Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В примерах 5) — 7) применкем формулы (9.32) и (9.33): 5) яп 570'= -з!п(570' — 3 180)= -япЗО'= -!/2; б) яп(-585')= — з!п( — 585'+3 !80')= -з(п( — 45') з!п45'=,/2Д; 7) созбОО'= -соз(600' — 3.180')= -сов бО*= — !!2. ° 1 154. Вычислить: 1) ап(-7к/6); 2) соз( — 2л/3); 3) в(п7-я. ( 1 ~,( яз~ .я ! б! б 2' = — з!и — 1 — я+к = — 3!и — — =3!и-= 3 2' = — соз — + я = — соз -з!п~ 7-я-7я -яп=- — —. Ь 1 3 ) 3 2' Вычислите: 155. 1) зш( — 225'); 2) соз( — 150 ); 3) соз135', 4) зш135'; 5) вш 210'; 6) сов 570'. 156. 1) вш(2к/3); 2) соз( — Зк/4); 3) яп(5я/4); 4) зш(-5к/4); 5) ап(31к/6); 6) соз(5к/4).
157. 1) згп( — 2,76); .2) соз( — 3,87)' 3) соз4,33; 4) з!п4,26. 8 12. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 5) !8315'! 14= 5) сов 210'! 11) соз 280'; !8 335'. 5) сов 315'! 11) взп 315'! Таблица Ч! 8 13. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 149 !48 Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов л/гкп, л~п, Зл/гкп, глкп через тригонометрические фунхции угла а (табл. ЧТ). При применевви формул ирнведення рекомецауется пользоваться следующими правилами: 1. Если и откладывается от оси ОХ, то наименование приводимой функцви, т.
е. функции аргумента — и, якп, 2к~ и, не изменяется. Если же и откладывается от оси Оу, то наименование пряводимой функции, т, е. функции аргумента л/гтп, Зл/гтп, заменяется на сходное (синус — на косинус, тангенс — на котангенс, и наоборот). 2. Знак, с которым нужно брать тригонометрическую функцию в.правой части, находится по знаку левой части в предположении, что О<и<к/2. 158. Составить формулу приведении для !8(Зк/2+и). О Так как а откладывается от оси ОУ, то,тангенс следует заменить на котангенс.
Формула верна прн всех допустимых значениях аргумента и, следовательно, она верна и дяя О<и<к/2; но в этом случае дуга Зк/2+и оканчивается в 1Ч четверти, в которой тангенс отрицателен. Значит, !8(Зл/2+а) — с!ба. ® Вычислить: 159. 1) ап135'; 2) с!8150'; 3) сов70'; 4) сов240'; 5) ап310'; 6) !8320'. О 1) яп !35'=з!п(90'+45')=сов45'=,/2/2; 2) с!81%'=с!8(90'+60') — !860' — /3; 3) соз70'=сов(90' — 20') в!пг!!'=03420; 4) сов 240'= сов (270' — ЗО') = — з!и ЗО'= — 1/2; б) !8 320'=!8(270'+ 50')= -с!850'= — 0,8391. 0В 160. 1) в!п225', 2) сов150'! 3) !8210'! 4) яп330'; 6) сов 240'; 7) ап 200'! 8) с!8140'. О 1) вщ225' в!п(180'+45')= — в!п45*=- /2/2; 2) соз 150' сов (180' — 30') = — соз 30'= —.,/3/2; 3) !8 210' гй (180'+ ЗО') = !8 ЗО' =,„гЗ/3; 4) з!пЗЗО'=з!п(360 -ЗО )=-япЗО = — 1/2; 5) !8315'=!8(360'-45')= — !845'= — 1; б) соз240'=сов(180'+60')=-созбО'= — 1/2; 7) яп200'=яп(180'+20')= -Ип20'= — 0,3420; 8) с!8 !40'=с!8(!80' — 40')= — с!840'= — 1,!918 ° 161, 1) в(п2,15; 2) !84,85.
О !) яп2,15=яп(3,14-0,99)=яп0,99=яп57' 0,84; г) !8485-гй(485-3,!4) = !8 1,7! =!8(1,57+0,!4) = - 180 = — с!88'= -7,1. 49 Вычислите: 162. 1) сов!50'; 2) !8135'; 3) ап120'; 4) с!8130'; 6) в(п 260', 7) !8220'! 8) с!8200'; 9) з!п 210'! 10) ап 350', 12) !8340'; 13) с!8325'! 14) ап345'! 15) сов295'; 16) 163. 1) сов225'; 2) в!п1%'; 3) с!8210; 4) !8225; 6) !8 120'! 7) с!8150'! 8) взп220'; 9) сов230'; 10) !8250', 12) сов 340'. 164.
1) ввп3,52; 2) сов3,68; 3) с!85,Н. 165. Вычислите; 1) ап 9135'+сов (- 585')+!8 1395'+с!8( — 630'); 2) з!п/-810)+сов( — 900 )+!8('-395')с!8575'; 3) вш( — 2383')-ап( — 2023')+сов( — 485*) — сов(-125'); 4) 3!8930'+ вш 1200' — сов 1410'; 5) сов 510' — вш 480'+сов 840'+з!п 1230;. 6) ап/ — 13и/6!+сов(17л/3)+!8(22л/3)-с!8(37л/4); 7) ап~ — 47к/3) — !8(21л/4)+!8( — 23к/4) — с!8(19л/6). 166. Упростите: 1) вш(а — Зл/2)сов(2л — и) — вш(л — ц)вш(л+а); !8(п-к/2) — сгй(л — и)+сов (и — Зл/2) з!и (я+и) 167.
Докажите тождества: сова (Зк/2- и) сов з (- и) !Оз (и — 2л) !8з (и — Зл/2) в!п(к+ и) !8(п-л) сов(2к- и) с!8(л/2 — и) с!8(к+и) сов(Зл/2-а) 3) 1 — с!КВ(а — Зя/2) !К(а-к/2» 1 с!К(а+л/2) 1 — с!Кз(а — 2к) 168. Решите уравнения: 1) сова~к — х)+8сов(л+х)+7=0; 2) 2сов (х-л)+Звш(л+х)=0; 3) 2в1пзх+5юп(Зл/2-х) — 2=0; 4) 5 сов!(х — Зл/2) — 2 сов(х — л/2) =0; 5) Зв!п'(х — Зл/2)-сов(х+4л) =0; 6) 5 18! (х — л) + 12 !К (л — х) = 0; 7) 2 !Кз(Зл/2+х)+ 3 !К(л/2+ х) =О.
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант 11 вариант 1)Упростяте юп(а-2к)х х сов (Зя/2 — а) + !К»я — а) х х !К(3к/2+а)+сов (л/2-а). 2) Вычислите сов! 336'- сов! 156'+ !К 100' !К 350' 3) Докажите тождество в1п (к — а) с!К(кД-а) сов(2л — а) сгК'(а-2к) с!Кз(а — Зк/2) 8 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ ДВУХ АРГУМЕНТОВ (ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ) Для нахождения тригонометрических функций суммы н разности двух аргументов применяются следующие формулы: яп (а+ О) = юп а сов 13+ сов а в1п !3; в!п(а — О) юнасов»3-сова!!а!3; сов(а+(3)=совасов !3 — юпаяп)3; сов (а — О) = сов асов О+ юп а юп !3; !К(а+ (3) = !ба+!К!3 Я к , аз!-(21+!), !3ге-(2(!+1). гва!80Ю!; (938» 1 — !Ка!80' 2 2 1) Упростите сов(3к/2+ а) !К(к/2-а)— -в1п(к/2-а)+с!К(Зя/2 — гг)— — с!8(кД вЂ” а).
2» Вычисляте с!к 225"— — с!к 675'- сов 495'+ + сов 765". !К (л+а) !8(к/2+а) яп( — а) юла. 43 Решите уравнение в!и (х — к)+бсов(х — л/2) х х сов(х+к)+кап!(х — Зк/2) О, 53 Решите уравнение с!Кз (х — л/2)- сгК (х — Зк/2)— — 2=0. гбз 72'Ч-с!Кз 162' !К! 18' 2 3) Докажите тождество в!па (Зк/24 а) в!пз ( — а) — 1 4) Решите уравнение юпз(х+к)-10яп(х+к) х х сов(х — к)+2!в1п (Зя/2+х)= =О.
5) Решите уравнение с!К'(х — Зк/2)-418(х-к)+ +3=0. !К(а — »3)=, азь-(2(!+1), (3зь-(28+1), !Ка!КВФ вЂ” 1; !к.-!8(3 !+лба!80' 2 ' 2 (9.39» с!кас!8(3 в 1 с!8(а+»3) = , аигй, Ою!й, ай-»3+л(г; с!ка+с!80 ' с!8(а-О) с!Кап!К (3+! , аю'~й, »3ю~й, аи»3+!й. с!8(3-с!ка (9.40» (9.41) 151 Вычислить: 169. 1) в!п(а+»3), если вша=3/5, совр=-5/13, л/2<а<к, л<)3<Зл/2; 2) яп(а-р), если сова= — 4/5, вш)3=-24/25, л<а<Зл/2, Зл/2<$3<2л; 3) сов(а+»3), если !ка= — 24/7, !Ер=15/8, л/2<а<к, л < )3 < Зл/2.
О 1) Найдем сова и юп(3 при условии яД<а<к, Г ЗЬЪ -- Х-~ГВУ--4Д, ЬГ--,ГГ-"У-'Д$'--!ХЕ. Ъ формуле (9.34) получим в!п(а+(3)=(3/5) ( — 5/13)+(-4/5) (-12/13) 33/65. ь н à — 'т-В!и -э/5; Ъ=.~т-1-илу=за. и формуле (9.35) получим яп (а — »3) =(-3/5) . (7/25) -(-4/5) (- 24/25) = — 117/1 25. 3) Из формулы 1+ !Кз а = 1/сов! а имеем сов а = =+1/ /3+!Кза. Учитываем, что яД<а<я, находим — е Щ-ЮГ -7~25, ' т-Г-згн 2%~25. Аналопгчно находим сов(3=-8/17 и яп»3= — 15/17. По формулам (9.363 получаем сов(а+ »3) =( — 7Д5) ( — 8/17)-(24/25) . (-15/17) =416/425.
® 170. 1) вгп (агсвгп (3/5)+ агсвш (4/5)); 2) сов (атосов(3/5)+ агсвнг(8/17)). О 1) Обозначив аии!п(3/5) = а и а!сил (4/5) = О, имеем яп а = 3/5, -л/2<а<к(2 и юпк 4/5, — к/2<(3(к/2. Находим сова= /1-(3/5)'=4/5 и соек= /1 — (4/5~=3/5. Следовательно, юп(агсюп(3/5)+агсюп(4/5))=в!п(а+(3)=в!пасов к+сов а в!и»3= =(3/5) (3/5)+(4/5) (4(5)= !. 2) Обозначив ашсов(3/5)=а и агсвш(8/17) О, имеем сова=3/5, 0<а<к н яп 0= 8/17, -к/2 < »3 < к/2. Находим в!п а =с/1 — (3/5)з = 4/5 и сов (3 =~/Т-(8/!7)!=15/17. Таким образом, сов (ашсов (3/5)+ агсв)п (8(17)) = аи(а+ (3) = сов асов 0- — в!паап 0=(3(5) (15/17)-(4/5».
(8/17)=13/85. ° 171. 1) яп20'сов40'+сов20'вгп40'; 2) сов47'сов17'+ + яп 47' яп 17'. С3 1» юп20'сов40'+сов20'вш40'=в!п(20'+40'»=в!пб0'= /3/2; 2) сов47'со!17'+яп47'в1п17'=сов(47'-17')=сов30'= /ЗД. 63 О !) По формуле (9.38) получим !/5+ 2/3 ! -(1/5) (2/3) 2) Наводим с18а=1/!ли=2/3, с18(1=1/18)1=2/5. По формуле (94!) получим (2/3).(2/5)+ ! 19 2/5 — 2/3 4 3) Имеем 18 -+а = 18(л/4)+Сйа !+!ли / 1 — 18(я/4) 18 а ! — 18 а' 12/13 иахо)осм сл а =— Г)/1//1) По о формуле 18 а = вши х /1-в!пзи 12 = —.
Полставив найденное зиачеляе 5 таигеиса, получим /'л '! 1 — 12/5 7 18 -+а — — —. ° (,4,~ 1+12/5 17 ИЗ. 1) 18(агс18(1/2)+ агс(8(З/2)); 2) сгб(агсв!п(4/5) + агс183). О 1) По формуле (9.38) получим 18 ага!8 (1/2) + 18 агс18 (3/2) 1 — !8 ага!8 (1Д) 18 асс!8 (ЗД) 1/2 + 3/2 1 †(1 Д) (3/2) 2) Обозначив агсвю(4/5) сс и асс!8 3 = )1, )юлучим вп сс = 4/5, — л/2~а<я)2 и 18!1=3, — к/2с)1<к/2. Далее, находим ссйа 3/4; с!80=1/3.
По формуле (9.40) яолучам с18(агсяп(4/5)+агс183)=с!8(а+(!)= = Е (3/4)(1/3) — 1 9 3/4+ 1/3 13 1%И.УРР: // ' 1 У Й 1 1) 1) УУЧ-и 1~1)//У )У О 1) Используя формулу (9.34), получим впасов2и+совияп2а=вп(а+2а)=в1п3а. 2) Используя формулу (9.39), получим 18(к/4+ а) — 18 а ! +18(я/4+а) 18 а 18(к/4+а — а)=18(л/4)=!. ф 152 172. 1) 18(а+ р), если 18 а= 1/5, 18 р= 2/3; 2) с(8(а-Щ, если !да=3/2, !бр=5/2; 3) 18(п/4+а), если вшсс=12/13, п/2<а<к. 175. Доказать тождества: /2сова — 2сов(-+а з з 1 ег -~ )- Г/чч 1,4 О 1) укрощая левую часть равенства, получим 1 -1 (-~ ) 1( — — (-1 )) 2вп -+а -У/2в!па 2 в!п~ — +а)-х — в!аа (4 ( (,4 ) 2 сов()с/4) сов сс-сов(л/4) сов сс+вп(л/4) яп се яп(к/4) яп а — 18 и, вю ()с/4) сов и+сов(л/4) в!и сс — сов(к/4) вп а в1п(к/4) сов а т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
