Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Вычислите: 1) агсяп0,4067; 2) агсзгп0,9962; 3) агссоз0,9 , 848 4) агссоз 0,1736; 5) агс18 0,2679; 6) агс182,747; 7) атос!82,145; 8) атос!80,1944. 94. Вычислите: 1) агсяп (- /3/2); 2) вгссоз (-1(2); 3) агс18( — г 3/3); 4) агес1й( — 1); 5) агсесй( — ~ /3); 6) вгсага( — 0,9033); 7) агесоз( — 0,8965); 8) агс18(-1,4659); 9) агсс18(-1,3663); 10) агсс18( — 0,3096). 95.
Докажите справедливость неравенств: 1) агсзш (1/2) < <агссоз(1/2); 2) агссозО>агсяп0; 3) агсзш(1/4)>агсяп(1/6); 4) агс18ь/3>агсс18 /3. 96. Вычислите: 1) агсяп( /2/2)+атосов( /2/2); 2) агсяп( — 1(2)+ + атосов ( — 1(2); 3) агс18 (-1)+ассе!8(-1); 4) агсяп1+ атосов 1+ +агс181+ассе!81; 5) агсйп( — 1)+атосов( — 1); 6) агсяпО+агссозО; 7) агсяпО+агсзш1+агсяп( — 1); 8) агссозО+агссоз!+атосов(-1), Е Н1Е ДУГИ (УГДА) ПО ДАННОМУ ЗНАЧЕгсвтнх ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 97. Найти множество дуг о, синус которых равен а. С! 1) На осн Оу единичной окружности построим точку й'(О; а) и проведем через нее и нее прямую, параллельную оси ОХ.
Рассмотрим два случая. ничн ю 1 случай. Пусть 1а1<1; тогда прямая у=а пересечет едини у окружность в точках М н М (рнс. 40), симметричных относительно осн ОУ, Точке М, соответствует дуга АМ,=агси1па, а точке Мз — дуга и — агсяпа. Каждая нз »тих дуг имеет синус, равный а. Множество дуг, с, авный а, выражается оканчивающихся в точке М, и имеющих синус, рав формулой о = агезсо а+ 2ий (А в 2), а множество дуг, оканчивающихся в точке Мз н имеющих синус, также равный а,— формулой о= и -вгепп а+ 2л/с, нли о= — агсз!па+и(2А+1) (йвЕ), Твк как (-!)"=1 при н=2/с (т. е.
если и — четное) и ( — 1)"= — 1 прн н=2А+ ! (т. е. если н — нечетное), то зтн две формулы можно объединить в одну; !35 а=(-1)" апк!па+па(л аЕ). П случай. Пусть а= х1; тогда точха /!/(О; а) совпадает с точкой В(0; 1), если а=1, и с точкой Ю(0; — 1), если а — 1 (рис. 40). Множество дуг, оканчивающихся в точке В(О; 1) (при а=1), выражается формулой п=к/2+2к/с(/с аХ), /, / а множество дуг, оканчивающихся в точке // (О; — 1) (при а= — 1),— формулой а= — к/2+2к/с(/с вЕ). Из всех дуг (углов), синус которых равен а, где (а! к!, главной считается дуга апн!па из промежусха — к/2<ассам а<к/2.
0/ 90. Записать главные дуги, синус которых равен: 1) 0; 2) — 1; 3) 1; 4),„/3/2! 5) — 1/2. О 1) а=агах!п0=0; 2) а=асса!и( — 1)= — агсип1= — к/2; 3) а=агсип!= =к/2; 4) а=агсз!и( /3/2) и/3; 5) а=апи!и( — !/2)се — агсз!п(!/2)= — к/6. йг 99. Построить главные дуги агсз(п(2/5) н агсз(п(-2/5). О Построение выполнено на рнс. 41: АМ, =асса!п(2/5), АМз= = игсз!и (-2/э/ = — апис п (2/5). чг 100. Записать множество дуг, синус которых равен 1/2. О На окружности имеются две точки, служащие копнами дуг а, и аз, синус которых равен 1/2: пс=агсз!и(!/2)=к/б и аз=к — агсзсп(1/2)=к — к/б. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулами п=к/б+2к/с и а к-к/б+2к/с~ — к/б+п(2/с+1), а=(-1)" к/6+кн(л аЕ) 0! 101. Найти множество дуг и, косинус которых равен а.
О На оси ОХ единичной окружности построим точку сс/(а; 0) и проведем через иее прямую, параллельную оси О У. Рассмотрим два случая. а/ Рис. 44 Рнс. 43 1 сл чай. Пусть (а(<1; тогда прямая х=а пересечет единичную окружность в точках М, н Мз, симмезричных относительно ос у и ОХ (рис. 42). Точке М, соответствует дуга АМ,=агссоза, а точке Мз — дуга АМз= -асссоза. Каждая из этих дуг имеет косинус, равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М, и имеющих косинус, равный а, вырахсается формулой а = агссоз а+ 2к/с'(/с м Х), а множество дуг, оканчивающихся в точке Мз и имеющих косинус, также равный а,— формулой а асссоза+2кк (/сесй) Эти две формулы можно объединить в олпу: а=+агссоза+2к/с (/спи).
П случай Пусть а=ь!; тогла точка у(а; 0) совпадает с точкой А(1; О), если а= 1, и с точкой С( — 1; О), если а= — ! (рнс. 42). Мноясество дуг, оканчивающихся в точке А(!; О) (при а=1), выражается формулой а=2к/с (ймЕ), а множество дуг, оканчивающихся в точке С(-1; 0) (при а= — 1),— формулой а .к+2к/с=к(уй+1) (/смя). Из всех дуг (углов), косинус которых равен а, где )а)<1, главной считается дуги асссоза из промежутка 0<агссоза<к.
° 102. Записать главные дуги, косинус которых равен: !) 0; 2) 1; 3) — 1; 4) 1/2; 5) †,,/ 2/2; б) — 3/4. О 1) и=агссозО=к/2; 2) а агссоз1=0; 3) а=атосов( — 1)=к; 4) х=агссоз(Ц2)=к/3; 5) а=атосов( — /2/2)=к — агссоз( /2/2)=к — к/4=3к/4; 6) а= = агссоз ( — 3/4) = к — агссоз (3/4). ° 103. Построить главные дуги агссоа(2/3) н агссоз( — 2/3). О Построение выполнено на рис. 43: АМ, = агссоз(2/3), АМз = асс- Рис. 4! Ркс. 42 соз ( — 2/3) = к — асссоз (2/3).
0! 136 !37 а/ г 4) Рис. 45 Рнс. 46 104. Записать множество дуг, косинус которых равен 1/2. О На окружности имеются две точки, служащие концами дуг а, и аэ, косинус которых равен 1/2: а,=атосов(1/2)=л/3 и аэ=-агссоз(1/2)=-л/3. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой а=ха/3+2л/г (/гыХ). Ф 105. Найти множество дуг а, тангенс которых равен а. О На оси танпнсов (рнс. 44) построим точку /т'(1; а). Через эту точку и начало координат проведем прямую, которая пересечет единичную окружность в точках М, и Мэ. Тангенс дуг АМ, и АМ равен ординате а точки /à †точ пересечения продолжения радиуса ОМ, с осью тангенсов.
Точке М, соответствует дуга АМ,=агсгйа, а точке Мэ — дуга АМэ=агсгйа+л. Каждая из этих дуг имеет тангенс, равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точках М, и Мэ, записывается общей формулой а=агсгйа+л/г (/гыХ). Из всех дуг (углов), имеющих данный тангенс а, главной считается дуга агсгйа из промежутка — л/2<агсгйа<л/2. ® 106. Записать главные дуги, тангенс которых равен: 1) 0; 2),,/3; 3) †,,/3/3; 4) 1; 5) — 1. 2) а агсгй /3 л/3; 3) а=агсгй(- /3/3)= 4) а=аюгй1=л/4; 5) а=агсгй(-1) — аюгй1= О 1) а=агсэйО=О; = — агсгй( /3/3)= -л/6; = — л/4. Ф 107.
построить главные дуги агсгк(4/3) и агс(к( — 4/3). О Построение выполнено на рнс. 45: АМ, =агсГй(4/3); АМэ= =агс!0( — 4/3)= — агсГХ(4/3). ® 100. Записать множество дуг, тангенс которых равен /3. О На окружности имеются две точки, служащие копнами дуг и, и аэ, 138 тангенс которых равен /3: а, =агстй,/3=к/3 и аз =агсгй /3+к=к/3+к. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой а=л/3+ля (/г~Х). Ф 109. Найти множество дуг а, котангенс которых равен а. О На оси котангенсов (рис.
46) построим точку лГ(а; 1). Через зту точку и начало Р .47 координат проведем прямую, которая пересечет единичную окружность в точках М, и М . Котангенс дуг АМ, и АМэ равен абсциссе а точки 1т' — точки пересечения продолжения радиуса 0М, с осью котангенсов. Точхе М, соответствует дуга АМ,=агссГйа, а точке Мэ — дуга АМ, = агссгйа+ к. Каждая из этих дуг имеет котангенс, равный а. Множество дуг, оканчивающихсв в точках М, и М, записывается общей формулой а=агссэйа+л/г (кмХ). Из всех дуг (углов), имеющих данный котангенс а, главной считается дуга агссгйа иэ промежутка О<агссгйа<л.
® 110. Записать главные дуги, котангенс которых равен: 1),/3/3; 2) — 1; 3) /3; 4) — /г3. О 1) и=агссГХ(,/3/3)=л/3; 2) а=л — агсгяй!=л — к/4=3л/4; 3) а= =агссгй /3 =л/6; 4) а л — агссгй /3 =я †/6=5л/6. ® 111. Построить главные дуги агсс101 и агсс10( — 1). О Построение выполнено на рис. 47: АМ,=агссгй1=л/4; АМэ=л- — аксгй1=л — л/4=3л/4. ® 112.
Записать множество дуг, котангенс которых равен /3. О На окружности имеются две точки, служащие концами дуг а, и аэ, котангенс котоРых Равен /3: а,=агссГй /З=л/6 И аэ=агссГй /3+л=л/6+к. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой а=л/6+Ы (/смХ). ® 113. Запишите главные дуги, синус которых равен: 1) 1/2; 2),„/2/2; 3) — /2/2; 4) — /3/2; 5) 3/4, 114. Запишите множество дуг, синус которых равеш 1) /3/2; 2) — 1/2; 3) 1; 4) — /2/2.
115. Постройте дуги, синус которых равен: 1) 1/3; 2) — 2/3; 3) 0,6. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям синуса. 116. Запишите множество дуг, косинус которых равен: 1) — 1/2; 2) /3/2; 3) — /2/2; 4) — /3/2. 139 117. Постройте дути, косинус которых равен: 1) 4/5; 2) — 4/5; 3) 0,6.
Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям косинуса. 118. Запишите главные дуги, тангенс которых равен: 1) /3/3; 2) †,„/ 3; 3) 1/2; 4) -0,7. 119. Заптппнте множество дуг, тангенс которых равен: 1) 0; 2) /3/3; 3) — 1; 4) — /3; 5) / 2. 120. Постройте дуги, тангенс. которых равен: 1) -2/3; 2) 2; 3) — 1,5. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям тангенса.
121. Запишите множество дуг, котангенс которых равен: 1) — /3/3; .2) — /3; 3) 1; 4) 1/2. 122. Постройте дуги, котангенс которых ранен: 1) — 2; 2)'0,8; 3) — 2/3. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям хотангенса. 1 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Простейшими тригонометрическими ураенениями называются уравнения 3!ох=т, созх=т, тйх=т, стйх=т, где т — данное число. Решить простейшее тригонометрическое уравнение — значит найти множество, всех значений аргумента (дуг пли углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение т, Решить уравнения: 123. 1) з(п х =т! 2) зш х = 1/2.
0 1) Если !т!Ц!, то на единичной окружности имеются две дуги атсяп т и л — атсзш т, синус которых равен т и концы которых симметричны относительно оси Оу (рис. 48). Дуга апяп т нз промежутка — л/2 ц аттл!и т < к/2, синус которой равен т, называется главным решением уравнения зшх=т. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению япх=т, находится прибавлением к найденным двум дугам любого целого числа периодов синуса: атсяп т+2л/т, х= к — атсз1п т+ 2тй, атсяп т+2л/т, вли х= -атсяп т+ к (2/т+ 1). Множество корней уравнения можно записать одной формулой (см. задачу 97): х=(-1)"шсз1пт+ли (ляХ). В дальпейпюм при записи ответа решевиа трвгонометрнческого уравнения (плп неравенства) будем считать, что параметры л, и, т могут 'прин пматт, Рис.
50 Рис. 49 любые целые значения, но при этом ради краткости записи не будем указывать, что /таХ, лаХ, тяХ. Если !т!>1, то уравнение решений не имеет. Частные случаи: япх= — 1, х -к/2+2к/т, япх=О, х=тй, япх=1, х=к/2+2тй. 2) Главным решением является дуга АМ, =л/6 нз промежутка -к/2<л/6<к/2, синус которой 1/2 (рпс. 49). Множество корней уравнения имеет вид ( — 1)"к/6+ля. чт 124. 1) созх=т; 2) созх= — 1/2. 0 1) Если !т! < 1, то на единичной окружности имеются две симметричные относительно оси ОХ дуги: АМ,=атссозтн п АМт=-атссозт, косинус которых равен т (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
