Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4) у=)п; 5) у=(п —; 6) у=1п /х.1пхз. х,/хз !' Ъ/1-ах 71 1) у /ез». 2) у «е2» !04 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА ! вариант / ( /3). 4) Дх)г» /е'!пхл; найдите /'(!). 5) Точка движется прямолинейно по закону »=22' — Ззз+4 (в — в метрах, з — в секундах). Найдите ускорение точки в конце 3-й секунды. Глава 8 Ш'ИЛОжЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ б 1. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ Функция у=/(х) называется возрастающей в промекузке а<х<Ь, если дпя любых», и хз, принадлежащих этому промежутку и таких, что х, <хз„ имеет место неравенство Дх,) </(хз).
Функция у=Лх) называется убывающей в промежутке и<х< Ь, если для любых х, н хз, призщдлежащнх этому промежутку и таких, что х,<хз, имеет место неравенство /(х,)>/(х,). Как возрастающие, так н убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,— промежутками монотонности. Возрастание н убывание функции у =Дх) характеризуется знаком ее цроизводной: если в некотором промежутке/'(х)>0, то функция возрастает в этом промежутке; если жв/'(х) < О, то функция убывает в этом промежутке. Найти промежутки монотонности следующих функций: 1.
1) /(х) =х -Вх+12; 2) /(х) =х -бх +4. О 1) Находим производную: /'(х)=2» — 8; имеем (2х — 8=0)вз(»=4). Последующие рассуждения представим в таблице: 105 2 8 6 1) Дх)=- — + — +2х+ х /» з/~ +бхг /х; найдите /'(1). 2) /(х)=(»2 — 2).,/хг + 1; найдите /г( /3). 92 3) Дз) =; найдите /22+! ' /'(2,„/2). 4) Дх)=в** !их', найдите /'(!). з! Точка движется прямолинейно по закону 2=222 †2-4 (в — в метрах, з — в секундах). Найдите ускорение точки в конце 2-й секунды. Н вариант 1 3 4 1) Дх)= — + — — +Зх— х 22 /хг /»х — 2х' /ж найдите /'(1).
2) Ди) =(и'+ 3),/из- 1; найдите /'(./2) 3) /(х) =; найдите ! /хз+1* Таким образом, данная фушщпя в промежутке — сэ<х<4 убывает, а в промежутке 4<х<со возрастает (рис, 23). Гх=0, 2)Имеем«"(х)=ухе — 12х,(3х'-12х О' ~ х=4. Составим таблицу; Рпс. 23 Итак, в промежутках — со<х<0 и 4<х<со функция возрастает, а в промежутке 0 <х< 4 — убывает (рис.
24). ° ! 2. 1) «= —; 2) «=1пх; 3) «= /х-хз. О 1) Область определения данной функции — вгл числовая прямая, кроме точки х=О. Находим у' — !/(2хз). Очевидно, что «'<О прп всех х пз области определения функции, т. е. функция у=!/(2х) убывает в промежутках — со<х<0'и 0<х<со (рис. 25). 2) Область определения функции — промежуток 0<х<со, Очевидно, что производная у'=1/х в этом промежутке положительна. Следовательно, функция у=1пх в промежутке О<х<ас возрастает. 3) Для нахождения области определения функции решим неравенство х — хз > О, откуда получаем 0 < х < 1.
Таким образом, данная функция определена в промежутке 0<х<1. 1 — 2х Найдем производную у'= —. Так как знаменатель дроби 2 /х-х' положителен, то знак этой дроби совпадает со знаком ее числителя. Учитмвая, что функция определена при 0<к<1, получаем: у'>О, при 1 — 2х>О, т. е. при О<х<1/2; у'<О при 1-2х<0, т. е при 1/2<к<1. Следовательно, в промежутке 0<х< Ц2 функция возрастает, а в промежутке 1/2 < х < ! — убывает. ° Найдите промежутки монотонности следующих функций: 3. 1) Ях)=хз — бх+5; 2) /'(х)=2хз — 4х+5; 3) Г(х)= — х +4х+!.
4. 1) /(х)=хэ — Зхз+1; 2) /(х)= — -хз+-ха+2, 5. 1) Г(х)=х4-4х+3; 2) Г(х)=х4-32х+40; 3) /'(х)= — хь-х+1. б. 1) Ях)=2х~-9х+12х-!5; 2) Г(х)= — 2х +15х'-Збх+20. ! ! 7. 1) Г(х)= — —; 2) Г(х)= —. 1 В. 1) «=1пхз; 2) «=!и-. х 9. 1) «=-х -)пх; 2) «=1пх — х . з . 1 з 2 ' 3 1О. 1) «=е "; 2) «=е"; 3) «4п»". 11 !) «=,/х-2хз 2) «=,//хз-3» О 2.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Точка хе из области определения функции Г(х) называется глочкой минимума этой функции, если существует такая б-окрестность (хе — б, хе+О) точки хь, что для всех хаак из этой окрестности выполняется неравенство 7(х) >/(хе). Точка хе из области определения функпии у(х) называется точкой максимума этой функции, если существует такая б-окресгность (хе — б, хе+О) точки хе, что для всех хФхе из этой окрестности выполняется неравенство Я(х) ь7"(хе). Точки минимума и максимума функции называются экслсремальиыми точками (или гаочками эксисрем«ма) данной функции, а значения функции в этих точках — минимумом и максимумом (или экстремумами) функции. Точками экстремума могут служить только крылические точки, т.
е, точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная /" (х) обращается в нуль вли терпит разрыв. Если при переходе через крптическуго точку х производная /"(х)меняет знак„то функция/(х) имеет в точке х экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум — когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку хе пРовзвоДнал 7"(х) не менЯет знака, то фУнкциЯ 7(х) в точке хе не имеет экстремума.
Правило пахождення экстремумов функции «=у(х) с помощью первой производной Рпс, 24 Рис. 25 1. Найти производную У'(х). 11. Найти критические точки функции «=.Г(х), т. е. точки, в которых /'(х) обращается в нуль или терпит разрыв, 111. Исследовать знак производной 7(х) в промежутках, па которые найденные критические точки делят область определения функции /(х). Прн !07 Рис.
27 Рис. 28 109 108 этом критическая точка х„есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором 7"'(х) <О, от промежутка, в которому'"(х) )О, и точка максимума — в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой х, знак производной не меняется, то в точке х функция экстремума не имеет. Гт'. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Исследовать на экстремум следующие функции: 12. 1) Цх)=хг-4»; 2) Г(х)= — х +5х+6. (3 !) Находим У'(х)=2» — 4. Полагая 7'(»)=О, получим единственную критическую точку х=2. Дальнейшие рассуждения представлены в ташшце: Рис. 26 График функции 7" (х)=хг-4» есть парабола, изображенная на рис. 26. Точка минимума (2; — 4) является вершиной параболы. 2) Накодим 7"'(х)= — 2х+5; ( — 2»+5=0)чь(»=5/2). Составим таблицу: Графиком функции 7(х)= — хгч-5» — 6 служит царабола, изображенная на рис. 27. ° 13.
1) У'(х)=-»4; 2) Г(х)=хз Зхг 2 О 1) Находим У (х)=2»г; (2»'=0)че (х=О). Составим таблицу: 1 рафик функции 7 (х)=-х изображен на рис. 28. 4 2 Гх=О, 2) Имеем у'(х)=З»г — бх; (Зхг — 6»=0)чь~ ' Составим таблицу: »=2. Г афик функции у(х)=х» — Зхг изображен на рис. 29, ° р 14. у'(»)=~угх (»-Я. 2 2(» — 5) +Зх 5 х — 2 О Находим)'(»)= — (х — 5)+з/» = з — 3 з зг ном случае критическими являются точки х=О (в ней производная терпит разрыв) и х=2 (в ней производная обрапгается.у нуль). Составим таблицу: 1 ф фуцкции у(х)=~/х~(х-5) изображен на рис. ЗО. Э Исследуите на экстремум следуюцгие функции 15.
1) Г(х)=х -х; 2),у (»)=х +3» 1) г(х)= — х'+2»; 2) ~'(»)= -» — ». 17. 1) г(х)=»г-8»+12; 2)Г(х)=х — 4х+3; 3)7 (х)=х -10»+9. 18. 1) у(х)= — хг~-2»+3; 2) У'(х)=-х'-х+6. 3) 7 (х)= = — 2хэ+х+1. 1 19. 1) у'(х)=2х~-х; 2) 7 (х) — -х +Вх. 4 з з г 20. 1) у'(х)=-хз — 4х; 2) Г(х)= — х — х . -3 3 2 з 9»э+12» 8. 2) У(х) 2х' — Зх — 12»+8; 3) У(х)=2» +9хг+12х-2. 22. 1) 7'(х)=5 — 2з/хг; 2) у'(х) Зз/хг у=х — — х =-х — хт 0<хс— Р Р Р у'= — -гх; — — гх=о; х=-; у"= — 2. 2 2 ' 4* 110 1)у (х)=бьгх (х+1); 2) ((х) з / з (10 24. 1) 1 (х)=е*+е *; 2) ((х)=хзе 1) ((х)=х-21цх; 2) ((х)=х)пх 8 3.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Ес лиу' естьпроизводнаяотфункцииу= х,т ~=у( ), опронзводнаяоту пох(ес- вует назынается второй н оизводн " д ) Дл у", у„", — или ум(х),— дх ~х~ П вняло на р о нахождения экстремумов ф в функции у=((х) с помощью второй произнодной 1. Найти произнодную Г'(х) 11.
На т . Найти критические точки данной функции, в кото ых ' х = . 1У. Иссле довать знак второй производной в каждой из й м же вторая п аксимум, а если по аксим, ложительной, то — минимум. Если производная равна нулю, то зкст м м к мощью первой производной. У. Вычислить ить значения функции н точках экстремума. 26. Исследовать на зкст ем с функции: р ум с помощью второй производной 1) ((х)=хз-2х-3; 2) ((х)=хз-9хз+24х — 12. О 1) Находим производную: у'(х)=2х-2. Решая вне получим щшичеа~~~ тчку «=!.
Найдены ~ы при х=! функция имеет миним: /' ы-у' производная в критической точке поло ложительна, то ) Находим у"(х)= Зхз- !8х+24; (Зхз — 18 24= вь а ем теперь )"(х) =бх — 18. Определим знак второй пронзноднон в критических точках. Так как у'"(2)=6 2 в 18 <О, то и имеет максимум; так как у'(4)=6 4-!8 ия фуикцж~ н ~очкы экстремума: у„=у (2) =2~— Исследуйте на эк ем м стр у с помощью второй производи й едуннцие функции: о ТУ. 1),((х)=гхз-З; » У(х)= '-гх; 3 4).Г( )= — 4 5) у ( )= — з+ з 28 1)(() з г з+3 +4 — ) у (х)=-х -Зх +5х+5; 3) ((х)=хз- -хз+бх-2; 4) )'(х)=хв+Зхз — 4. хз+1 х+1 . Зх х хв+ 1 8 4. НАИМЕНЬШЕЕ И НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо: 1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках; 2) найти значения функции на концах промежутка; 3) сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них явлшотся соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.
30. Найти наименьшее и наибольшее у значения функции у" (х) = хт — 4х+ 3 в промежутке 0<х<3. О Имеем у'(х)=гх-4; 2х — 4=0, 8(йг т. е, х=2 — критическая точка. Находим у" (2) = — 1; далее, вычисляем значения (к) Л-вкеу функции на концах промежутка: / (0)=3, У(3)=0 Итак, наименьшее значение функции равно — 1 и достигается ею во внутрен- й е ;е) л ней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка (рис. 31). ° Рис. 31 Найдите наименьшее и наибольшее значения функций в заданных промежутках.
31. 1) у(х)=хз-бх+13, 0<х<6; 2) ((х)=8 — 0,5хз, — 2<х<2. 32. 1) ((х)=-хз- -хз, 1<х<3; 2) у (х)=бхз-хз, — 1<х<6. 2 3 ЗЗ. 1) у'(х)=хз — Зхз — 9х+35, — 4<х<4; 2) ((х)= — хз+9хз— -24х+10, 0<х<3. $5. ЗАДАЧИ НА НАХОЯьДЕНИЕ НАИМЕНЬШИХ И НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН 34. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого плошадь наибольшая. С! Пусп периметр прямоугольника равен Р. Обозначим длину одной из р — 2х сторон прямоугольника через х, тогда длина другой стороны равна — = 2 =- — х. Обозначив площадь прямоугольника через у, имеем Р 2 Исследуем функцию на максимум и минимум с помощью второй производной: ВтоРая производная отрицательна, следовательно, функция имеет максимум при х р/4. Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет ющцрат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
