Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 15
Текст из файла (страница 15)
° 13. докажите, что я+1 5л — 2 5 1) 1(ш -=0; 2) 1пп — — 1; 3) йш — =- л ' .— 7л+3 7 14. Имеют ли предел последовательности: ! =( — 1)" +-7 л 1б. Докажите, что последовательности: 1 16. Докажите, что последовательности; 1) 2) ~„= — „; 3) а„= — „— бесконечно малые. 1 л' 2" + 1' " л" +4 ~ !. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНК!(ИИ 1.
предел функции. число А называется лределом функчии 7"(х) при х- а, если для любого числа е>0 можно указать такое б>, дл удовлетворяющего неравенству 0 < 1х — а1< 5, выполняется неравенство (г(х) — А)<е. В этом случае пишут !1ш)(х)=А. Если число А, (число Аз ) есть пРедел фУнкцни У =) (х) пРи х стремяшемся к а так, что х принимает только зпаче ния, меньшие,большие) а, то А,(Аз) называется левым (правым) лредеяом функции)'(х) в точке а. При этом соответственно пишут !нп )(х)=Ао !1ш )(х)=Аэ.
йпз [й./(х)) =й 11ш/'(х). 2. Если и — натуральное число, то йш х" =а", 1пп з„/х=е„/а. в в Р() + ++ д(х) Ь,х"+Ь,х '+- '+Ь -зх+Ь й [Л )+9()3-!МЛ)+н ц() "з-2+1 ,— 3 т — 3 2 — 3 1шз [/(х) . зр(х)] =! пп /(х) 1пп зр (х). з 4х-8' /() ' з() 1!ш — ~ ф(х) Бш зрЦх' 76 2. Бесконечно маяые н безжояечио большие фуниаии. Функцяя /(х) называется бесконечно малой прн х- а, если Ишу(х)=0. Функцняу(х) называется бесконечно большой при х а, если 11ш /(х)=со, "л" 11шу(х) +со, или !ппу'(х)- Отметим свойства бесконечно малых н бесконечно болыпнх функций. Г.
Если функции з(х) и зр(х) — бесконечно малые при х- а, то их сумма З(х)+цз(х) при х-за также лвллется бесконечно малой. 2'. Если функция З(х) — бесконечно малая при х- а, а Р(х) — ограниченная функция, то их произведение /(х) Г(х) есть функция бесконечно малая. Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малик. 3'. Если при х а функция Дх) имеет конечный предел йпз/(х)=А, а функция зр(х) — бесконечно бавьшая, то !!пз [Дх)+аз(х))=оо, 1!зп — =О.
.Г(х) й(х) 4'. Если функция Ях) — бесконечно малая при х- а, то функция 1(/'(х) — бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точкзз а функциями(х) не обращается в нуль. Наоборот, если при х-+а функция ф(х) — бескокечно большая, то функция !(цз(х) — бесконечно малая. Между бесконечно малой функцией и функцией, ямеющей конечный предел, существует следующая зависимость. Если функция у(х) имеет конечный предел при х-за, то ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции прн х- а.
Наоборот, если функция у(х) может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х-ьа, пю эта функцил имеет конечный предел при х- а, который равен значению постоянной. 3, Теоремы о пределах. Теорема 1, Если существуют пределы функций /(х) и зр(х), то существует такзке и предел их суммы, равный сумме пределов функций з(х) и ф(х): еорема 2. Если существуют пределы фун й /( ) х) „„ то существует также и предел их произведение, равный произведению пределов функций /(х) и цз(х): Теорема 3.
Если существуют пределы функций г(х) и ф(х) при х- а и предел функции й(х) отличен от нуля, то существует также предел отношения у(х)/цз(х), равный отношению пределов функций з(х) и ф(х): Следствия. Посточнный инолситезь иожпо в ынести за знак предела:. 3. Предел многочзепи (целой рациональной функции/ Р(х)=аох"+азх' '+азх" з+...+и„зх+а„ и х=а, т. е.
!пп Р(х)=Р(а). при х-ьа ривен зиаченюо зтого многочлена при . = , 4. Предел дрооно-рациональной функции п х-ьа равен зничению втой функции при и и х= а, если а кринадлезкит области определения фующии, т. с. 1пп Е(х)=А(а). Вычислить пределы: хз — х+! 1) )зш(5тз — бтз+х-5); 2) 1пп —. О !) Но правилу нахождения предела мно а многочлена находим 1пп(5хз — бхз+х-5)=5 2з — 6.2з+2-5=13 2) Так как прн х=2 знаменатель дроби о лнч у т ен от н ля, то по правилу нахожлення предела дробно-рациональной функции получим лю: 1зш,йх — 8)=4 2-8=0.
СледоО 1) Здесь предел делителя равен нулю: зпз вательно, теорем е з о пределе частного применит ь нельзя. Так как онечно малая, а 1пп(4х — 8)=, то .т— -О, 4. — 8 прн х- 2 сеть величина бескон з з 77 +4) 1 — ° 2 х — 4 — 2 — 4 — 1пп -2 х5-2х+4 (-2)з — 2( — 2)+4 хз-5 6 2х+ 3 2+ 3/х 2+0 2 1пп =- йщ 5х+1 5+1/х 5+О 5 Прн х- сс нмеем 79 обратная ей ей величина — — бесконечно б 1 4х — 8 ольшая. Поэтому при х- 2 произведение — 5 есть величина бесконечно б 4х — 8 онечно ольшая, т. с. !цп = — оо. 2) Здесь е -з 4х-8 пределы числителя н знаменателя и н х — 0 Непосредственной подстановкой прн х — О равны ыулю.
вычислить предел пель ко вместо а сыта е ргум го предельного значения бесконечно малых величин. зя, так как прн х-0 пол участок отношение двух Разложим чи слитель н знаменатель на множители, дробь на общий множитель, ели, чтобы сократить возможным применение тео 3. Н , стремящийся к нулю, н, еле онат д ельно, сделать проязводнтся сокращение н теоремы 3. Нужно иметь в в иду, что здесь не определению на нуль, что недопустимо. По о ре тся ~~у п!ждююому ~ю~~~~, произвести сокращение на множнтел этого значения; поэтому до перехода к пределу можно житель, стремвцийся к нулю.
Имеем Зхз — 2х 2х 5х ох(2х 5) -о2х 5 2 0 5 5 З)П е' ) ред лы числителя и знаменателя прн 3 прн х- 3 равны нулю; !лп(хз— -5х+6)=3'-5 3+6=0, Вш(3хз — 9«)=3 — х — х)= 3 -9 3=0. Разложим квадратный з трехчлен В числителе на линейные множители по формуле ююжитщн» эиа~енатель сок аким роб —, не — — лс х, н х,— корни т хчлена. Р получим , сократим дробь на х-3, Используя следствие 4, 5. С г 5- Гг+*' . 5* 2 5) 01)П с ред лы числителя и зыаменателя при х- а числитель н з — а раним нулю. Умножив + 5+х и затем l ряжсннын знаменателю множитель /5— знаменатель на соп я м сократив дробь ыа х, получим я — х+ !цп й х(,,/5 — х+ гг5+х) ' (с/5 — х-,/г5+«)(~/5 — х+ /25+«) 11га ( -х 5-з/5+х), з/5 х+ Л+х /5+ 2) Очевидно, что ырн х- -2 ф н я Овско б льших величны. Выполнив вычитание ЛР Рс У кр 78 ( 1 '12 5~, хз-2х — 8 .
(.т+2)(х — 4) 1лп — + — — 1!щ — 1йп - з 1,х+ 2 хз+ 8/ - з хз+ 8 - з (х+ 2)(хз — 2« 4. 1) 1пп (х'-бх'+5х — 1); 2) !йп— 4 2 4х+ 1' 3) 1цп —; 4) !пп,; 5) 1пп (х — х — 4х). 2«+3 . «4 — 2« +3, г з —— 5«+!' *- Зх'-5 0 1) Первые три слагаемых при х- со пределов ие имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося «5 за скобки. получим йш хз ! .1.
=(1йп «)з 1!ш ! — — + — — =оэ х х .5Д (, х х . / з/ (при х- со величины 6/х, 5/х' н 1/хз — бесконечно малые н нх пределы равны нулю). 2) Прн х ю знаменатель 4х+! неограниченно растет, т. е. является 1 величиной бесконечно большой, а обратная,величина — — бесконечно 4х+! ! малой, Произведение — 5 бесконечно малой на ограниченную величину 4х+! (постояиная — частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел ее,прн х- со равен нулю. Следовательно, 5 йп = — О.
4х+ 1 3) Прн х- со числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение со/со, которое представляет собой неопределенность. Для вычислення предела этой функции нужно числитель н знаменатель разделить на ж (при х — гоо слагаемые 3/х и !/х — величныы бесконечно малые и, следовательно, нх пределы равны нулю). 4) Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.
с. на хз; х4-2хз+3 х — 2/х+3/хз 1шз — = йш 4- 3 «2 — 5 3 — 5/х» 1йп ! х — + —, / = со и ! йп 3 —, = 3. х'/ Так как знаменатель есть величина ограниченная, то 4 2х+3 !пп, = оо. 4-4 Зхз-5 — (х †,/хз — 4х)(х+,/хз-4х) , хз-х +4х йш (х- 2хз — 4х) — Вгп — !цп х+,/хз — 4х х+ /хз — 4х 4 4 = 1пп ==-2.
б! "!+ /1 — 4гх Вычислите пределы: 5. 1) 1(ш(хз+х-5); 2) 1(ш (хз-хз+1) б. 1) Вщ (2х' — 5х'+х-4); 2) 1ип(Зхз+хз — 8х « -2 о 7. 1) 1ип[(7х+2)(4х — 3)(5х+1Ц; 2) йш'1(хз-1)(х 3) 12гп ((2х — 4)(х — 1)(х+ 2Ц. (х+3)(х — 2) . /х+1 х+2 «-4 /х — ! 9. 1) В; г) ! 3 .
4 «3 2х — 6' «оЗх +2х 2з 22 Зхз !.х 10. 1) 1ип,; 2) 1ип «-о 5хз — 4х" «о х 4хз — 9 11. 1) 1ип —,; 2) )ип « — з хз-9' «--222 2х+3 2 12. 1) 1ип,; 2) )пи —. *-з х' — 25 ' «-2 х — ! Зх' — бх+4 . хз-7х+1О «2 5хз — 14х+8' «-з х — 9х+20 ) . 2х'+х — 15 . Зх +5х+2 ; 2) 1ип -з Зх +7х — 6 « -222 Зх +8х+4 15. 1) йш; 2) 1ип / 1б. 1) Йп «/; 2) 1ип т/ *-з 4 — т/Я-2 *-' /х — ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
