Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. функция убывает. При переходе через точку х=! производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=3 — с минуса на плюс. Значит, у „=у(1)=1, у„,„=у(3)= — 3. 6. Найдем вторую производную: у"=бк — !2; бх-12=0, х=2. Точка х=2 делит область определения функции на два промежутка — со<х<2 и 2<х<со.
В первом нз них у" <О, а во втором у">О, т. е. в промежутке -оо<х<2 кривая выпукла вверх, а в промежутке 2<х<со выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; — 1). 7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 317, ° 62. Построить график функции у=— х — 3 О 1 Находим область определения функцю,. Р( ) ~3<х<сэ. 2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. При х = 0 получим у = О, т. е. график проходит через начало координат.
4. Т ак как !1в 7(х)ос~со, то прямая х=3 служит вертикальной к зс-с асимптотой графика. Далее находим; Х(Х) с Хз !с= !пп — = 1!в =-1, к-з о х к-зсох(х — 3) (7" (х) — lсх) = Вв ~ — — х~= 1пп = — 3. Гх' 1, Зх зм( х — 3 ~ к зсох — 3 Ь= !ап к +со Сл едовательно, прямая у=х+ 3 является наклонной асимптотой графика. 5. Находим 2х(х — 3) -х* хз — бх х(х — 6 у' ) (х-3)' (х — 3)1 (х-3)1 116 Производная у' обращается в нуль в точках х = 0 и х = 6 и терпит разрыв при х=З. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: — оо < х < О, 0 <х<3, 3<х<6 н б <к< ос.
Исследуем знак у' в каждом нз них; очевидно, что у'>О в промежутках — со <х<0 и 6<х< со (в этих промежутках функция возрастает) и у' < 0 в промежутках 0<х<3 и 3 <х<6 (в этих промежутках функция убывает). При переходе через точку х=О производная меняет знак с плюса на минус, т. е.
это точка максимума, а при переходе через х=б — с минуса на плюс, т. е. это точка минимума. Находим у „=у(0)=0, у,„=у(б)=!2. 6. Находим Рис. 36 (2х — 6)(х-З)1 — 2(х — 3)(х -бх) !8 У (х — 3) ' (х-3) Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х=З. В промежутке — со<х<3 имеем у" <О, т. е.
в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке 3<х< со имеем у" > О, т. е, в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет. 7. На основании полученных данных строим график функции (рис. 36). 9 Исследуйте следующие функции и постройте их графики: 63. !) у=2хз — Вх; 2) у= -Зхз+12х; 3) у=хз+5х+4; 4) у= = — хз+ 2х+ 15. 64. 1) у=-хз — 9 2) ! =«з — Зх' 3) у=Зхз — х; 4) у= — х +х. 3 65. 1) у=-х; 2) у=-х .
4. ! 5 4 ' 5 66. 1) у=хз+бхг+9х+8! 2),у=2хз Зхз 12х-1; 3) у=хз — бхз+16; 4) у=2хз+Зхз 12х — 10 67 !) х4 5хз+4. 2) х4+8 .1 ! 9 1 . 1 68. 1) у= —,; 2) у= —,. х +!' 1-х 69. 1) укк 1 ' 2) 1 (х+1)(х48) 70. 1) у=,; 2) у= хз — 7х+12' х хк 6 — х 71. 1) у= —,; 2) у= —, х' — 1 хг 72. 1) у=х — 7сх; 2) у=х' /х — 3. 73. 1) у=!п(х'+1); 2) у=х!пх. 74 1)у Зсло 2) у е-* 75.
1) у=(х — 1)е"; 2) у=хзе 1!7 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1 вариант 1) Найдите промежускн монотон- 1 1 ности функции у — — хг.Ь -хгг ! 3 2 2) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у=-х'+ 1 3 г + -хз-2х — — на отрезке — 2~х<2. 3) Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых: ! а) у=х +Зх*; б) у=-х' — 4х. 3 1) Найдите промежупси монотонности функции у=хь-4х+4, 2) Найдите наименьшее и наибо льшее значения функции у=-х'+ 1 3 +хг-Зх — 4 на отрезке — 4<к<2. 3) Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых: а) у=х' — 12х'+145; б) у=-х'+ 1 3 г +х ф —. 3 4) Дан закон прямолинейного 1 двньсения точки г= — — сг+ Зс'+ 5сф 3 3 (с — в секундах, г — в метрах). Найдите максимальную скорость ли- дииженил этой точки.
4) Дан закон прямолинейного 1 1 г 1 движения то~хи в= — - с'+ — с + — с+ 6 2 2 +1 (с — в сехундах, в — в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки. Глава 9 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 8 1. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ДУГ И УГЛОВ 1. Основные фа лы св нам изме г исоа форму, язаииые с радиаииым измерением дуг. П и ра репин ду ( тветствующих им центральных углов) за е ини мерения принимается однао — а, Ра р и — дуга, длина которой равна радиусу этой дуги.
дианная мера дуги вычисляется по формуле а=//л, (9 1) где а — ралнаиная мера дуги; / — длина дуги окру; и-- жности; --радиус этой Формула перего от ре* да градусного измерения к радиалному имеет вид а=(сс/180') а, (9.2 ( ) где а — градусная мера дуги (угла). Радианная мера !' равна 0,0175 рад. Формула перехода от и радиа ного измерения к градусному имеет ид вь в а (180'/я) а.
(9.3) Грзлусная мера ! рад равна 57 17'44",8м57',3. Длина дуги окружности в ади ра на р дианной мере дуги, умноженной на ра- Площадь кругового сектора равна половине радианной меры дуги сектора, умноженной на квадрат радиуса круга: Ю =айг/2. (9.5) 2. Основные повитая, сввзавиые с вряпмтельным дввжеяием точки. При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси различают две скорости: линейную и угловую. Скорость любой точхи твердого тела во вращательном движении называется линейной скоростью. Линейная скорость о точки при равномерном движении по окружности радиуса д вычисляется по формуле ь = 2яй/Т, (9.6) где Т вЂ” период вращения, т.
е. время (в секундах), за которое совершается один полный оборот точки. Угол, на который поворачивается радиус любой точки равномерно вращающегося твердого тела за одну секунду, называется угловой скороопью. угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с). Зависимость между угловой скороспю м и периодом вращения Т выражается формулой в= 2я/Т. (9.7) Линейная скорость о точки, находящейся иа расстоянии Д от оси вращения, н ее угловая скорость связаны соотношением е= ай.
(9.8) При неравномерном вращении твердого тела его угловой скоростью в называется скорость изменения угла ф за время с. Угловая скоросп, (рад/с) в этом случае есть производная угла поворота ф по времени г. с/ф ю= (9.9) с/с Угловое ускорение е (рад/с*) есть производная от угловой скорости м по времени с с/ю а= (9.! О) й 1. Чему равна точная раднанная мера дуг: 1) 240'; 2) 300'? О По формуле (9.2) получим: 1) а=(к/180') 240'=4я/3; 2) а=(к/180') 300'=5к/3. ° 2.
Чему равна точная градусная мера дуг: 1) 7к/6; 2) 5п/4? О По формуле (9.3) получим: !) а=(180'/я) (7к/6)=210'; 2) а=(180'/я) (5п/4)=225'. ° 3. Колесо, радиус которого равен 0,65 м, повернулось на угол 1,4 рад. Найти длнйу пути, пройденного точкой обода колеса. /=ад. (9.4) 118 119 Сс По формуле (94) находим /=1,4 0,65=0,91 (м), ° 4.
Дуга кругового сектора составляет 0,94 рад. Вычислить площалс сектора, если радиус круга равен 0,65м. О По формуле (95) находим Ю„ю =05 О 94 О 65т геО 20 (мт). ° 5. Точка колеса, находящаяся от его центра на расстоянии 0,56 м, равномерно вращается с линейной скоростью 4,6 м/с. Найти период врыцения колеса. О Из формулы (9.6) находим Т и подставляем а найденное для Т выражение числовые значения й и е: Т=2ян/е 2к 0,56/4,6се0,76 (с), сй б. Линейная скорость на ободе равномерно вращающегося маховика, ратпсус которого 0,64м, равна 256 м/с. Найти угловую скорость маховика.
О Из формулы (9.8) находим угловую скорость ы и подстааляем а полученное выражение числовые значения е и Тс се = е/Л = 256/0,64 = 400 (рад/с). ° 7. Прн торможении маховик за ! с поворачивается на угол ср=З+81 — тз. Найти: 1) угловую скорость вращения маховика при 1=3 с; 2) угловое ускорение в момент т; 3) момент, когда вращение прекратится. О 1) Угловая скорость есть производная угла поворота су по аременн 0 Асу т. е. ю= — =8-2с. Найдем угловую скорость в момент т=З с: ю(3)=8— Ат — 2 3=2 (рад/с). 2) Угловое ускорение а есть проюаодная от угловой скорости ы по Ыю времени т, т. е.
е= — =-2 (рад/ст), с/т 3) Полагая а=О, найдем с: 8 — 2!=0, т=4 с. ° 8. Чему равна точная радианная мера дуг (устно): 1) 30; 2) 45'; 3) 60'„' 4) 90'; 5) !20'; 6) 135'; 7) 150'; 8) 180'; 9) 210', 10) 225', 11) 270'; 12) 330'7 9. На микрокалькуляторе с помощью алгоритма [ А / ( Г- Р ~ (переведите градусы в радианы: 1) 15,3; 2) 71'17; 3) 15'28; 4) 115',73; 5) 215',2; 6) 312',32; 7) 57'42; 8) 87',5; 9) 1', 10) 0',1, 10. Найдите радианную меру дуг: 1) 14'5„2) 27',3; 3) 75'; 4) 130', 5) 38',7; 6) 86'. 11. Найдите градусную меру дуг: 1) 5л/36; 2) 7л/!2; 3) 11л/!8; 4) 5тс/9; 5) 11л/20; 6) 13л/30; 7) 11л/6; 8) 4тс/3.
12. На микрокалькуляторе с помощью алгоритма ~А' ~Р- Г переведите радианы в градусы: 1) 0„3008; 2) 0,5728; 3) 1,0472; 4) 1,3454; 5) 1,4850; 6) 1,7453. 13. Вычислите радиус окружности, если ее дуга длиной 0,84 м содержит 1,5 рад. 14. Вычислите периметр сектора, дуга которого содержит 0,85 рад, а радиус окружности равен 0,38 м. 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
