Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Решить уравнения: 1) 1обзх+1обгзх+!об„зх=б; 2) 1о8„*16+!обг„64=3. О !) Здесь х>0. Используя формулу (4.9), преобразуем левую часть уравнения к основанию 3; 1ой„-х=!ойг *х=2!обгх; 1ойнгх=!об,х= — 1обзх. Таким образом, (1обзх+21о8 х — 1обзх=б)«»(21обзх=б)«»(х=З )«»(х=27). 2) Здесь х>0. По формуле (4.7) преобразуем левую часть уравнения к основанию 2: 1обг16 4 1обм!6= г — — —, !ойгхз 2 !ойгх' 1ойг64 1ойг„64- 1обг Зх 1обг 2+ 1обг х !+ !ой,х < 3!ойгх — 5 1ойгх — 2=0, + =3~ «» 2 1обгх 1+ !об,х х~0,5 и А ° !ойгх= — 1/3, х=2 Ответ: 2 иг; 4. ° !ойгх=2 х=4, Решите уравнения: 41.
1) 1о8,(х+ 10)=2; 2) !ойз„2+108„3=1/3; 3) 18(7х — 9)в+18(Зх — 4) =2; 4) 18(х — 1)з-318(х-З)=188. 42. 1) + =1; 2) !о8 1обе108зг(х-З)=0, 5 — 1бх 1+1бх 43. 1) х'в"=1; 2) х"*=( /х)*; 3) х'=х. 44. 1) 1обгх+1о8вх=8; 2) 21о8„25-31об„х=1. 5' 3)решите неравенство 2"+2' "<3 4! Решите неравенство 1ойз!2« — 7! <1.
51. Решите уравнения: /11 -х — +- 1) — «=5х/5; 2) 4«-1 05з-х ),5,~ 3) Зх/31 — 10 х /9+3=0, 52. Решите уравнения: ц 5г -1+21 бг гг ьг. 2) ! з'! ( 8 ) 189 хб-1 х+1 «+1. 3) 4 ' +б « = 2 9 «,' 4) 2 *+ ' 3*-2 * 3* ' ы 192; 5! Дано: !о8,2=п). Найдите !ойхь28. 3! Решите неравенство (,/!0(З)з"'-з «0,81)-г". 4) Решите неравенство 2х- ! !ой цг — > !. х+1 5) дано: !83=а, !85=Ь. Найлнте !ой,«30. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вйриант 1) Решите уравнение 4* ' +7 2"+'Ь4: 2) Решите уравнение 1 вариант 1) Решите уравненяе Зг -з 9*-)+3«* 675 2) Решите уравнение !ой ггх — !ой,х — 2 =!.
!ойгх+ 1 !Ойзх+!Ойь,'~+108«тх 11 г 70 5) Зг«-1,3г +За«+э 237. 6) г,/2.з/8 -з а*/О 7) 7 4"-9 14" +2 49"=О. 25; 53. Решите неравенства: 1) 2. +21-х<3. 2) ( )/23(5) *-з<(23/25)г . 3) (з)г — Ел+16)х-е>1, 54. Решите уравнения: 1) 18(Зхг+23)-18(Зх-2)=1; 2) 1+13(х+1)-13(хз+7х+3)=0; 3) !8,,/Зх+1+18 /х+4=1312; 4) 13(х — 4)-!8 /2» П вЂ” 1521 5Т 18(х — 2) — 18 /х — 4=183; 6) 18(х'+1) — 13(х=2) — 1 7) 213 /5 — х+13(х — З)=0; 8) 13 /х — 7+13;/3:) 8=1; 9) 18(8-х)+213 /х-6=0; 10) 2(132-1)+18(5гз+1)х«18(51 х+5), 55. Решите уравнения: )) ))б) б ).
)б) б -) б: г) ч(бб ))) - ) б; 3) г'з *'-'*'" )ххг,/г; 4) О4"*х"=(6г5)'-"*, 5) 18гх-!Ехг=18гЗ вЂ” 1; 6) 1813х=!8(3-218х); 7) (,,/ х) бз эх ' = 5; 8) 2 1ойг 1ойг х+ 1об цг !ойг (г б/)2х) = ! 56. Решите неравенства: 1) 108з))о)2х+1!>1; 2) 1ойцз(Зх — 5)>!ОЕ)м(к+ гб 3) 1ойг)з!х-2!>1ойгыб; 4) !ойг — <1; х+3 5) 1ойцг(к+8) >!ойцг (х — 3)+1о3, г(Зх); 6) 1ойцз(3*+ г 9) 1ойз (3" — 1) > — 3.
Глава 5 БЕСКОНЕЧНАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $ 1. БЕСКОНЕЧНАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Бесконечной числолой последовательпссп)ью называется числовая функпня, определенная на множестве !)! натуральных чисел. Последовательность (х„) называется возрастающей (убывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (меньше) предыдущего, т. е, если Дла любого п выполнЯетсЯ неРавеиство х„б)>х„(х„ь)<х„). последовательность (х„) называется пагозрасп)ающгей (пгубылающей), если каждый ее член, начиная со второго.
не больше (не меньше) предыдущего, т. е. если для любого и выполняется неравенство х„+, <х„(х„+, >х„). Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монов)палыми. Последовательность (х„) называется ограпичгппой сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число М (число и)), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство х„<М (х„>)п).
Числа М и и) называются соответственно верхней и нижней грапнцани последовательности (х„). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом и)), геометрически означает, что нн одна точка х„не лежит правее точки М (левее точки ш). Последовательность (х,) называется ограниченной, если существуют два числа )и н М такие, что для всех п выполняется неравенство и) <х„~М. Тот факт, что последовательность ограничена-чнсламн и) и М, геометрически означает, что все ее члены помещаются в промежутке (и), М!.
Последовательность (х„) называется постоянной, если все ее члены совпадают. Обычно последовательность задается формулой, выражающей общий член последовательности через и. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить л-й член последовательности по ее известным предыдущим членам. Такой способ задания последовательностн называется индуктивным (илн рекуррентпым). 9) х„= 73 1. Вычислить пять первых членов последовательности х„= —. и+1 О Подставив вместо и последовательно 1, 2, 3, 4, 5, х,=!/3, хз=1/2, хь- — 3/5, хз=2/3. ° , получим х,=0, . Написать общин член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.
долило иметь в 3» 1; О Для того чтобы число прн делении на 3 давало оста 1, о остаток, оно х„= Зо+ 1. ° вид и+1; следовательно, общий член последовательности 3. Последовательность задана рекуррентным соотношением х„=Зх„,+1. Найти первые члены последовательности. О Заладим первый член последовательности: пусть х,=2. Полагая в рекуррентном соотношевни п=2, получим х =Зх +1=3 1=3 2 +1=7. П н и=, — рн п=З, 4, 5 соответственно находи: хз=Зх,+1=3 7+1=22, хь Зх +1=3.22 1=67, з = . + = , хз=зх + 1 =3 67+ 1 =202. В результате получаем последовательность 2, 7, 22, 67„ 202, .... ° 4. Д Доказать, что последовательность с общим членом х„= =1/(пз-1) монотонно убывает.
О Для убываощей последовательности выполняется н я неравенство „+, „, „+,/х„<1. Запишем (и+1)-й член последовательности: 1 1 -!в+1 (и+1) — 1 из+ 2п+1 — 1 пз.Ь2 ' Тогда х„+г/х„=(п — 1)/(и +2п)<1, так как пз-1<п'+2п б натуральном п. Следовательно, данная последовательность являетс ба у ы- б. Доказать , что последовательность х„= — ограничена снизу и и+1 и сверху. и+1 О Очевидно, х =— ндн, „- — >1, т. е. последовательность ограничена сню . и У С и+! 1 ! другой стороны, имеем =-1+-, где — правильная дробь, н, н и и 1 следовательно, 1+-<2, т. е. последовательность ограничена сверху. й! 6.
В ычислите пять первых членов последовательностей: 1) х„=2л+5; 2) х„—; 3) х„=( ); 4) х„=4; 5) х„=— ! и " (-1)" 6) х„=2л; 7) хыт — „+2"; 8) х„=4нз+3"+1 1 — при л четном; пз- ! 1 10) х„= — 1. и — 1 п(я+ 2) — при п нечетном; и 7. Напишите общий член последовательности натуральных чи- сел, каждое из которых при делении на 5 дает остаток, равный 3. 8. Напишите общий член последовательности: 1) 1, !/4, 1/9, 1/16,...; 2) 1, 7, 13, 19, ...; 3) 2, 4, 8, 16, 32, ...; 4) 1, 7, 17, 31, 9. Даны последовательности: и пз 2п За+5 1) х„= —; 2) х„= —,; 3) х„= —,; 4) х„= — г —. ь и+!' ь пз 1-2' и пз+1' ь 2 +1 Докажите, что последовательности 1) и 2) — возрастающие, а 3) и 4) — убывающие.
10. Даны последовательности: 1) х„=Зп-1; 2) х„= — „' 3) х„= —; 4) х„= —, 2 5) х„='; 6) х„= —; 7) х„=~ — /; 8) х„= — „ п(п+1) " и+!' " [, 2! ' " 2" — 1 Какие из них являются ограниченными7 б 2. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Предел последовательности. Число а называется щ!едеяом последовательности х„, если для любого е> 0 все члены последовательности хы кроме, быть может, конечного нх числа, лежат в е-окрестности (а-а, а+с) точки а, т.
е. найдется такое натуральное число И, что прн п>И будет выполнено неравенство !х„— а(<е. Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся. Если последовательность (х,) имеет пределом число а, то пишут 1!ш х„=а. В этом случае говорят„что последовательность сходится к числу а. 2. Беснояечно малые н бесконечно большие носяедоватеяьтнтн. Последовательность называется бескангтю малой, если ее предел равен нулю.
Отметим свойства бесконечно малых последовательностей. 1ь. Сумма двух бескв!ечно малых последовательностей является бегкаиечко малой. ь-. Произведеиие ограиичетюй погяедаватеяьиагти иа бесконечно малую явяяетгя бесконечно малой. Ся е д с т в и е. Произведение двух бесконечна маяых является бесконечно малой. 3'. Язя того чтобы выполнялось равеиство йгр х„=а, необходимо и достаточно, чтобы к„=а+о„, где Иш о„=б. )х„— а)=!л — а!=л-а>л — У~1, 1) х„=(-1)"; 2) х.= — 5 <е. ! 1 )а= — 2)а= —; лм " аз+1 3) и,= —,— бесконечно малые. 5 из+4 ( — 1)" + 2 Глава б Прр'.ДКд фУНИЦИИ 74 Последовательность называется бесконечна большая, если лля любого М>0 найдется такое натуральное число Ф, что прн л>Ф выполняется неравенство 1а„!>М.
В этом случае пишут 1пп а„=со. Если 1йп а„=ос н все числа а„, начиная с некоторого номера Ф, положительны, то последовательность (а„) стремится к +со: Йп а„=+со; если все числа а„, начиная с некоторого номера У, отрицательны, то последовательность (а„) стремится к — оэ; 1пп а„-оо. Если (а,) — бесконечно большая ласлвдаватвяоность, то лосявдоватвяьность (1)а„) — бесконечно малая. Наоборот, если (а„) — бесконечно малая лосявдаватеяьнасть, лю (1)а„) — бесконечно большая. 11. Доказать, что последовательность х„т5л/(л+1) сходится к числу 5.
О Согласно определению, число 5 является пределом последовательности (х,), если для любого е>0 можно указать такой номер Ф, что для всех членов последовательности с номерамн н>К будет выполнено неравенство Пусть задано произвольное положительное число е; тогда нз последнего неравенства получим 5 Репшв это неравенство относительно л, находим л> — !.
е Итак, если в качестве Ф взять любое натуральное число, не меныпее 5 — — 1, то прн всех л>Ф для любого е>0 будет выполнено неравенство е 5н ! 5л -5!<е. Тогда по определению предела следует, что !лп = — 5. л+1 я+1 5 5 Пусть, например, е=0,01; тогда — 1= — 1=499. Возьмем любой е 0,01 член последовательности (х„) с номером, болыпнм 499, например и=500; 5 500 2500 тогда хооо= — = —.
Находим величину 500+1 501 1хооо — 51=~ — 5~= — — <001, ~ 501 ~ ~ 501~ 501 т. е. !хооо — 5 ! < с= 0 01. Таким образом, все члены последовательности, начиная с 500-го, находятся в г.-окрестности числа 5, т. е. в интервале )4,99; 5,01 (. Аналогично для любого заданного числа е>0 можно найти номер У, начиная с которого все члены последовательности попадут в. е-окрестносп числа 5. ° 12. Доказать, что последовательность х„л является расходящейся. О Допустим протнвное: предположим, что последовательность х„=л сходится и ее предел равен числу а, т. е. 1пп х„=а. Пусть натуральное число Ф восходит а: Ф>а. При любом л>Р) имеем прево что противоречит определению предела, так как р а п н всех с<1 должно выполняться неравенство !х„— а~<в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
