Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 27
Текст из файла (страница 27)
50). Дуга атссозт пз промежутка 0<атссозтцл, косинус которой равен т, называется главным решением уравнения сов х=иь Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению,сох х=т, находится прибавлением к найденным двум дугам любого целого числа периодов косинуса: х= йатссозт+2л/т. Если !тн!>1, то уравнение решений не имеет. Частные случаи: созх= — 1, х= хл+2~й, или х=л(2л+1); созх=О, х=л/2+тй; созх=1, х=2л/т. 2) Главным решением является дуга АМ,=л — л/3=2к/3 нз промежутка О<2л/3<к, косинус которой равен — !/2 (рис.
5!). Множество корней уравнения имеет виц хйл/3+2л/т. ф 125. 1) !Ех=т; 2) тйх=ч~З. О 1) Дуга атстйт из промекутка -л/2<атстйт<л/2, тангенс которой равен т, называется главным решением уравнения тйх=т. Множество жпх !4! Рис, 51 Рис. 52 Рис. 53 искомых дуг, удовлетворяющих уравнению !йх=е, находится прибавлением любого целого числа периодов тангенса: х агс!ке+гй.
Частный случай: !Вх««0, х=вй. 2) Главным решением является дуга л/3 из промежутка — и/2 <к/3 <л/2, тангенс которой равен .,/3 (рис. 52). Множество корней уравнения имеет вид л/3+л/г. ° 126. 1) с!ях=е; 2) с!кх= — 1. О 1) Дуга агссгйе из промежутка 0<ага!бе<к, котаигеис которой равен т, называется главным решением уравнения с!йх=е.
Множество всех искомых дуг, удовлепюряющях уравнению с!к х=т, иаходится прибаалеияем любого целого числа периодов котапгеиса: х = агсс!й т+'1й. Частный случай; с!ах=0, х=л/2+1й. 2) Главным решением является 1нга АМ=к-л/4=За/4 из промежутка 0<Зк/4<к, котапгеис которой равен — 1 (рис. 53).
Множество корней ураввеиия имеет вид Зк/4+1й. ° 121..1) в!п2»=1/2; 2) !6(Зх+2)«« — 1; 3) сов(совх)=1/2. О 1) 2х=(-1)'л/б+1й; множество корней уравиепив имеет вид к лл (-!)' — + — ' !2 2 ) »+ 2 = — л/4+ л!1; зх = -к/4 — 2+ 1й; множество корпев ураввевшя имеет вид л 2 л/г + 12 3 3' 3) сов»= хи/3+21й; последиее Уравнение ие имеет корией, так как и любом /гяХ его правая часть по абсолютной величине превосходят единицу. ® 128, 1) в(пзх=е! 2) совзх=е (0<т<1).
в!пх= /т, ~ х=~й+(-!)«агсв!и,,/е, О 1) в!п х=т«ь «ь в!пх=-«/т 1х=1й — ( — !)"агойп /е. 142 В этой записи решения миожитель ( — 1)", регулирующий знак вторых й фо уле берется знак плюс,.то для этого же /1 во второй †зн . Поэтом минус,и наоборот (в зависимости от четности или вечетвости !1). Поэ у обе формулы можно объедииить в одну, более простую: » = ля хазов!и /т. совх= /т, ~ »=2л/с+атосов /е, совх=- /т »=2л/!х(л-агссов /т) х=2л/стаюсов /т, х=л(2»х!)+атосов /е. Щьедивив обе формулы, получим »=лика»осев /т.
Э 120. 1) !Взхч«е) 2) с!Взх=т (е>О) гк"="/™ Г»=л +ага!я~ е' »»=ля~ага!а~/е. !) 101» т,„, «ь~ !0»= /т ~ х =л/е — а»с!к «/т 2) Аиалогичио иаходим х=л/1»аюс!й,/е ° 130. 1) 2в(пзх — 7вшх+З=О; 2) 4совзх+в!пх-1=0; 3) !Вхсовх+ +!Вх — совх — 1=0; 4) !йзх=!ях. О 1) Решаем это уравиепяе относительно в!пх: Гв!их=!/Д Гх=( — !)«л/6+ай, 2япзх — 7япх+3=0«ь~ Отеее: ( — !)" я/б+1й. 2) Имеем Гв1пх= — 3/4, 4(1-япзх)+ япх — ! = 0«ь4 яп',х — япх — 3 = х=( — 1)"«1агсв!п(З/4)+1й, х = л/2+ 2л/с.
Ответ: ( — !)"«загса!п(З/4)+~й, к/2+21й. ((сов»+ !)(!Кх-!)=О, 3) !кхсовх+ !ах-сов х — ! =0«ь (ХЖл/2+ х Фк/2+ 1й Г = (21+!) Г.=.рй,!) 1 »-,ьл/2+к/, "=л 4+л . Отеее: к(2/1+1); к/4+к/с. 1»кл/2+ ™ ( »Фк/2+к/г !43 Рнс. 55 Рнс. 54 или $1ПХ<ГК, $1ПХ>Ф, Себх<Ш, СОВХ>Ш, !ах<!к, !йх>т, с1йх<т, с!цх>ш, ~Г= !х= кк/4+к/гче!х ™' Ответ. и/г; +к/4+~й, ф к~к~+к~, ~ х= йл/4+!й. 131. 1) вшх-совх=О; 2) вшзх — 4япхсовх+Зсов'х=О; 3) 2в!пзх+5япхсовх+совах — 4=0. !апх/совх=1, (!ах=1, О 1) в1пх — совх=ачь!( 'чь~ ' ч»х=к/4+!й.
(созхФО чь х~к/2+!й 2) Решаем однородное уравнение: ~ з!пзх 4япхсовк 3ажзх ° з — з — з + =О, ап х — 4илхсозх+Зсоз х=ач~ совах, совах совах '<„-. ~ совхФО !йзх — 4!ах+3=О, 1 Г!ах=1, 1 х=к/4+п/г, 'с> 1!ах=3 ~ х=агс!83+к/г ~ хФ л/2+ля х чг к~+ гй х 4 к)/2+ и/г х = к/4+гй, Ответ: л/4+!й, агс!83+~й. х = агс!й 3+ к/с. 3) Умножив свободный член на алзх+сов'х, получим однородное уравнение: 2апзх+5апхсозх+совах — 4(япзх+совзх)=О, 2ипзх-5апхсозх+Зсовзх=а. Разделив все члены 'на совах (хч!к/2+!й), получим !В»=1, х=к/4+и/г, 2!й х-5!ах+3» !Вх = 3/2 х = агс!й(3/2) + зй.
Ощвак: к/4+!й, в!с!В(3/2)+~й. ° Решите уравнения: 13Х 1) в1пх=,/2/2; 2) япх= —,,/2/2; 3) япх= — /3/2; 4) япк= =,,/3/2; 5) в!их=4/5. 133. 1) совк=1/2; 2) совх= — /2/2; 3) совх= — 3/2; 4) совх= =ч/гЗ/2; 5) сов х= — 0,3. 134. 1) 18х= — 3/3; 2) !Ох=1; 3) !Ох=1,32?. 135. 1) с!Ох=1; 2) с!Вх= —,„lЗ; 3) с!Вх= — '3/3; 4) с!Ох=2,05. 136.
1) в!п(х/2+л/6)= 1/4; 2) !8(Зх+1)=1; 3) !83х= /3/3; 4) вшлх= /2/2; Я совхз=1. 137. !) яп'х=1/2; 2) вщ'х=1; 3) в!пзх=З/4; 4) в!п'х=О. 138. 1) совах=1; 2) совах=1/2; 3) совах=1/9; 4) совах=О. 139. 1) !8зх=1; 2) с!Взх=З; 3) !бах=1/3. 140. 1) 2яп'к+Зсо х — 3=0; 2) совах — соек — 2=0; 3) 5 с!Взх— — 8с!Ох+3=0; 4) Зв1пзх+совах — 2=0; 5) 7в!пзх — 5совзх+2=0; 6) !Ох+с!Ох=О; 7) апзх — совах=совх. 141.
1) сов2х=1; 2) !8(х — л/2)=1; 3) !8(2х+л/2)= — 1; 4) !8х(в!пх+совх)=0; 5) совх(!8х — 1)=0; 6) !8(х/2)(1+совх)=0. 144 142. 1) вш2х/совх=О; 2) сов'х+в1пхсовх — 1 0; 3) в!пхм1/совх; 4) !Взх+!Озх — 3!Вх — 3=0; 5) 2в1пх — Зсовх=О. 143. 1) вшах-10вшксовх+21совзх=О; 2) 8вгпзх+вшхсовх+ +совах — 4=0„3) япзх-бвгпхсовх+5совзх=О; 4) 9в1пзх+25совзх+ + 32 вш х сов х = 25. й 10. тРиГОнОметРические неРАВенстВА Простейинмп триеонометрнчеекпмн нерееенениами называются нера- венства где ш — лаиное число.
Решить простейшее тригонометрическое неравенство — значит найти множество всех значений аргумента (дуг или углов), которые обращают 1ялное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенства; 144. 1) в!их<1/2; 2) !в!пх!>1/2. С2 1) Учитывая свойство ограниченности синуса, данное неравенство можно переписать так: — 1аз1пх<1/2. Имеем АМ,=к/б, АМ,= — к-к/б= = — 7к/6 (рис.
54). Неравенству апхс1/2 удовлетвораот дуги из промежутка -7л/6<к<к/6. В силу периодичности синуса общим решением служит множество дуг вида — 7п/6+ай <к с п/6-1-2пЕ 2) Это неравенство выполняется для всех дуг х, схсхз и хз<хсх, где х,=к/6, х,=л-к/6=5п/6, хз — — х,+к=к/6+к и х,=х,+и 5к/б+к, т. е. для л/6 <х < 5л/6 и к/б+!!< к < 5к/6+ к (рис.
55). Общим решением служат множество дуг вида л/6+кк<х<5к/6+гй. ° 145. 1) совх> — 1/2; 2) совх< — 1/2; 3) !совх!> гг2/2. С2 1) Перепишем данное неравенство так: — 112<снах<1. Неравенству сов х > — 112 удовлетворяют дуга нз промежутка — 2к/3 <х с 2к/3 (см. рис. 51). Общим решением служит множество дуг вида — 2к/3+ 2~й < х < 2к/3+ + 2!й.
2) Учитывая свойство ограниченности косинуса, неравенство можно переписать так: — 1а сов х < — 112. Имеем: АМ, =п — п/3 = 2п/3, АМ, = 10 — 3162 !45 2) Зяп(х(2+я/6)=3/2; , 3) соз2х!8х=О; 4) 4япзх+4япзх-Зяпх — 3=0; 5) 3 зшзх+2япхсозх — 5соззх=О. 2) соз(х/2)=О; 3) зшЗх 0,5; 4) 2созх+!8х-218хсозх-1=0; 5) 2з1пзх-Зсоззх+япхсозх О. Рис.
56 Рис. 57 ( 7я О !) з,п~— [ б 2к 2) соз [, ! 3) з!п7-я 3 147 =я+к/3=4я/3 (рис. 56). Неравенству созх> — !/2 удовлетворяют дуги из промежутка ]2я(3, 4я/3[. В силу периодичности косинуса общим решением служит множество дуг анна 2я(3+2я(с<х<4я(3+2я(г. 3) Это неравенство выполняется для всех дуг ха <х<х, и х4 <х <ха, где х, я/4, хз=-я/4, хз=х,+я=я(4+к и х =хз-я=-к/4-я, т.
е. для -я/4<х<к/4 и — я(4 — я<х<я/4+я. Общим решением неравенства служит мяожество дуг вида — я(4+~й<х<я/4+к(г (рис. 57). ° 146. 1) !Вх> /3; 2) с!Вх>1, О 1) Учитывая свойство неограниченности тангенса, имеем ,( 3<!йх<+со. Неравенству !8х> /3 удовлетворяют дуги из промежутка к/3<х<я/2, В силу периодичности твнгенса общим решением слуилт множество дуг вида я/Ъ+~й<х<я(2+я(г. 2) Учитывая свойство неограниченности котангенса, имеем !<с!8х<+со.
Неравенству с!8х>1 удовлетворяют дуги из промежутка О < х < я/4 (рис. 58). Общим решением служит множество дуг вада ~й<х<я(4+~й. Ь 147. 1) з(п(х/2)>1/2; 2) !82х< — 1. С! 1) я(б+2пс<х/2<5я(б+2я(г, я(3+4кк<х<5я(3+4яя. 2) -я(2+я(с<2х< — я(4+ай, -к(4+~й(2<к<я(8+зй~2.
Решите нераненстна: 148. 1) в!Пх<0; 2) $1пх>0; 3) з1пх<1; 4) зшх< — 1/2; 5) япх> — 1/2; 6) в!их>- /3/2; 7) ~з(пх~<1/2; 8) в)пх>1/2. 149. 1) созх<0; 2) созх>0; 3) созх> -1; 4) созх<1; 5) созх<1/2; 6) созх>1/2; 7) !созх!<1/2. 150. 1) !8х< — /3; 2) !8х>-,/3; 3) ~!8х~< (3. 151. 1) с!Вх< — 1; 2) с!8х> — 1; 3) с!Вх> р~З; 4)!с!йх!<1. 152. 1) ззп2х< — 1/2; 2) соз(х/2)> — 1/2; 3) с!8(х/3)>1; 4) !83х> — 1; 5) з(пх> — 1; 6) зшх< —,/2/2; 7) зшх> — /2/2; 8) совх< —.„(3/2; 9) !Вх< /3/3; 10) с!Вх<1. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант П вариант Решите неравенство и уравнения: Реш~пе неравенство и уравнения: 1) яп(х/2) <0; !) с!8х> — /3; 146 8 11.
СВОЙСТВО ПОЛУПВРИОДА СИНУСА И КОСИНУСА Функции синус и косинус прн увеличении или уменьшении аргумента иа я изменвются только по знаку: япа= — яп(а~я); (9.30) соз а = — соз (а ~ я). (9.3!) Если к аргументу прибавить я, умноженное на любое нечетное число, то получатся формулы япа= -ми[а+я(2(г+ !)3, (932) сова=-сов[а+к(2я+!)1, (933) т. е, функции сянус и косинус пря изменении аргумента на я(28+1) изменяются только по знаку. Рис. 58 153. Вычислить: 1) яп 150', 2) вш( — 120'); 3) сов 225'; 4) соз( — 240'); 5) зш570'; 6) зш( — 585 ); 7) сов600', С! В примерах !) — 4) используем формулы (9.30) я (9.31), а также свойства четности я нечетности тригонометрических функций: 1) зш 150'= -з!и (! 50' — 180') = — яп (- ЗО') = зш ЗО'= 1/2; 2) яп( — 120')= — яп(-120'+180')= — з!пбО'= — (3/2; 3) соз225'= — соз(225' — 180')= — соз45'= — /2Д; 4), соз ( — 240') — сов ( — 240'+ 180') = — сов(-60') = — соз 60' — 1(2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
