Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ц . (,' -М, ) . (' —,' — '') з 2 хз — 9 х-3/' «--2 3 хз+ ! х+1/ 18. 1) Вш (хз-5х+6); 2) Вгп (хз+Зхз). 19. 1) 1ип,; 2) !ип (5+ — — 2). г . / г з( хз-!- Зх «-. ( х хз,! 20. 1) йш —; 2) 1ип —. 80 + 10). — 3)(х — 5Ц; '5) Прн х-«со данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин (со — со). Умножив н разделив функцию на вырвженае х+ /хз — 4х, получим 7хз Зхг+! .
Зхз-5т+4 4тз хз 2 ! ) 2 ) 2 2 «-««хз+4хз+2х «-ш хз+2х+3 ' «-42 хз+Зх — ! хз+х« . х« хз х ! 22. 1) 1ип —,„2) йш *-«х +х«' ~ х +2хз+х 23. 1) 1ип (,/х'-х — х); 2) !ип ( /хз+5х-х). О «« $2. ЧИСЛО е. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ Имеет место соотношение (6.!) 1;ш !+ — '=Оп!(!+а) "=е. х Число е — иррациональное (ем 2,718..., более точное значение еге2,7!828!8). Логарифмы с основанием е называются натуральнымн, для ннх введено обозначение !о. Десятичные н натуральные логарифмы связаны соотношениями !8дг М!и!9=0,43431пдб (6.2) 1 1и !т= — !8 А!= 2,303 18 Аг, М где М вЂ” модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
24. Найти натуральные логарифмы чисел: 1) 7; 2) 0,12. О По формуле (6,3) получнм: !) 1п 7=2,303 !87=2,303 0,8451=1,946; 2) 1п012=2 303. 18012=2 303 Г0792=2 303 . ( — 0 9208)= — 2!2!. ° 25. Найти десятичные логарифмы чисел по их натуральным логарифмам: 1) 0,2624; 2) 2,1401. О По формуле (6.2) найдем; !) !8!2(=0,4343 02624=0,1!40; 2) !8!9=0,4343 2,!401=09294. ф 26. Вычислить с помощью таблиц десятичных логарифмов: 1) ез; 2) /е; 3) е з О !) 1Оез 318е=З 04343««1,3029; еэ 2008. 2) 18 /с=0,518е=0,5 0,4343=0,2171; /е=!,648; 3) !Ое 2= — 3!8е= — 3 04343= — 1,3029=26971! е з=004978 б! 27. Вычислить без помощи таблиц: 1) 1п 100; 2) 1п0,001; 3) 1п /10.
О !) !и!00=1о !02=2!п !0=2 2303=4 606; 2) !п0 001=!и !О 2= — 31п !О=-3 2303= — 6909; 3) 1п /!0=0 51о !0=0 5 2 303= 1,!5!. ° 28. Вычислить пределы 'т « 1) !ип 1+-~ ! 2) 1ип(1+2х)"'; 3) 1ип О Выполнив преобразования н используя формулу (6.1), находим: б — 3! б2 81 ,з/х-2 38. 1)!пп з,/х-2. /2 аз+аз 39. 1) 1пп —,,; 2) »»и+а 40. 1) 1пп,; 2) Вт( /хз+х — х).
х з — х+! Зх'з зяз«! 41. 1) !пп 1+ — ); 2) 1пп(1+ — ) . оз, 3) о~, Зх) 42. 1) 1пп 1+-); 2) йщ (1 — -/! . х -» х ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант Вычислите пределы: 4хз -7х+ 3 1) 1пп -з Зхз-2Х- ! х 2) 1лп »-е /3+х- /3 — х 1 — /1 — х' 3) 1лп »-е х 5т«-хз+2х 4) !пп х«-8х +! ( Зз' . 5) 1пп !+-) » ! х 5) 1йп !— 35. 1) йщ —; 2) 1ип б 4.
ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ Для функции у=/(х) разность двух значений аргумента х, и хз из тт(/) называется лриразнением аргуменлю и обозначаетса символом Ьх, т.е. хз-х,=Ьх. Разность двух значений функции Уз =/(хз) и Уз =/(хз) нз Е(/) соответствующих значениям аргумента х, и хз, называется лрираще~ж~ фунллии и обозначается символом Ьу, т.
е. Ьу=г(хз)-/(хз)=уз Уз. Если хз>хз. то Ьх>0; если же х,схо то ЬхсО. Соответственно и приращение фуйкции Ьу>0, если уз>у,, н ЬусО, если у«суп Приращение функции у=/(х) находится по следующей схеме, Пусть аргумент х получил приращение Ьх, тогда иаращеиное значение аргумента есть х+Ьх, а соответствующее ему значение функции есть у+Ьу=/(х+Ьх). Чтобы найти приращение функции, нузкно из наращениого значенив функции вычесть первоначальное: $ 3. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ Вычислите пределы: 82 83 1) 1йп 1+- = 1пп 1+ — = йпз !+— йш 1+ — =ез; зз <и нзлз гг ! з иы*гззе 2) !!щ(1+2Х)зз«=!!щ! !+ = Вщ ~( !+ ) з 1, ! !(2«) злз«1/(2х) йщ ! + еза. 3) 1!щ — = 1пп — = 1пп !'+- — йщ !+- =е '=-. й! 29. Найдите натуральные логарифмы чисел: 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) !О; 5) 0,3; 6) 0,8; 7) 5,8; 8) 0,24; 9) 15,6.
30. Найдите десятичные логарифмы чисел по нх натуральным логарифмам: 1) 2,0794; 2) 3,6889; 3) 1,959. 31. . Вычислите с помощью таблиц десятичных логарифмов: 1) е'! 2) '/е; 3) е ' 32. Вычислите без помощи таблиц: 1) 1п 1000; 2) 1п 0,01; 3) 1п,з/!00. Вычислите пределы: 33. 1) Йп 1+ —; 2) йщ 1-— «-а з, Зх/ ' «-а 1, 4х/ 34. 1) 1пп(1+4Х)'"* 2) 1пп 1+- «е «»»з з/ 36. 1) 1пп; 2) йщ —, «-з 5хз-11х+2' «-з хз-9 '37.
1) 1!т; 2) 1пп 4+я в /4 — з 43 /2Х+1 1 вариант Вычислите пределы: Зхз- !7Х+ !О !) !зщ з з Зх'-1бх+5 ' 5 — х 2) !лп— *-.з 3-,/Ы- 1' /1 +з — 1 3) !!щ » гт Зз Зх'+х+ ! 4) !ип Зхз+хз+ ! х+ 27 2) 1пп « -зз 3/х.!.3 4л+1 1+2+3+ +л )пп; 3) 1пп и-а /е,з+!' «-. !+3+5+...+(Зл-!) у+ЬУ=У(х+Ьх) у»(х) Ьу=»'(к+ Ьх)-у'(х). 43. Дана ф г функция у=х +х+1. Найти приращение аргумента и ь,=2 до х =2,5. приращение функции, если. аргумент ь изменил свое зв ч вачевие от хг 0 шэщем ириршцеиие аргумента: Ьх=х,-х,=2,5-2=0,5.
0 Ншще х,=2 и х =2,5: Вычислим значения ф н ии, фу кц, соответствующие значениям аргумента г=ь.э. Ус =-./(хг)=.Г(2)=2 +2+1.-7; Уз= Г(хг)=У(25)=(25)э+25+ ! =975, Находим пРиРшцение ф»нкции: ЬУ=Уг-У,=»(х ) — /(хз)=9,75 — 7= 44.
Дана ф г и Ьх=0,5. Функция у=х +2х — 4. Найти приращение Ьу при х=2 лию Ьх: 0 Найдем на ешнзе ращ значение фУнкции, соотнетствуюшее и ра у+Ьу (х+Ьх) +2(х+Ьх) 4-хг+2хЬх+(Ьх)з+2х+2Ьх 4. Находим приращение функцяи: у+Ьу=х'+2хЬх+(Ьх)г+2х+2Ьх — 4 у хг+2х 4 ЬУ=2хЬх+2Ьх+(Ьх)г=2 2 0,5+2 0,5+(0,5)г 3,25. 45. Дава фувкция у=х' — 2х+4. Найдите приращение функции, если аргумевт х измевил свое значение от х =3 д,=3,5. фуикции: 1) у=хг+2х; 2) у=х' — 1.
Найдите приращение Ьу при х=З и Ьх=0,1. функция у=17х. Найдите приращение Ьу при х=! и 47. Дана ф . Да фувкция у= /хш Найдите приращение Ьу при х=1 и > 49. Даны функции: 1) у= 72х; 2) у=фх. Найдите приращевис Ь при х=1 и Ьх=0,2. с у 55. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ У зг(х) называетса непРеРывной в тачке х а, Определение 1. Ф нхция '(х) н если предел функции прн х-за ранен значению функции при х=а, т. е.
Вш»(х) =у(а). Определение 2. Ф х=а, если оиа в згой точке оп ункция у=»'(х) называется непрерывкой в точк ределена и бесконечно малому прнращеяию ке аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. 1зш ЬУ=О. Если условие непре ывиости ф епрер ост фуихцни в точке х=а нарушено, то так точку называют тачкой раэрьма фунхцин.
Для элементарных функций справедливы следуюзцнс положения: 1! область непрерывности элементарной функции совпадает с ее областью определения, т, е. элементарная функция непрерывна во всей области определенна; 2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промсжуткь, но не во всех его точках; 3) элементарная функция может иметь разрыв только в гой точке, в которой она не определена. Функция наэываетса непрерывной в прилепе»тке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Ю. Исследовать па непрерывность функции: 1) У=Зх; 2) у= =Зтг — 2» 0 !! Функция»=3т определена лля всех лсйсгвигельных значений аргумента х, т, е.
областью ес определения явлается все числовая прямая. Область непрерывности совпадает с областью ее определения. что легко показать, использовав определение 2. Дадим аргументу х приращение Ьх и найдем приращение функции Ьу: г+Ь! — — 3(т+Ьх)=Зт+ЗЬх »=Зх Ьг=ЗЬ.т Найдем предел Ьг при Ьх- 0; !ип Ь»= !ни ЗЬх=З !ии Ьх=3.0=0. ь. -о ' ьп-о ь-о Равенство 1ип Ь» 0 справедливо при любом конечном значении .т, ь*-о поэтому функция»=Зх непрерывна при любом значении х.
2) Функция определена в промежутке — сс <к<+со, в этом же промежутке оиа непрерывна. Имеем у+Ь»=3(х+Ьх)г — 2(т+Ьх)= 3 .г+б,Ь,+3(Ь )г 2х с=зхг-2х Ь» = б.тЬх+ 3 (Ьх) ' — 2Ьх. Следовательно, !ии Ьу=(бт!инЬх+3(!ипЬх)г — 2!ииЬт)ь о=бх О+3 Ог — 2 О=О Согласно оиределеиисо 2, данная функция непрерывна прн любом конечном значении ьл ° 51. Исследовать ва непрерывность функцию у=хг — 2 при х=З. 0 Для исследования используем определение 1: йш(хг-2)= !ппх -2=3г-2=7; »(3)=Зг — 2=7, ! -з т. с. 1ип(хг — 2)=ЛЗ).
Предел функции при х- 3 равен значению функции *»з ирп .т=З. Следовательно, функция»=.т' — 2 в точке х=З непрерывна. ° Исследуйте на непрерывность функции: 52. 1) у=-5х; 2) у=4х-З. 53.1) =гг'! 2) у= '+2; 3) =г* — г; 4) у= -Зх*; 5) 54. 1) у=х'+4х+3 в точке х 2! 2) у=ха — 5 в точке х=1. б б. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ Если функция у=Г(х) при х=а имеет ха акте — разрыв, то для выяснения справа. р ра разрыва следует найти предел функции Г( ) (х) при х-~а слева и В зависимости от ха хте а пояс ра р ведения функции в окрестностя точки разрыва различают два основных вида разрывов: 1) 1 ад разрыв рада — в этом случае существуют конечныс пределы Бга ут( ) !' э( ); И рада — в этом сл ч случае хотя бы один из пределов йщ Г(х) и 11щ Я(х) не существует или бесконечен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
