Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Найти производные следующих функций: 23. у-(хз-5х+3)е О Полагая и=хз-5х+8, получим у=из. По формуле (7.10) находим у'=би и'=6(хз-5х+8) (хз-5х+8)'=6(х — 5х+8) (2х — 5). Такая подробная запись производится только в процессе освоеииа техники дифференцирования. При навыке промежуточные вычисления проюводятся а уме. ° О ! способ. Применим последовательно формулы (7.! Ц н (7.10): уг= — з . з((х*-Ц'3'= —,,4(х' — Ц'(х' — Ц'= — — К х ((.з цз1з ( з цз ( з ц з 8х(хг Цз 8х х 4(хз — Ц 2х=— (х — Ц (х — Ц П способ.
Введем отрицательный показатель и применим формулу (7.10)." х =(хз — Ц ~; у' -4(х — Ц ~ '(х — Ц'= — 4(х — Ц з 2хиг —. ° (хз — Ц 25. /(х) =,,/4- хт. О Полагая и=4-хз, получим /(х)= /и. По формуле (7.12) находим 1 з -2Х х /'(х) = (4 — хз)'= = —. ° 2 /4 — хт 2 /4-хз /4-хз 26. У=(ха+6) /хз — 3. О По формуле производной произведения получим у'=(х +6)'ч/х~ — 3+( /х — 3)'(х +6), Найцем производные в каждом из слагаемых и выполним преобразо- 2х — х +бх у'=2х,/хз-3+ (ха+6)=2х /хз-3+= 2,/хз — 3 2х( Б~-3)з+х +бх 2х(хз-3)+хз+бх 2хз-бх+хз+бх Зхз /Р— 3 ,,/Р— 3 /ха †,,/ха †27 у з/(х +1) О Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле (7.10) найдем производную степени: у 1/(хз+ Цз (хз+ Циз.
у (хз ! Ц з1з(хз 1 Ц (хз ! Ц з1зЗхз ° Найдите производные следующих функций: 28. 1) у=(хз 2хз+5)з. 2) /(х)=(хз 1)а 29. 1) /(х)=(ахг+бх+с)"; 2) у — (гг хг)4 ! 30. 1)»= „; 2) у= 31. 1) у= ',+')„2) у ("+")" ««. ««««,«= '-«*««; г«««~«=,Р: —,~~; . Ь ) У= /г — х; 4) У= —,/а'-х~; 5) у=-,/х'-аг; б) у —,/2рх а а 33. 1) У=х х' — 1; 2) з=гг /г2г 1 3), (гг+1) /гг =(2х — 1) 1 — 2х, 34 1) У=; 2) у= ! 1 / +6' /хг+1 1 4) у= —, /х~ -! 35 1) +, Зх /хг 1 „~9+х~ х Зб, 1) у= 1„/х~ — 1; 2) «=~/(ах+0)з 3) у /(2х 1)э. 4) Я~=гч/гг+г — 1; вычислите /"'(1), у~ ! ч/! -хг ,/хг+4 9 5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ При прямолинейном двяжеиия точки скорость я я данный момент «=« г/г = а есть производная — от пути г по времени г, яычяслеииая п и «/г Р =о Усхореиие а я даииый момент «=г„есть производная — от скорости и «/я «гг по времени 6 вычислсииая' пря г=«я.
В задачах этого параграфа путь г выражеи я метрах (м), время « — в секундах (с), скорость я — в метрах в секунду (м/с) и ускорение а — в метрах иа секунду в квадрате (м/сг). 37. Точка движется прямолинейно по закону я=21'+!'-4. Найти значения скорости и ускорения в момент времени г=4, О Найдем скорость движения точки я любой момент времени «/г я= — =6«г+2«. Вычислим скорость движения точки в момент г 4: я(4)=6 4 +2 4=104(м/с).
Найдем ускорение дяяжеяия точки я любой момент времени «/я а= —.=12«+2. Вычислим ускорение дяижеиия точки в момент времени «=4: а? а(4)=12.4+2=50(м/сг). йг 38. Точка движется прямолинейно по закону г=бг — г'. В какой момент времени скорость точки окажется равной нулго? О Определим скорость движения точки я любой момент времени ы «гг я= — =6 — 2«. Полагая я=О, получим 6-2«=О, откуда «=3.
Таким образом, а? скорость точки равна нулю я конце 3-й секунды. ° 39. Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени г задан уравнением Т=0,2гг. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени г=10? О Пря яагреваияя тела его температура Т изменяется в зависимости от времени О т. е. Т есть фуихцяя времени: Т=Т(«). Скорость нагревания тела «/Т /«/?«! есть производная температуры по времени: — =0,4Н 1 — /! =0,4.!О 4. Итак, я момент времеви «=10 тело нагревается со скоростью 4 гря««/с. ф 40.
Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону г=Згг+г+4. Найти кинетическую энергию тела (л«пг/2) через 4 с после начала движения. О Найдем скорость движения тела в момент времени а!« н= — =6«+ !. Вычислим скоросп тела в момент «=4; и(4)=6 4+ ! =25(м/с). «/г Определим кинетическую энергию тела я момент «=4: а«яг«2= !О 25гГ2= =3!25 (Дж). ° 41. Сила тока / изменяется в зависимости от времени г по закону /=0,41г (/ — в амперах, / — в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.
С! Скорость изменения силы тоха есть производная силы тока по времени: «// — Одг; — =0,8 8=6,4(А/с). ° ,,(~ 42. Найдите скорость н ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением: 1) г=гз+5гг+4, г=2; 2) г=,/г г=1; 3) г=гг+11г+30, 1=3. 43. Найдите ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением: 1) п=г'+( — 1, г=З; 2) п=гг+5г+1, 1=3.
44. Точка движется прямолинейно по закону г= г г-8!+4. В какой момент времеви скорость точки окажется равной нулю? 45. Температура тела Т изменяется и зависимости от времени ! по закону Т=0,5«' — 21. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени г=5? 46, Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону г=5гг — 2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения. 47. Изменение силы тока / в зависимости от времени г дано уравнением /=2гг — 5г (/ — в амперах, г — в секундах).
Найдите скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды. !01 0 б. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Формулы дифференцирования 53. 1) у=!п —; 2) у=!и —. х+1 2 х — 1 2+х 54, 1) у=!010х; 2) у=)Е(2х+1). 55.' !) у=)а /Ы-1; 2) у=!а /хг-аг 3) у=18,~ха+4; 1 — х 4) у=!п / —. ч/1+х 50. 1) у=1пзЗх; 2) у=1пг(2х+1); 3) у=!п (хг-1). Найти производаые следующих ф н ц й; 40. 11 У=х+!пх; 2) у=518х; 3) у=!а(ахг+Ь) О 1) По формулам (7.1), (7.9) и (7.13а) получим 1 х+1 у'=1+-= —. х х 2) Дифференпируем по формулам (7.4) и (7.14а); 0,4343 2,1715 у'=5 х х 3) По формуле (7.13) получим 1 г, 1 2 ах у'= г (ах Ч-Ь)'= 2ах= . 01 ахг+Ь ах'+Ь ахг+Ь 49.
1) У(х)=1п —; вычислите 7'(2а); 2) у=)п Я~ а+х' О 1) Для упрощения нахождения производной предварительно прологарифмируем дробь: 7(х)=1п(а — х)-1п(а+х). Далее, по формулам (7.1), (7.13), (7.8) и (7.9) получим 1, 1 1 1 2а 2 7'(х)= — (а — х') — (а+х)'= — — — =, У' (2а)= —. а — х а+х а-х а+х х -аг' За 1 1 1 2) Прологарнфмируем корень квадратный: у=-1п(2х)=-1п2+-1пх. По 2 2 2 формулам (7.1), (7.8) и (7,13а) получим у'= — -= —. ° ! 1 ! 2х 2х Найдите производные следующих функдий: 50. 1) 7(х) =3 1ах-хг; вычислите у" (1); 2) ях) = 18х+хз; вычислитеу'( — 1); 3) у=хг!пх; 4) у=(1-1пх)х; 5) 7(г)=гз — 31пг; вычислите /'(3). 51.
1) у= —; 2) у=— 1пх !пх 52. 1) у=!пЗх; 2) у=1п(2хг — 3), 102 $7. ПРОИЗВОДНЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Формулы дифференпирования Найти производные следуюпгих функний: 57. у=2 5"+Зе*. О По формулам (7.1), (7.15а), (7.1ба) и (7.4) получим у'=2 5"1п5+Зе* 21п5.5"+Зе". ° 50. У(х)= —; вычислить 7'(-1). в*+1 е* — 1 О 1 способ. Применив формулы (7.5), (7.1), (7.16а) и (7.9), получим ,х ( ° )( — И"-)( ° ) ( — )-~(~ !) ( ) ( к !)г ( ~ !)г (е~ !)г' 2е ' 2е г( 1)= г г г (е ' — 1)г (1 -е) П спасо б.
Прологарифмировав функцию, находим проюводную логарифма: !пав(х) =1п(е'+1)-1п(е*-1); — 2* ~(х) е"+1 е* — 1 (е*+!)(е"-!) Следовательно, — 2е" е'ч-1 -2е 2е' ( ) (~) (е* + 1)(ьх !) ~ 1 ( + !)( т !) (е» !)г' ° 59. 1) у=З; 2) у=е г* О !) По формуле (7.15) получим г 2 г гхг у'=32т 1п3 (2хг)'=3 1п3 4х=4х 3 1п3.
2) По формуле (7.1б) находим 103 у'=е 2*( — 2х)'=е 2*.(-2)=-2е '". Ф Найдите производные следующих функций: 60. 1) /(х)»»!пх е"; 2) /(х)=хзе'; 3) /(х)=с*-хе"; 4) у=3'е"; 5) у=е"/2"; 6) /(х)=51пх+е"; вычислите /'(1). 61. 1) у='; 2) у=' ". е'+2' е» 62. 1) у=5х'1 2) у»»2/»; 3) у=3"", 63. 1) у=е; 2) у=егг'». 3) у — ег»» 64. 1) У=З( ' — мз); 2) у= — ~. в *-в» б 8. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ Найдите производные следующих функций: х+1 х+! 3+ ! 65.
1) у= —; 2) /(х)»» —; вычислите /" (1); 3) у= —; х — 1' х х+! 4) Яи)=,; вычислите /'(О). 1 66. 1) з,„/з+ ~/0 2) у= — —; 3) Ях) =; вычислите /'(4); 2 3 з/х+1, /х 1/х 4) /"(х) = —; вычислите /" (1). 4+з/х 4 —,„/х »-Рз 67. 1) Я)»»(з" +т)'! вычислите /'(1); 2) у= — ) ,* 'з,х+ ! Зхз 3) у= — „' 4) /(х)=(хз-1)2 /хз+1; вычислите /'( /3), и. гг пл-,ггз„гг» . гггз гг па=,%,ь —,т, вычислите /'(-1); 3) у= ( —; 4) /(х)= —; вычислите /'( /5). ~~+ ах /4+ 22 1-ах » 69. 1) /(х)=; вычислите/'(1); 2)Я«)= (=; вычислите з/х — 1 /8+»2' з/»+ 1 /'(4); 3) /(х); вычислите /'( /3). х+./Г+х2' (1 — 4х 70. 1) у )п |' —,' 2) у=1п(х — з/Т+«2); 3) у=1п(х- /хз — 1); . ,/-.*:.т Б ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
