, что к/4<а/2<к/21. Двлм, имеем 10(аП)=(1/2);(2/ЗП)=1/,,/3=,2ГЗ/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
