Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Радиус крута равен 0,56 м, а площадь кругового сектора составляет 0,72 ма. Найдите дугу сектора в радианах. !20 16. Круговой сектор, имеющий площадь 0,39 мз, стягивается дугой в 1,4 рад, Найдите радиус круга. 17. Точка на ободе равномерно врыцаюшегося маховика имеет линейную скорость 1,6 м/с. Период вращения маховика равен л/4 с. Найдите радиус маховика.
18. Точка, находящаяся на расстоянии 0,12 м от оси вращения равномерно врыцающейся шестеренки, имеет линейную скорость 0,48 м/с. Найдите период вращения шестеренки. 19. Колесо, радиус которого 0,125 м, равномерно вращается с угловой скоростью 24 рал/с. Вычислите линейную скорость в точке, лежащей на ободе колеса. 20. Тело вращается вокруг оси по закону ср= 1От-тз. Найдите." 1) угловую скорость вращения в момент 1=2 с; 2) угловое ускорение в момент 0 3) момент, когда вращение прекратится.
21. Углы треугольника относятся, как 1:3:5. Вычислите их величины в радианиой мере. 22. Четыре точки делят окружность в отношении 3: 4: 5: б. Вычислите в радианной мере величины соответствующих дуг. 23. Радиусом Те=О,!2м описана дуга, радианная мера которой равна 2,5. Найдите длину этой дуги. 24. Вычислите в радианной мере величину вписанного угла, опирающегося на дугу, радианная мера которой равна 4л/15. 25. Величина дуги в радианной мере равна 5л/9.
Под каким углом из точек этой дуги видна стягивающая ее хорда? 26. Вычислите (рал/с) угловую скорость часовой, минутной и секундной стрелок. 8 2. ЕДИНИЧНАЯ ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ Окружность с центром а начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной окрулсносгнью. Уравнение единичной окружности имеет вид хт+у'=1 (рис.
37). Точку А(1; 0) единичной окружности примем за начало отсчета дуг, а положительную полуось ОХ вЂ” за началь- л ную сторону центрального угла, образуемого радиусом-вектором ОМ с осью ОХ (точка М лежит на единичной окружности). Вращение радиуса-вектора ОМ от положительной полуоси ОХ против движения часовой стрелки назовем положительным, а дугу АМ и центральный угол С АОМ вЂ” положительными; при противо- 2 'положном вращении (по часовой стрел- Рис. 37 ке) — отрицательными.
Дуги ! четверти заключены а промежутке 0<а<я/2, П четверти — а промежутке л/2 < а < я, П1 четверти — н промежуске я <а < Зя/2 и !У четверти — а промежутке Зл/2<а<2л: 121 Существует бесконечное множество дуг, имеющих данное начало А н данный конец М (данные начальную н конечную стороны угла). Множество зтнх дуг (углов), как положительных, так и отрицательных, выражается формулой (9.1!) 27. Указать на единичной окружности: 1) точку М дуги АМ= 17к; 2) точку М дуги АМ=1950; 3) точку М дуги АМ= = — 1380'.
0 !) По формуле (9.11) получим !7к=!бк+к=2к 8ч-к, lсм8. Конец дуги АМ оканчивается в точке М (-1; 0). 2) Находим АМ=!950'=360' 5+150', 1=5. Конец дуги АМ оканчн- веется во П четверти. 3) Имеем АМ = — !380'=360' ( — 4) +60',?с= -4. Конец дуги АМ окан- чивается в 1 четверти. Здесь дуга а, представлена наименьшим по абсолютной величине числом (а,=60'). Чтобы а, было наименьшим по абсолютной величине числом, его надо брать в промежутке 0<а, < !80' илн — !80 <а,<0. Ф 28. Записать в общем виде концы дуг единичной окружности: 1) абсциссы которых равны нулю; 2) ординаты которых равны нулю.
(3 !) Концы дуг к/2 н Зн/2 ( — к/2) имеют абсциссы, равные нулю; следовательно, множество концов дуг с абсцвссой, равной нулю, записывается в виде к/2+к)с, Л вЕ, 2) ) Концы луг 0 (2п) я к имеют ордннаты, равные нулю; следовательно, множество концов луг с ординатой, равной нулю, записывается в виде кй, не Е. Ф 29.
Укажите, в какой четверти единичной окружности оканчиваются дуги: 1) 120'; 2) 315'; 3) — 220'! 4) 850*; 5) 500'! 6) — 120'! 7) к/4; 8) 7к/6; 9) — 5к/3; 10) 4к/15; 11) 8к/3; 12) — 5к/4; 13) 0,76; 14) 5,8:, 15) — 7,2; 16) — 3,7; 17) 15; 18) 3,3. 30. Представьте угол а по формуле (9.11), взяв наименьший по абсолютной величине угол ас, если: 1) а=2200'; 2) а= — 550'! 3) а= — 740'; 4) се=1!70'; 5) а= — !450"; 6) а=520', !22 а=2кй+ам нли а=360'А+а„ где 0<ос <2к (0<а<360*) н ?сеЕ. Если каждому действительному числу а на единпчной окружности соответствует точка М,— конец дуги АМ, для которой дуга АМ имеет величину а, то такая единичная окружность называется чнслоеой единичной окуулсносшью. Длина всей числовой единичной окружности равна 2п.
Если два числа отличаются друг от друга на целое кратное 2к, то на числовой единичной окружности нм соответствует одна н та же точка. Если два числа соответствуют одной н той же точке числовой единичной окружности, то нх разность кратна 2к. 31. Запишите в общем виде дуги, оканчивающиеся в точках: 1) А (1; О); 2) В (О; 1); 3) С (- 1; 0); 4) В (О; — 1), 32. Единичная окружность разделена на 12 равных частей, начиная от точки А (1; 0). Запишите множества концов дуг, оканчивающихся в точках деления. 33.
Найдите значения дуг: 1) к/с, 2) к/4+2к/с; 3) к/3+2к/с; 4) ( — 1)'к/6+к/с при /с=-2; — 1; 0; 1; 2. 34. На единичной окружности отметьте дуги а, удовлетворяющие условиям: 1) 0<сс<п/4; 2) к/4<а<к/3; 3) — к/6<а<к/6; 4) — 2к/3<сс<0; 5) !а!<к/3; 6) !а!<к/2. 35. На единичной окружности: 1) постройте точки, соответствующие числам к/6; к/4; к/3; 2к/3; — 2к/3; — Зсс/4; 2) постройте приближенно точки, соответствующие числам 1,5; 3,5; 5; 6; — 2; — 4. 36. Точка единичной окружности, лежашдя в конце дуги к/6, начала равномерное движение по окружности в положительном направлении со скоростью ш=4к/3 рад/с.
В какой четверти окажется точка через: 1) 2 с; 2) 3 с; 3) 4 с; 4) 10 с? 37. Напишите общий внд дуг а, если: 1) 2а=п/4+2к/с; 2) За — к/6=5п/6+2к/с; 3) 4а+к/3=2к/3+и/с; 4) 1О'+сс=50'+180'к. 8 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА Абсцисса Х точки М„числовой единичной окружности (рнс. 38) называется косннусом числа а: Х= сох а. (9.12) у Ордвната У точки М, числовой единичной окружности называется синусом числа сс (9. ! 3) у=вша. Областью определении косинуса н синуса служит множество всех действительных Чисел, т. е, В(сова)=Е, В(з!ва)=Е, Отношение синуса числа а к его косинусу называется тангенсом числа а: 18 а = з!в а/соз а. (9.14) Рис. 38 Область определения тангенса — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида к/2+кй, ?сеЕ.
Отношение косинуса числа а к его синусу накаляется конынгенсом числа а: ссй а = сов а/3!в а (9.15) Область определения котангенса — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида к?с, ЛеЕ. Величина, обратная косинусу числа а, называется секансом числа а: зес а=1/соз а. (9.16) Область определения секанса †множест всех действительных чисел, за исключением чисел вида к/2+к?с, ?сеЕ. !23 аблица П1 Т соэсс а = 1/зси сх. (937) (938) (9.19) (9.20) (9.21) !24 !25 Величина, обратная синусу числа а, называется косекансом числа сс Область определения косеканса — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида л/с, /свЕ. Прн решении задач тригонометрические функции рассматриваются илн как функции числа, или как функции дуги (угла), заданные на множестве всех действительных чисел или на множестве всех дуг (углов).
При этом каждому действительному чяслу илн каждой дуге (углу) соответствует единственное значение грвз онометрнческой функции. Функции созе н япа ограничены, так как — ! <Е(сова)<1 н - ! ц Е (я и а) < 1. Функции сяа н ссйа не ограничены, так как каждая нз них может принимать любое действительное значение, т. е. Е(сяа)=К и Е(ссйа)=К. 38. Могут ли синус и косинус быть равными: 1) 0,85; 2) 7/6; 3) з/гЗ/ /3. 4) 1 01' 5) 3/ /!О' 6) /гГО/к; 7) а/ ~аг+Ьх а>0, Ь>0; 8) а/ /а' — Ь', а>0, !Ь|<п? 39.
Могут ли синус, косинус, тангенс и котангенс принимать значение, равное: 1) 1/2; 2) /2; 3) — 5,1; 4) /0,5; 5) 2,2; 6) /3/2? 40. Могут ли функции зш а, соз а, !Е а, с!8 а принимать отрицательные значения, если а выражает величину угла треугольника2 41. Чем отличаются друг от друга области определения япа и !Ва? 42. Сравните абсолютную величину тангенса любого числа с абсолютной величиной синуса этого числа. 43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
