Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Какие множества значений имеют функции яп а, соз а, !Ва н с(йа? 44. Найдите значения а в промежутке 0<а<2л, для которых выполняется равенство: 1) яп а= О; 2) вш а =1; 3) аш а — 1; 4) сова=О; 5) сова=1; 6) сова= — 1. 45. Найдите значения а в промежутке 0<а<2к, для которых выполняется равенство: 1) !Ва=О; 2) !ба=1; 3) !В а= — 1; 4) с!Ва 0; 5) с!В а= 1; 6) с!8 а = — 1. 8 4. ЗНАКИ, ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА ЧЕТНОСТИ И НЕЧЕТНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Функция у=/'(х) называется левшей, если при всех. значениях х н области определения этой функции у(-х)=у(х). Функция у=у" (х) называется нечетной, если при всех значениях х кз области определения этой функщсн у'( — х)= — у'(х).
Свойства четности и нечетности тригонометрических функций выражаются следующими формулами: яп(-а)= -з!и сн! соз( — а)=созе; сй( — а)= — сйа; сс8(-а) = — с!8 а. Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены в табл. Ш. Значения тригонометрических функций некоторых дуг (углов) приведены в табл. 1У. 46. Какие знаки имеют: 1) соз 150'; 2) зш 320'; 3) !В 220'; 4) с!8400'? О !) 90'<150'<180' (П четверть); сов!50'<О; 2) 270'<320'<360' (1Ч четверть); зсп320'<О; 3) !80'<220'<270' (П1 четверть); 18220 >О; 4) 360'<400'<360'+90' (1 четвеРть); с!8400'>О.
Ф 47. Используя единичную окружность, определить знаки разностей: 1) зш (2л/3) — зп! (Зл/4); 2) соз (2л/3) — соз (Зп/4); 3) !8 (2к/3) — ул 13я -!8(Зк/4); 4) с(8(2к/3) — с!8(Зл/4). ~ 4 О !) Сравнивая ордннаты концов дуг 2к/3 н Зк/4, находим яп(2п/3) — з!п(Зл/4)>0 5 (рис.
39). Л(рй/ 2) Сравнивая абсциссы концов дуг 2к/3 и Зп/4, получим сов(2к/3) — соз(Зк/4) >О. 3) Сравнивая ординаты точек иа оси ул тангенсов, имеем 18(2к/3) — 18(Зк/4)<0. !8 л 4) Сравнивая абсциссы точек на оси котангенсов, получим с!В(2к/3)— ! — ссй(Зп/4) >О. Ф 1 ру 48. Упростить: Рнс.
39 1) з!пз( — а) — соз(-а)+!8( — а); 2) зш( — Зп/2)+сов( — к)+ьй( — 2к). О Используя формулы (9.18), (9.19) н '(9.20), получим: 1) япз( — а) — соз( — а)+!8( — а)=( — васс) — соза-сйсс=яп а-созсс — сйа; з 2) з!и( — Зк/2)+ сов( — я)+ 18 ( — 2к) = — зсп (Зк/2)+ сов л — 182л = ! +( — 1)— — О=О, йс 40. В какой четверти может оканчиваться дуга а, если: 1) !!8( — а)1= — !Ва; 2) !с!8( — а)!= — с!Ва; 3) зш( — а)>02 О !) !18( — а)1= — сйсс; — сйа>О,,сйа<О; сс — дуга П нлн 1У четверти; 2) !сс8( — а)!= — ссйсс; — ссйа>0, с!Все<0; а — дуга П нли 1Ч четверти; 3) яп(-а)>О; -з!псс>0; ила<0; сс — дуга Ш или 1У четверти. ® 50.
Вычислить сйг (к/3) + сс8 (к/6) — 2 яп (и/3) + яп к+ 4 сов (Зи/2) — 2 соз (к/3). 0 Свг(и/3)+сС8(л/6) — 2з1п(л/3)+япл+4соз(Зи(2)-2соз(и/3)=(,/3) + + /3 — 2 ( /3/2)+0+4 Π— 2 (1/2) =2. ° 51. Какие знаки имеют: 1) яп170'; 2) сов300', 3) 18160', 4) с18315'; 5) 18450'; 6) яп400'; 7) яп(7к/3); 8) сов(4сс/3); 9) яп(5к/4); 10) сов(7к/5); И) 18(8к/3); 12) с18(9к/4)? 52. Используя единичную окружность, определите знаки разностей: 1) всп130' — зш140', 2) сов50' — сов70', 3) 18220' — 18210', 4) с18220'-с18210'; 5) яп50' — 1850'; 6) сов50' — с1850'; 7) с18300'— . — с18315'; 8) яп70' — сов70'. 53.
Используя единичную окружность, определите знаки произведений: 1) вш100'вш120'; 2) сов210'.вш210'; 3) соз200'яп110'; 4) 18140'18220'; 5) сов315'.18215'; 6) вш150'соз150'18150', 7) яп 320'.сов 125'с8 250', 8) яп 230'18160'сс8 340'. 54. Вычислите: 1) соз(-к) вш( — л/2) яп( — Зи/2); 2) 2сов( — к) х х сов( — 2к) яп( — Зи(2); 3) яп( — сс)+сов( — и)+18(-к). 55. В какой четверти может оканчиваться дуга а, если: 1) 18( — а) >0; 2) 1зш( — а) ~= — вша; 3) ссов( — а)1=сова; 4) яп( — а)<07 56. Вычислите: 1) сс8(и/2)+ 18 к — яп (Зк/2) — соз ( — к/2)+ вш к; 2) яп(п(2)-сов(Зк/2)+сеял — 180+с18(Зп/2); 3) 2 зш (к/3)+ 2 сов(к/4) — 3 Цл/3)+с18(л(2); 4) вспг (к/4) — 2 совг (к/3) — 5 18 (сс/4) 5 ~~В'(~/6) — Ф' (~/4) 5) г з с18(1с/4) — 4 сов (л/3) — 8 зш (и/6) (2а з1п (к/б)) — (Ь св (л/4)) ~ — (2аЬ сов (л/2)) (а сов О) + 2пЬ сов(л/3)+ 2Ь' совг (л/4) 7) вт( — л/6)-218( — л/4)+сов( — и/3)-с18( — л/2)'„ 8) сов ( — и(3) — сс8'(- к/6) + вш'(-)с/6).
57. 1) /'(х) = 4 в(п Зх+ 5 соз Зх — 2 япх; вычислите /(0); /'(к/6); ~(и/3); ~(п); 2) /'(х) =вшх+вш2х+з(пЗх; вычислите Яс/6); 3),; вычислите при а=к/3 н р=к(6. Ва(а+ 9)+сов(а+ О) ' 58. Определите знаки следующих выражений, если О<а<к/2: 1) зш(к/2+а); 2) соз(Зи(2+а); 3) яп(сс+а); 4) сов(Зк/2 — а); 5) яп(Зсс/2+а); 6) з(п(Зк+а); 7) 18(п+а); 8) ссй(к — а); 9) вш(2к-а); 10) сов(2к+а); 11) 18(Зк/2+а); 12) 18(1,57-а).
59. Определите знаки выражений: 1) всп(7к/6) сов(Зк/5); 2) япг(4и/3) яп(5к/4); 3) яп(2сс/3) х хсов(2п/3) сов(и/4); 4) яп2,3 соз( — 1,7) яп(-1,5). 60. Какой четверти принадлежит дуга а, если: 1) з(па=сова; 2) вша=созга; 3) вша=созга; 4) вша=сов а; 5) сова=вш а; 4 г 6) сова=вспга; 7) 18а=с18а; 8) 18а=с18га7 !27 61. Определите знаки выражений, если 0<а<к/2: 1) соз(к/2 — а) 18(2к — а).с18(к(2+се); 2) з(п(Зк/2+а)соз(к+а).18(к+а); 3) соз'(к+а) 18г(к/2+а) с18з(к-а), 62. Вычислите: !) зш)с+с!8( — к/2)+сов( — Зк/2)+!8к; 2) соз( — к)+зш( — к)+1у(-к/4)+с!8( — к/4); 3) агсоз0+2абсозк+Ь зсп(к/2); 4) з!п(к/б) соз(к/3) 18(к/4) с18(к/6); 5) 5 182 (к/4) — 8 зсп' (к/б) + 4 соя г ()с/3).
63. Упростите: г (лам 0)г - (Ь с!8 (к/4))г 2а 2 соз (к/3) + 2аЬ соз я+ Ь 2 18 (к/4) ' (аз)п(к/2))л — (Ь!8(к/4))4 2) г ' г' (асоз2к) — (Ьз)п( — к/2)) ' 3) (-а Ип ( — Зк/2))г+(аб 18 2к)з+(б соя 0)з' асов Р— аЬ зщ О+Ь!8(я/4) исоз2я — Ьпп2я 64. Проверьте равенства: 1) з(пк+Зсоз(Зк(2)-18~(к/3)+с!8~(к/6)=0; 2) 2 пп' (к/4)+4 з(пг (к/3)+созг (к/4)-зш(к/6) =4; 3) з!пз(к/4)+сова(к/4)-зсп(к/4)=0; 4) 2з(п(-к/6)+Зсоз( — кД вЂ” Зс18( — и/4)+4!80=2. 8 5.
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА Если две функции от одних и тех же аргументов имеют одну н ту же область олределенн» н принимают равные значения при всех допустимых значениях аргументов, то они называются тогидестеенно равными. Равенство, справедливое при нсех допустимых значениях аргументов, называется тогкдествем. Если в состав тождества входят тригонометрические фунюсни, то тождество называется тригонометрическим. Переход от данной функции к тождественно равной ей называется толсдестеенным нреобраэоеанием функции. Прн доказательстве тригонометрических тождеств обычно применяют следующие приемы: !) производят преобразования над любой частью равенства (обычно над той, которая представляет более сложное выражение), так чтобы в результате тожлественных преобразований над ней получилась выражение, ссоящее в другой части равенства; 2) преобразуют одновременно обе части доказываемого тождества, пока не станет очевидным, что в обеих частях получились тождественно равные выражения; 3) используя свойство пронорцни о равенстве произведений крайних и средних членов, убеждаются в равенстве этих произведений.
Основные тригонометрические тождества инга+созга=1; Сйасгйа 1, асьяй/2, /св22 !+Сйга=1/созга, аэгя/2+я/с, lсеЕ; 1+с!8га 1/зюга анк/с /св2 Используя основные тригонометрические тождества, можно выразить через данную тригонометрическую функцию остальнме функции. Эти выражения приведены в табл. Ч. Таблица 3) 65. Дано: вша=3/5, к/2<а<к. Вычислить: 1) сова; 2) 18а; 3) с18а, О 1) сова= — (1(3/5)~= — 4/5 (перед радикалом стоит минус, так как во П четверти сова<0); 2) сйа=(3/5):( — 4/5)= — 3/4; 3) ссйа=-4/3.
Ь 66. Дано: сова= — 12/13, к<а<Зк/2. Вычислить: 1) я!па; 2) 18а; 3) с!Еа. С Л ' ° -- ()-(-)2()5) -5ЛЗ: 2) 5 ° (-5ЛЗ)((-)2(5) 5Л2; 3) с!8 а=12/5. ° 67. Дано: '18а=-3/4; к/2<а<к. Вычислить: 1) с18а; 2) сова; 3) з(па. 1 О !) сгйа — 4/3; 2) по формуле (924) получим соя~а= 1+18 а 68, Дано: с!ба=8/15, 0<а<к/2, Вычислить: 1) 18а; 2) зша; 3) соз а. ! О 1) сйа=15/8; 2) по формуле (925) получим Инга= —; з)ла= 1+сгйг а ! !5 8 —: 1) ° = )-()ЗЛ~' —. ° ),н)5) ц' = — -ГЗ 128 9 — 3162 129 69. Упростить выраженим: Сова 4 4 1) —,+!8а; 2) 3!и а+сов а+2вшгасов'а. 1+з!па СОЗ а сова зша созга+ила+3!п а О 1) —.+!Ка — .
+ —— 1+ илаа 1+3!Па сова (1+жни) а!за 1+ила 1 / к — = — =веса йФ-+к/с, кзЕ; 2) 3!пи а+сов~а+23!азах (1+31па)сова сова ! 2 хсоз'а=(нп'и+сов'й)'=1'=1. Е 79. Доказать тождества: 1) + = —; 2) 1+в!Пи+ зшй !+сова 2 !+созе ыпй 3!па' +сова+!8а=(!+сова)(1+!8а); 3) 1 — сов а 31п а 3!па 1+сова 2»!»»3!Пгй+1+2созй+созгй 2»з О 1) + 1+сова зша ыпа~ (1+сова)зша япа (1+!+2соза 2 1 ( 2(1+сова) 2 '~ ( 2 2 1 Ф» — — аМкк, з(1+сова)з!Пй 3!Па/ 1(!+сова)ыпа 3!Пй/ 1,зша в!па/ /сеЕ. 2) Преобразуем левую часть 3!ай 1 + 31п а + сов й+ !З й = 1 + 3!и а+ сов й+ — = СОЗ й соьа+япасова+созга+3!па (пни+созе)+сова(з!па+сова) соз а СОЗ й (ила+сова)(1+сова) к , й»4-+к1с, /сеЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
