Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 21
Текст из файла (страница 21)
° Ь и 35. На какой высоте Ь надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса а, чтобы площадка была максимально освещена у ее границы? Рнс. 32 О Из курса физики известно, что осве' щенность Е обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормалью к поверхности с направлением светового потока), т. е.
соз и Е /с —, гг где Ь зависит от силы источника света, помещенного в точке А (рис. 32). Из треугольника ОАВ имеем сов ц=Ь/г и г= /Ьг+а'. Приняв Ь за независимую переменную, получим Е-Ь. Ь г эгг (Ь>% Ь э/Ьг+иг (Ьг+иг) (Ь'+а')ии Исследуем функцию иа экстремум с помощью первой производной: (Ь +гг ) (» +и ) '2/г'Ь (Ьг г)иг(/г г /г) (Ьг г)г (Ьг+иг)г аг — 2Ь' /2 /2 а (Ьг )гд (Ьг г)гп ' пРн " Так как Е'>О в промежутке 0<А< а/ч/2 и Е'<0 в промежутке а/ /2 < <А<со, то при Ь=а//2 функция имеет максимум, т.е.
прн значении Ь а/ /2 езО,?а освещенность в точке В является наибольшей. ® 36, Закон прямолинейного движения тела задан уравнением х= — эз+91г-241-8. Найти максимальную скорость движения тела (э — в метрах, 1 — в секундах). О Скорость движения тела есть первая производная от пути по времена; е=л"= — 31г+181-24.
Исследуем эту функцию иа максимум и минимум с помощью второй производной: е"= -61+18; — 61+18=0; 1=3; е"= — 6. Вторая производная отрипательиа, следовательно, скорость является наибольшей при 1=3. Найдем значение скорости в момент 1=3: е(3) — 3. Зг+18 3-24= 3 (и/с). ° 37. Сумма двух положительных чисел равна а.
Каковы этн числа, если сумма их кубов является наименьшей? 38. Произведение двух положительных чисел равно а. Чему равны этн числа, если их сумма является наименьшей? 39. Каким должен быть прямоугольник наибольшей плошади, который можно согнуть из куска проволоки длиной 50 ем? 40. Из всех прямоугольников данного периметра 2р найдите тот, у которого диагональ наименьшая. 41. Из нсех прямоугольников, вписанных в круг радиуса гч, найдите тот, который имеет наибольшую плошадь. 42.
В полукруг радиуса Я впишите прямоугольник наибольшей плошади. 43. В полукруг радиуса Е впишите прямоугольник наибольшего периметра. 44. Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты равна а, найдите тот, у которого плошадь наибольшая. 45. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь? 46. В треугольник, основание которого а и' высота Ь, вписан прямоугольник наибольшей площади (основание прямоугольника лежит на основании треугольника).
Найдите длины сторон прнмоугольника. 47. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны а и Ь, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найците длины сторон прямоугольника. 48.
В равносторонний треугольник с периметром Зт вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите длины сторон прямоугольника. 49. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением э= — зз+ Ззэ+ 91+ 3. Найдите максимальную скорость движения тела (э — в метрах, 1 — в секундах). 50. Закон движения тела, брошенного вертикально внерх, задан уравнением э=воз — 0,5язг. Найдите наибольшую высоту подъема тела. 51. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, задан уравнением э=19,61 — 4,91г. Найдите наибольшую высоту подъема тела (э — в метрах, 1 — в секундах). б 6. НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Кривая у=/(х) называется выпуклой лниг в промежутке а<х<Ь, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис.
33,а). Кривая у=/(х) называется выпуклой вверх в промежутке а<х<Ь, если оиа лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис. 33,6). Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции. Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции у=/(х), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке /" (х) >О, то кривая выпукла лпиг л этом промежутяе; если же /" (х)<0, пго кривая выпукла вверх и этом промежутке. 112 8 — 3162 113 Рис. ЗЗ б 7. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА гСм 44 и 6гл9 !!5 52.
Исследовать на направление выпуклости кривую /'(х)=1/х в точках хг=-2 и хг=!. О Находим,Г'(х) = — 1/х', /" (х) = 2/х'. Подставляя во вторую производную значения х, = — 2 и кг= 1, получим „Г" ( — 2) =2/( — 2)э <О, /'"(1) =2/1>0. Таким образом, в точке г= — 2 кривая выпукла вверх, а в точке х=!— выпукла вниз. ° 53. Найти промежутки выпуклости кривых; 1) /'(х)=хз; 2) /'(х)=ха — 2х'+бх — 4. О 1) Находим у'(х)=Зхг,,/" (х)=бх. В промежутке — со<х<0 имеем у" (х)<0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке 0<хссо имеем у" (х)>0, т.
е, в этом промежутке кривая выпукла вниз (рис. 34). 2) Находим ~'(х)=4хг — бх'+6, /" (х)= = !2хг — 12х= !2х(х — !). Очевидно, что в промежутках — со <х<Ои1<х<со выполняется неравенство/'"(х)>0, т. е. в этих промежутках кривая выпукла вниз, а в промежутке 0 < х< 1 имеет место неравенство у" (х)<0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх. ° 54.
Исследуйте на направление выпуклости кривые: 1) у= — 1/х в точках хг —— — 1 и х, =1; 2) г у=!/х в точках х,= — 2 и х,=1. Найдите промежутки выпуклости купиных: Рис. 34 55. 1) у=2хз; 2) у=ха; 3) у=-х — 1; 4) у=х'+Зх-1. 56. 1) у=х' — бхг+2х-6; 2) у=х~ — 2х'-12х'+24х+8. Точка графика функции у =у (х), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба. Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определенна функции у=у (х), в которых вторая производная (х) обращается в нуль или терпит разрыв. 114 Если при переходе через критическую точку х„вторая пронзволнаяУ" (х) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (хеыр(хе)).
Правило нахождения точек перегиба графика функции у=у"(х) 1, Найти вторую производную /" (х). П. Найти критические точки функции у=Ях), в которых /"'(х) обращается в нуль нли терпит разрыв. Ш. Исследовать знак второй производной у" (х) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции у" (х). Если при этом крнгяческая точка хе разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то хе является абсциссой точки перегиба функции. (Ч. Вычислить значения функции в точках перегиба.
57. Найти точки перегиба кривых: !) /(х)=бхг — х'! 2) /(х)=х+'/хз — 2. О !) Находим /'(х)=!2х-Зхг, у (х)=12-бх. Полагая у'"(х)=0, получим единственную критическую точку х=2. Так как в промежутке -со<х<2 имеем / (х)>0, а в промежутке 2<х< со имеемУ" (х)сО, то при х=2 кривая имеет точку перегиба. Найдем ординату этой точки: у" (2)=16. Итак, (2; 16) — точка перегиба. г 2) Находим У" (х)=1+-гз/хг, У" (х)= — —. Здесь кРитической ЯвлЯ- 3 ' 9 г х ется точка х=О, в которой вторая производная терпит разрыв.
Очевидно, что у'"(х)<0 в промежутке -со<х<0 и /'"(х)>0 в промежутке 0<х<со, т. е. кривая при х=О имеет точку перегиба (О; -2). ° Найдите точки перегиба следующих кривых: 58. 1) /'(х)=хз — х; 2) у=-х -Зх +8х-4. з г 3 59. 1) /'(х)=х — 10хэ+Збх — 100; 2) /'(х)=х4-Вхз+18хг — 48х+31; 3) /'(х)=ха бхз+12хг 10 60. 1) /'(х)=хе "; 2) /'(х)=е ".
ПОСТ'РОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Общая схема построения графиков функций 1. Найти область определения функции. П. Выяснить, не является лн функция четной, нечетной илн периодической б Ш. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений). (Ч. Найти асимптоты графика функции. Ч. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы, Ч1. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба. УП. Построить график, используя полученные результаты исследования.
61. Построить график функции у=х'— -бхз+9х — 3. О 1, Функция определена на всей числовой прямой, т. е. Р (у) = К. 2. Данная функция не является ни четной, ни иечетно(Ц кроме того, она не является периодической. 3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х = О, получим у = — 3.
Точки пересечения графика с осью Ох в данном сяучае Рис. 35 найти затруднительно. 4. Очевидно, что график функцян не имеет аснмлтот. 5. найдем производную: у'=Зхз — 12х+9. Далее, имеем (Зхк — !2х+9= =0)с (х — 4х+3=0)оо ' Точки х=! их=3 делят область определенна функции на три промежутка: — оо<х<1,! <х<3 и 3<х<оэ. В промежутках — со<х<1 и 3<х<со у'>О, т. е. функция возрастает, а в промежутке 1<х<З 'у'<О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
