Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти 1ойць 36. О 1 способ. 108ц, 36=1обцьбг=1обць(1/6) г= — 2. П способ. (1ойц»36=х)4»((1/6)*=36)4»(6 * 6 ); х -2. Э 16. Решить уравнения: 1) 1ойех»» — 2; 2)!о8,8= — 1/2. О 1) (1обьх»» — 2)4»(х=б г); х=!/36; 2) (1ой 8= 1/2)4»(х ')г=8)4»(х-цг)-г 8-г), х=8 '=!/64. Э 17. Найти области определения следующих функций: 1) у=1о84(8 — 2х); 2) у=1ойг)з(2х+6); 3) у=1ой,(х+6)+1ойцз(6 — х).
О 1) Здесь 8 — 2х>0, х<4, т. е. -со<В(у)<4. 2) Имеем 2х+6>0, 2х> — 6, х> — 3, т. е. — 3</)(у)<со. 6! Зо. Логарифм степени полоисительного основания равен произведению показателя степени на логарифм основа)шя апепени) 1ой, М" = и 1ой, М. (4.5) 44.
Логарифм корня из положительного числа равен логарифму яодкор енного числа, деленному на показатель корня: 1 10К,Е/М=-108 М. (х+6>0, ! х> -6, 3) Имеем ~ '«») ' т.е, -6<О(у)<6. ° (6-х>0 (х<6, 18. Построить график функции у=!ойз1г(4-2х). О Областью определения функции служит бесконечный промежугох — со <О(у) <2. Найдем точки пересечения графика с осями координат. Полагая у=О, получим уравнение!ойггг(4-2х)=0, отхуда х=З/2.
Прн х=О имеем у=!ойпг 4 — 2. График функцнн изображен на рнс. 9. ° 19. Вычислите х: 1) 1об, (1/8)=х; 2) 1ой, (1/27)=х; Рнс. 9 3) 1о8„0,125= — 3; ' 4) !о8„4= — 1/2; 5) !ойгех=3/4; б) 1ой,х= — 3. 20. Найдите области определены функций: 1) у=!ойз(б — 4х); 2) у=!ойц,(4х — 5); 3) у=1ой,(х+8)+1ой,(4-х).
21. Постройте графики функций: 1) у=!ойг(х — 2); 2) у=)ойз(х-21; 3) у=!ойз(3 — х). б 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение, солержащее переменную в показателе степени, называется яохазаимвьямк. Пря решении показательных уравнений вида ежи=а»о' (где а>0, ан'1) используется следующее свойство: (агм а«се)«»(Г(х)=р!х!).
Преобразование показательного уравнения к виду а/'/=а»ю выполняется многнмн способамн. Ниже рассмотрены нскоторыс нз этих способов. 1. Сткой уравнивают освюанай 22. Решить уравнения: 1) 2*г-г +ю 1! 2) (1/0125)гг 1281 3) 2" з=5з *; 4) 2"+з — 2*=112. О 1) По определению нулевого показателя получим (хг-7х+12=0)«» ( ' Олмвт: 3; 4. 1 хт4. 2) ((1/0,125)г"=128)«»((2 )г"=2') з (2«"=2')«»(бх=7)«»х=7/6. Отвал: 7/6. 3) Записав уравнение в виде 2" '5" '=1, получим (2" '5* '=1)«» «»((2.5)* '=1)«»(х-2=0)«»х 2. Олмвзл: 2. 4) (2»«з — 2"=112)«»(2*(2з — 1)=112)«»(2" 112/7)«»(2*=16)«: х=4.
Ответ: 4. 2. Легарафмвровыюе обеих частей уравиеиюь Праменеяие основного логарифмического тмкдесзва 23. Решить уравнения: 1) Зз' в=11' *; 2) 3*=8. О 1) Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 1О, получим 62 (Зг*-з 11' ") = ((2х-З)183=(1 — х)1811)«»(2х183+х!811=1811+3183)«» «»(х(2183+1811)=1811+3183)«» х= 1811+3183! 2183+18 П 1' 2) Согласно тождеству (4.2)„имеем 8 = 3"ззз; тогда (3" = 8) «»(3" = =3"'зз)«»х=1ойз 8.
К тому же результату можно прийти, логарнфмируя обе части уравнения по основанию 3: (3*= 8) «»(х !обз 3 =1ой, 8) «з х= 1ойз 8. Лсгарифмируя обе части уравнения по основанию 1О, вычислим приближенное значение кориа: (3" 8)«»(х183=!88)«»(х=!88/183)«з(х=09031/04?71); хт1,89. ° 3. Преобразовааае к квадратному ураваиюю 24. Решить уравнения: 1) 4"+2*+' — 8=0; 2) 5'+ — =30; 3) 6.2з* — 13 б"+б Зг"=О. 125 5* О 1) (4"+2*+г — 8=0)«»(2г +2.2"-8=0)/ Решаем квадратное уравнение относительно переменной 2*: Г25 Г 5*=5, Гх=1, 2) 5"+= — ЪО~~ »!5г" — 30 5"+125 0)«з ~ «»1 5* ~ 5'=25 1 х=2. Ответ: 1; 2.
3) (б 2г* — 13 6*+6 Зг'=0)«»(6 2г"-13 2" 3*+6 Зг"=0). Разделив все члены уравнения на Зг*(Зг" ~0), получим квадратное урзвнсние относятельно переменной (2/3)*: Г(2/3)"=2/3, Гх=1 (6 (2/3)г"-13 (2/3)"+6 0)«»~ '«з ~ Ответ: -1; 1. ~ (2/3)"= 3/2 ~ х = — 1. 4. Способ груююревки 25 Решить уравнение 5г +'+7 ' — 175 — 35=0 О (5™+г» 7*+г 175" 35=0)«: (5.25"-1-7 7*-25* 7" — 35=0)«» Г5-7"=О, Гх 1ойг5, (25*(5 — 7*)-7(5-7*)=0) (5-7*)(25"-7)=0 ~25" — 7=0 ~х=гойгз7.
Ответ: 1о8,5; 1обгз7. ° 26. Решить графическим способом уравнение 3"=2х+3. О Построим графвки функций у 3* и у=2х+3 (ряс. 10). С помощью рисунка находим абсциссы двук точек пересечения графиков. Один из корней заключен в промежузке — 2<х<-1, а другой — в промежутке 1<х<2. Приближенно можно считать, что х,т — 1,4 н хгт1,7. ° 63 32. Решить системы уравнений: (4.10) (4.1 Ц /(х)>1, зр з (х) > зрз (х) О </"(х ) < 1, Чзз (х) «рз(х) /(х)гч'"'>т(х)ззи'иь, (4.12) 2+х 65 5 — 3162 Решите уравнения: уз 27 Ц (05)и~-з 1. 2) 5'з-е"+и !.
3) 2 з.4 8 4) 9злз=зз* е 5) 1000 "/О,! =100*. 28. Ц 5"-'=6"-';2) 81-.=7"-з;З) 4',"-'=7*-"; 4) 9"+ =!З " '. Ю. Ц 3*~~ — 5*+'=3"-5*+а; 2) 5" '+5*=750; 3) 2" — 2' з = 3; 4) 27" з'з — 9* ' = 2 3 з" ' — 2 3 хи 30 Ц 7з '6.7 +5 О. 2) 2з-з* 3,2з- +1 0 ИР П х 3) 3*+'+ — -29=0;4) 3 4* — 5 6*+2.9*=0; 5) 4"+ Рнс.!О +6.
9* О. 6) 3™+1+8. +з 72 24 0 31. Решите графическим способом уравнения: Ц 2 =.хз; 2) 2-хзи =2 ". б 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3* 5"=75, (4 5"=16, - (3* 3'=27, ц ' г) !( ' 3) (( 3' 5*=45; ) 2 3"=18; (3" +3" =12. (3 ц Перепишем данную систему в виде 3" 5"=3 5з, Зз.5* Зз,5 Перемножав уравнения.
системы, нмеем (3*'", 5 '" Зз, 5з )чи(!5 '" !5з )иь(к+у= 3) Разделив первое уравнение на второе, получим (Зз " 5" *=3 ' 5)иь((З/5)" "=(3/5) з)ль(х — у= — Ц. Решенне данной системы сводится к решенню равноснльной ей системы ( х+у= 3, В результате получаем ееееж (1; 2).
° х — у= — 1. 2) Прологарнфмнровав каждое нз' уравнений, получнм х1й4+у1й5=1816, ) 2х!82+у!85=4!О2, !Вт+х!ВЗ=!В!В '(!а !ВЗ-!Ой+2!Вт. Из второго уравнення нмеем х!аз=2183, т. е. х=2. Подставив найденное значение х=2 в первое уравнение, получим 4!82+у!85=4182, нли у!85=0, т. е. у=О. Итак, получаем опменн (2; О). Этнм же способом можно было решнть н предыдущую систему.
3) Согласно свойствам корней квадратного уравнення, 3" н 3' служат корнями уравнения зз-12з+27=0. Решая последнее, находнм з, =3; хе=9. Слеловательно, 3"=3, х ! н 3"=9, у=2 н. наоборот, 3"=9, х=2 н 3"=3, у 1. Итак, получаем семени (1; 21; (2; ц, ° 64 ,Решите системы уравнений: зз. ц ( г* 3 = (г, 2) ~ 2* 3'=108, (2'3*= 18; (2'+Зз=31; 3) ) ху=у", 4) ) 2з"-3"=55, 3 уз ( 2"- Зжз = 5, 34.
Ц ~ 3 2*+2 3"=11/4,2) ) 9зт,//100=27/1О, 1 2"-3"= -3/4; ),25ззч//10~00=5/4; 3) (2*+Зз=17, 4) ) 9"+"=729, 1 2"+з — 3'+'=5; '(3*-з-з =1. 35. Ц (3*-4"=77, 2) ! 3'2ем=36, ( 3*'з - 2" = 7; ( 5'2ем=200 8 5. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НЕраВЕНСтВа ВИда а">С, а"<С, /(Х)~~ЕЕ>т(Х)азиз, Гдс а>0, а~1, С>О, называются простейшими показательиыми неравенствами. Имеют место следующие равноснлъные преобразования." с ) а>1, ( х>1ой.с й>сии х<1ой, с; á а>1.
х<1ой,с (' 36. Репппь неравенства: ц З.>4; г) 6.*-"+" > 1; З) (!/3)"з-з*"< ц9; 4) (х+З)**-'*+'> 1. з з Ц Используя преобразование (4ЛО) прн а 3, с 4, зюлучнм (3">4)иь ль(х>1ой,4). Ошеени !ойз4<х<со. Гх<З, 2) (6" з*+зз>!)иь(6* з"ззз>6')иь(хз — 7х+!2>О)»; ~х>4, Опоена — ес<х<З нлн 4<х<ос.
3) ((!/3)*'-з*+е<!/9)чи((!/3)*'-з*+е<(!/3)з)иэ (хз — Зх+8>2) ь Гх<2, чь(хз — 5х+6>О)иь~ ' Опием — со<х<2 нлн 3<х<ео. ~х>3. 4) Согласно преобразованию (4.12), данное неравенство равносильно совокупностн двух систем: ((к+ 3)* з*зз > ц'и'((к+ 3)" з*+з>(к+ 3)е) и 7 ~ ~ ~ г х+3>1, та 5х+ 6 >0 [0<х+3<1, (хг-5х+6<0 — 3<х< — 2, 2<х<3. г х= 0,05, Ответ: 0,05; 0,2.
х= 0,2. — 2<хс2, х>3. -3<хс-2, 2<х<3 нет решения Отвеин -2сх<2 или Зсх<сс. ф Гх= 0,1, «»1 Ответ: 0,1; 100. ° Тогда < [х=4«»х=4. х>3 67 Первая из систем равносильна двум системам, а вторая система решения не имеет„т. е, Решите неравенства: 37. 1) (1/3)" <1/27; 2) 3">27; 3) 2*' ~"~'~>8.
!) ( г 8х+!6) -в !! 2) < 2).г-е +в>! $6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарн4«иичегкан. 39. Решить уравнения: 1) 1обз(х — 12)=2; 2) 1о8„1б — 1о8„2=1/2; 3) !8(х — 3)+!8(х-2)=1 — 185; 4) 18гх+18хг=!8г2 — 1; 5) х""=100х. О 1) Используя определение логарифма и учитывая область определе- ния, получим <х — 12=3г, (х=21, (!ойг (х-12) = 2)«э~ 'ч»< «»х = 21. ~х — !2>0 ~х> !2 2) (!о8„16-!о8„2 = 1/2)«»~ " '«г(хнг = 8)«»х = 64. (1ой„(16/2) = 1/2, ((х>0, хвь! 3) Учитывая, что 1=1810, потенпируем; ( !ой(х-3)+!8(х — 2)=1810-185, 18(х-3)+18(х-2) ! -185«» [ х-3>О, «» х — 2>0 18[(х-3)(х-2))=18(10/5), Дх — 3)(х-2)=2, ~хг-5х+4=0, .т>3 ~х>3 [х>3 4) данное уравнение преобразуем к квадратному, решив которое относительно переменной 18х получим 66 (!йгх+218х-18г2+1=0, ! (18х= — 1 — !82, (1бгх+18хг=!бг2 — 1)«: «» [18х= — 1+182,«» (х>0 х>0 1 Г!Ох+182=-1, ( (18(2х)㫠— 1, Г2х=!0 ', х>0 ~ х>0 ~х/2=10 ' 5) Логарнфмируя обе части уравнения по основанию 10 и решая затем полученное квадратное уравнение, находим < !Ох.!Ох=18100+!бх, (!Огх — !Ох — 2=0, х>0, х~! хФ! 40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
