Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 11
Текст из файла (страница 11)
50 98. 1) /х+3 — /7 — х= /2х — 8; 2),/х+7+О х+2=«/Зх+19; 3) /Зх+1+ /4х — 3- /5х+4; 4) /Зх+3+ /4х-4= /бх+13; 5) /Зх+4- /Зх-3= /2х.— 7; 6) /х-3+ /2х — 5= х — 2 /Б — 5 2х — 5 1О 7) = /х+2; 8) /х+15 — /х-1= —. /х+ 2 /х — ! $ !3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Решение иррационального неравенства с одной переменной сводится к решению равносильной ему системы рациональных неравенств или совокупности систем рациональных неравенств. Эти системы решаются прн наложении ограничений на переменную н возведении обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Рассмотрим приемы решений простейших иррациональных неравенств с одной переменной.
99. Решить иррациональные неравенства: 1),/Зх+13<х+1; 2),,/хг-1'>х-3; 3) /7 — х- /х>1/ /5. 0 !) Данное неравенство равносильно системе рациональнык неравенств; 1 к+1>0, /Зл+!3<х+! 6» Зх+!3>0, «» Зх+ 13 <хг+ 2х+ ! (х> — 1, «» х> — 13(3, «» Г х< — 3, хг-х-12>О !.х>4. Решением этой системы является совокупность решений двух систем: х> — 1, х< -3 Гнет решения, 6»х>4.
Отвеин 4<х<со. х> -1, ~х>4 х>4 [х< -3,«» 2) Это неравенство равносильно совокупности двух систем: х — З>0, х'-1>хг-Ох+9, х-З<0, хг- ! ЭО. Далее находим решение этой совокупности: 4» < х-ЗЭО, х — 1 > хг -бх+9 с х-3 <О, хг — 1>0 х>3, х>5!3 х<3, «О ~х< — 1, х>3, ! )х<3, „>3 1х< — ! ~„< х<3, ~!<х<3 х~! Г -босх< — ! чь Ответ: — сосхс — ! или 1<х<со. ( ! <«<со.
3) Данное неравенство равносильно системе х>0, ч/! — х — /х> !/ /5чь 1-х>0, «ь 1-х> /х, ( /! — х — /х)з>(!/ /5)з х>0, х>0, х ! ! — х>х, х< 1/2, 1 — х — 2,„/х(! — х)+х>1/5 4/5>2 /х(! — х) м ~ ~ ~ ~ ~ | ~ | ~ ~ ~ ~ ~ 2 | ~ ~ | 0<«<1/2, ) 0<«<!/2, ) 0<«с!(2, 2/5> /х(! х) (4(25>х(! — х) (хз-х+4/25>0 0<х< !(2, 0<х< !/2, х<!/5 < 0<«<!/5, ( х>4/5 ! 0<х< !/2, ~ нет решения ( х>4/5 Ответ: 0<х< !(5 Э Решите неравенства: 100. 1) /х+12<х; 2) /х+3<х+1; 3) /2х+9<3 — х; 4),„/хз — 1<5 — х; 5) /3« — х'<4 — х; б) /хз — Зх — 1Ос8 — х. 101.
1),/х> — 1; 2) /2х — 5>7; 3) /х+2>х; Е 'Р-б* — бб — 2; бб б* бз* 2-*; бб 2 бГ б — я 7) /Зх+1> /2 — х; 8) /2х+1> /3 — х. 102. 1) /2«+1 — /х-8>3; 2) /9 — х'>3 — /бх — х'! 3),/20 — х — / 10 — х > 2, $ !4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ -С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Неравенство с двумя яеремеииыми х и у имеет вид/(х, у) >О. Решением такого неравенства называется упорядоченная пара чисел (хо; уо), в результате подстановки которых в данное неравенство получается истинное высказывание /(хо, у,)>0.
Система неравенств с двумя переменными х и у имеет вид < /(х, у)>0, К(х, у)>0. Решением системы неравенств называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств системы. Две системы уравнений или неравенств называются равносильными, если множества решений этих систем совпадают. 52 При решении систем уравнений используют следующие правила, позволяющие преобразовать данную систему в равносильную ей: !) одно из уравнений системы можно заменить на равносильное; 2) если одно из уравнений системы имеет внд х= А (А — выражение, не содержащее х), то в остальных уравнениях системы можно заменить переменную х на ее выражение А; 3) любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получающееся при его сложении с любым другим уравнением системы; 4) любое уравнение системы можно умножить на выражение, не обращающееся в нуль.
Рис. 4 103. Дать геометрическую иллюстрацию решений систем: «э+уз 25 1 ха+уз <25 1) ' 2) х+7у — 25=0; (х+7у — 25=0. 104. Решить системы уравнений: 2) х'+у'=13, ху=б; 1) сх'+уз=41, у — х=1; ! х > 26 -+ — = —, х 5' хз — э=24; 4) З ~ ~ 3 ~ ~ б «' — уз=37, х-у=1. хз+уэ=4! (х'+у'=41, (х'+(х+1)'=41, 2 ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~~ х ~~ б ~ ~ т ~ 2 у — х=! (у=х+1 (у=х+! ( х=-5, у= — 4 2«'+2х-40=0, (хз+х — 20=0, у=х+! (у=х+! ~ +! Ответ: ( — 5; — 4); (4; 5).
2) Складывая первое уравнение системы с удвоенным вторым, по- лучим ((х+ )з ху=6 (2«у= !2 ) ху=б О !) Множеством решений первого уравнения служит множество точек окружности с радиусом, равным 5, и с центром в начале координат (рис. 4). Множеством решений второго уравнения является множество точек прямой АВ. Следовательно, множество всех решений данной системы состоит из двух точек пересечения прямой с окружностью, т. е. из точек (4; 3) 'и (-3; 4). 2) Очевидно, что множеством всех решений данной системы служит множество точек отрезка АВ, являющегося пересечением круга хз+у <25 и прямой АВ.
0> х+у= 5, .ту =6 СФ х+у= -5, ху=б ( х= 5У, 24>к=24 «=у/5, — 24> г/25=24 х/у= 5, гг гг .г=5у, ~у= -1, — 5 нег ре!пения Ответ: ( — 5; — 1); (5; 1) гя — У = 7, (х — У)(г' +ху+У )=37, (хг+.У+ух=37 (х †у (г †>=1 (>+ !) +(г+1)>+у~ 37 )ух+у !2 0 ~ ~У вЂ” 4 . =у+1 ,+! ~) !у=з к=у+! О : ( — з; -4); (4 з) е ) х=4. 105. дайте геометрическую иллюстрациго решений следующих систем: (хг уг 0 ( '-У'=0; ~хг+>г~4, >х +У =4, (х — у >О; «х — уз<0 106, Решите системы уравнений: !) ' ' ' 2) « ~ 2 ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 | ~ ~ ~~ ~ ~ Т 2 > ~ ~ 2~ х г -1- бху -1- 8у г = 91, 1х'+Злу= !8 х+Зу-10=0; '(ху+4у =;.
( хг+ху+2у'=74, ( 2х + 2ху+ у г = 73; г+ г 54 Ответ: ( - 3; - 2); ( - 2; - 3); (2; 3); (31 2), 3) Здесь х ге 0 и УЕЛО. Положим г =х/у,' тогла первое уравнение системы 1 2б примет вил г+-= —, откуда =, =5. ге=1/5. '!аким образом, данная система распадается на совокупность двух систем, каждая из которых решается способом подстановки; 1 ! 3 + х у 8 6) 5х г — бху+ 5у г = 29, 7х'-8ху+7уг=43; 1 х+у х-у 5 + 8) х у х+У 2' хг+уг 20.
х'+2У'= 17, 10) х'-2ху= — 3. х+у=12; х у 5 у х б' хг «-уг=!3; 7) хз-уз= 19, г г х у-ху =б; 6 16. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 113. Найдите наибольшее значение линейной формы «=2х, +х, при условиях Зхг+хг м9, 2х, + 4хг (165 х,>0, хг>0. О УчнтываЯ, что х,>0 и хг>0, стРоим пРлмые Зх,+хг5 9 н 2х,+4х =1б только в ! четверти (рис. 5).
Множеством точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (е), является выпуклый многоугольник ОАЕО (многоугольник решений). Вершины А, Е и О многоугольника находим путем решения систем уравнений: 55 б 15. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 107. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое равно 12. Найдите зти числа. 108. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 37 см, а его площадь составляет 210 см'. Найдите длины катетов. г) 109. Площадь прямоугольника рав- б/бр/ иа 972 смг, а длина его диагонали равна 45 см. Найдите длины сторон, бхгех б прямоугольника.
110. Периметр прямоугольного тре- 2)/б;4/ б/Р;3/ угольника равен 90 см, а его площаць равна 270 смг. Найдите длины сторон к, треугольника. 111. Площадь прямоугольника рав- йх!+Ахг /б на 1080 смг, а его периметр равен кг.-2тг 138 см. Найдите длины сторон н диаго- Рис. 5 , нали прямоугольника. 112. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке — 12. Если же зто число разделить на произведение его цифр, то в частном получится ! и в остатке — 20. Найдите зто число.
( Зх,+хг=9, (Зх,+хэ=9, (2л,+4хг=16, ' А(З;О); !( ' ' В(2:3); ! ' ' В(О;4). хг=О; (2х,+4хэ=16„' ' ' (х,=О; Среди множества этих точек надо найти, такие точки. в которых функция г=2х, +хэ принимает наибольшее значение. Построим прямую 2х, +х,=О, т, е. х,= — 2х,. При увеличении г эта прямая перемещается параллельно самой себе. Наибольшее значение г достигается в одной из вершин многоугольника. Находим значения функции г=2х, +.тг в вершинах многоугольника: го=О, гл=2'3+1.0=6, ге=2'2+1'3=7.
го=2'О+1'4=4. Таким образом, при х,=2, х,=З функция г=2х,+хг достигает наибольшего значения г„,„=7. ф. 114. Требуется составить план выпуска двух видов изделий на четырех участках цеха, чтобы получить максимальную прибыль от сдачи этих изделий. При этом накладываются следующие ограничения: время работы на 1-м участке не превышает 16 ч, на 2-м участке †ч, на 3-м — !6 ч и на 4-м — 12 ч. В таблице указано время (н часах), необходимое на изготовление каждого из этих двух вццон изделий на каждом из участков.
Нуль означает, что изделие на данном участке не изготовляется: От решпощпш хз юделвй 1 вида цеху начисляется Зх, тыс Руб пр ибыли и от реалюации хг юделий П вида 4хг тыс. руб. прибыли. Обпзая прибыль цска составляет Зх, + 4хг тыс руб., где хз > О и хг8 О.
Математическая модель задачи описывается системой линейных неравенств 4х, 1-2тэ< 16, Зл, +бхг <30 4хг<!6, 2х~ <12, л,>0, .тг > О. На множестве решений этой системы неравенств требуется найти наибольшее значение линейной формы г=Зт, +4тг. П оив прямые 4х +2х =16, Зх,+бхэ=ЗО, 4т,=16 и 2х,= =12, остр наты получим замкнутый многоугольник ОАВСВ (рис.
6). Вычислим коорди его вершин: 2х,=12. ) ! ' ' ' В(6; 2); т =О; (Зх~+бтг=ЗО; Зк~+бхг=30, 4тг=. ' В(0, 4) С(2; 4); 4х =16; (х,=О; г— 56 Цеху начисляется прибыль: 3 тыс. руб. при реализации одного юделия 1 вида и 4 тыс. руб. при реалвзацни одного юделия П вида., О Обозначим через х, число изделий ! вида, а через хг число изделий, П вида. На 1-м участке затрачивается 4х, часов на изготовление изделий ! вида и 2х часов на изготовление изделий П вида, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
