Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 25
Текст из файла (страница 25)
сова 2 Преобразуем правую часть: ыпа! (!+сова)(!+!За)=(!+Созе) 16 — = СОВ й~ ыпа+ажа (ной+сова)(1+сова) к =(1+ соз а) йМ-+кй, йах. соз й сова 2 Поскольку левая и правая части равны, искомое тождество доказано. 3) Ка основании свойства пропорлнн получим (3!и а=(1 — сова)(1+сова))«»(з!и а=! — созга)«»(з!и а=зшза), аФкк, кзс. Зи 71. Найти значение функ!ши; яп» х+ соз» х 1) у... если !8Х=2; ЯП Х вЂ” СОВ Х япгх+зшхсозх+2 2) у= если !8х=З. Зяпхсозх+сов»х — 4' О !) Так как числитель и знаменатель — однородные многочлены одной н той же степени от япх н созх, то нх можно разделить на соьзх; тогда получим !Ззх+1 2»+! 9 !йзх — 1 2з-1 7' 130 2) Умножив 2 в числителе н 4 в знаменателе на тригонометрическую единицу (в!пзх+созгх) н разделив затем числитель и знаменатель на сов»к, получим 3!и х+зшхсозх+2(япзх+соззх) Зыпхазвх+соззх — 4(яп х+соз»х) 3ыпзх+зп»хсозх+2соьзх 3!8»х+!йх+2 Зяпхсозх+4зшгх — За»3~к 3!Кх — 4!Хзх — 3 З.З»+3+2 !б З.З 4,3г 3 15 72.
Вычислите значения остальных трех тригонометрических функдий, если 1) вша= — 5/13 и 3к/2<а<2к; 2) сова= — 8/17 и и/2< а< к; 3) !811= 8/15 и к < а <Зк/2; 4) с!8а= — 7/24 и Зк/2 < а< 2к. 73. Упростите выражения: 1) янга+!8'а+созга; 2) япза-сов«и+созга; !Зй с1аа япа япа 3) + , ; 4) + ' ! — !Зги ! — с!8»й 1+сова 1-соза 5) !8»асов!134 с!8»ав!ига 6) сов4т.! 31пгхсозгх.! Япгх.
7); 8) в!Пасова(!8и+с!8а). 1+ыпа сов а 74. Докажите тождества: 3!П Х ЫПХ+СОЗХ 1), + =япх+созх, япх — сов х 1-!Кгх 2) 18ги-в!ига=в!ига! ги. 3) вшза(1+с!8и)+сов а(!+!8и)=вша+сова; 4) =2! 5) =ялга; !ба; ) =яда; 3!Пасозй-с!За ' тки+с!Зй 6) 1 — в!пег-созег=Звшггсов г; г 7) созга(1-!8а)(1+18а)=соззи-япеа.
75. Вычислите: яп' х- 3 соз' х 1) у=... если 18Х=З; 2ып х+соз х Зз!и х+2соззх-1 2) у=,, если 18х=1.' ыпг х — ып х сов х+2 ' 76. Упростите выражения: 1) (вша+сова) +(33!пи — сова)г 2) янга+сов«а-в1П4и 3) 31П4а+3!лги + '; 4) с г — 'ас! 'и — сов! 5) —; 6) (1+3!Па)(!8а+018а)(1 — вша); ч1- ° ч!+- ' Г+Йь а 7) (1+!ба)г+(1 — !8а)г 8) 18а— 77. Докажите толсдестна: 1) (с!8а+1)г+(с18а-1)г=2/япг а; ,2) сова+вша!8а — 1/сова=0; 3) 18» и(1+ !83 а) (1+с!83 а)-(1 — !уг а)г = 4 !83 и; 4) сова(или+сова)(1-!8а)=сов и — вшзи; 131 9» (927) (9.28) (9.29) сова=сов(а+2л«с), /снЕ,' !ба=!к(а+л/с), /сн2; 8( + /с),/сег. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант П вариант 1) Вычислите (ап (л/4)+ соз (Зл/2)) сй (к/3) с!8 (к/6)- с!8 (л/2) 2) Определите знак выражения соз 100' сб 2%' ап 300'ссй 100' 3) Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла а, если апа= — 3/5 н Зл/2< <а<2к.
4) Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла «, если с!ба= /3/3 н к< <а <Зл/2. !ба 5) Докажите тождество г х сйг и с!Оса — 1 х = ! и укажите допустимые ссй а значения для а. 1) Вычислите 2 сй(к/4)(сй(л/3)+сов (к/6)) соз я — 2 ап (Зл/2) 2) Определите знак выражения !8150' зш 200' соз 320'ссй!40' 3) Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла и, если сова= — 4/5 н л/2< <и <л. 4) Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла а, если !ба= !3 н л<а<Зл/2. сйа 5) Докажите тождество + !+осби с!ба + — = сй и+ ссй и — 1 и укажите 1+!8« допустимые значения для и. апа=ап(а+2л!с), кеЕ; (9.26) !33 !32 ) созга — созгаапгб =с!8 ис!8 зсп аз!п 6) з(пгиз(пг В+в(пгисозгВ+созга 1 78.
Вычислите значения выражений, если сйг=2: 1) Ып»я+сов»; 2) йпзг+ ег; ап г — соз»г апгг — 2созгг+Зсозг ап»г — соз'г' Запг+2созг 79. Дано: сйсс+сс8«=3. Найдите: 1) сйа — с!8«; 2) сйги — ссбгсс; 3) сбгсс+ссйгсс' 4) сйза+ссйзсс б 6. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Функция У называется лед«одической, если существует такое число «с~О, что при любом а из области определения функции числа а — «с и а+«с также принадлежат этой области н выполняется равенство 1/« — к! 1/а! =у' (а+ ц.
В этом случае число «с называется игр«одом функции /! ее перно- дами являются также числа вида л«с, лну„лФО. Наименьший положительный период для синуса и косинуса ранен 2к, а для тангенса и котангенса он равен л. Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами: 80. Вычислить. ц соз3660' 2) 2соз4,5к+яп(19л/3); 3) яп( — 300') — 18( — 150'). О На основании свойства периодичности косинуса и синуса получим: 1) соз 3660' = сов (360'10+ 60') = соз 60' = 1/2; 2) 2соз4,5л+ап(19л/3)=2соз(2л.2+0,5л)+з!п(2к 3+к/3)=2соз0,5л+ + з!и (я/3) = О+,о/3/2 = /г3/2.
3) Прибавив ио одному периоду к каждому из аргументов, получим з(п ( — 300') — сй (-150') = ап (-300'+ 360') — сй( — 150'+ 180') =з!пЮ' — !830'= ч/3/2- о/3/3-~3/6. Ф 81. Найти периоды функций: 1) у=зшЗх; 2) у=сов(х/2). О !) Обозначив искомый период через «., получим апЗ(х+»/ зшЗх, или з!п(Зх+Зь)=з!пЗх. Отсюда заключаем, что З«с 2к, т. е. «с=2л/3. 2) Аналогично имеем соз — =сов-, илн соз -+- =соз-, 2) 2' 12 2! 2' откуда «с/2=2л, т.
е. »=4л. ® 82. Найти периоды функций: ц у=яп2х+созЗх; 2) у=в(п(Зх/2)+зш(2х/3). О 1) Найдем период каждого из слагаемых з!п2(х+«сс)=з!п2х, з!п(2х+2»с)=з!п2х, 2«с,=2л, «сс-— л; сов 3(х+«сг)=соя Зх соз (Зх+ 3«г)=воз Зх 3«сг 2к «г =2л/3. Каждое число, кратное периоду, само является периодом, поэтому общее кратное чисел «сс и кг является периодом функции у. Наименьшее общее кратное чисел к и 2к/3, равное наименьшему общему кратному числителей периодов «сс и «сг, есть 2л. 2) Имеем 2«х+«. ) 2х /2х 2«сг'с .
2х йп ' г)=ап —, зш~ — + — ап —; 2«сг/3=2я, «сг=Зл. 3 3' ~сЗ 3) 3' Наименьшее общее кратное числителей периодов «сс и «сг равно 12л; следовательно, период функции равен 12л. ® 83. Вычислите: 1) соз7230'; 2) зш900'! 3) 18585'! 4) с(8750'; 5) зш 1843'. 84. Вычислите: 1) зш6,2л+ сов 4,1«с; 2) сй(13«с/4)+с!8(21«с/4); 3) яп (19к/3) — соз (19к/3); 4) яп (82к — 0,192) + соз (22к+ 1,501); 5) з!п7,854.183,927.
85. Найдите периоды функций: 1) у=совЗх; 2) у=сов(х/4); 3) у=с82х; 4) у=с!8(х/5). 86. Найдите периоды функций: 1) у=зш5х — соз4х+1; 2) у= =2зш(х/4) — Зяп(х/3); 3) у=18(2х/3)-4с18(Зх/2) — 2; 4) у= = зш (Зх/4) — 3 соз (5х/8) + соз 5х. 87. Вычислите: 1) 2 яп 750' — 3 сов 900'+ 18405'; 2) 18з 600'+ +с18з 585'+ 3; 3) з)п ( — 330')+ яп ( — 690'); 4) 18( — 135') — 18225'; Я соз(-Зи) — згп(-7и); 6) сов(-5и)+ ссй( — 21л/4) 88. Упростите выражения: 1) зшт(би — и)+зшз(!Он+а); 2) япз — — 4л +созз 8и — — +2; 3) соз(а — бл)+сов(12и+а); 4) япз(2л+а)+созз(бл — а)+1. 89, Докажите тождества: еоз~(4л — сс) соз(би+сс) 18(Зк — а) 1), =совка; 2) = 18гЧ 18~ (9и+ а) + 1 нп (4и — и) ссй(5л+ а) ссй(13и — х)+ 18(4п+х) 18 (5 и+ х) — ссй(7и+ х) 4) яп(би — х)соз(8л — х)18(9л — х)с18(10л-х)= — япхсозх, $7.
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Функции у=них нв отрезке -л/2<х<и/2 имеет обратную функцию, которая называется арксннусом и обозначается у=агав!их; — ! ьг!(агсз1пх) < 1, — и/2<Е(агсз!пх)~и/2; нп(агснпх)=х, где — 1<х<1; агсзш( — х)= — агсяпх. Функция у=созх на отрезке 0<к<и имеет обратную функцию, которая называется арккаеннусам и обозначается у=апхозх: — ! <Р(апхозх)И1, 0<Е(агссозх)<и; соз(агссозх)=х, где — !<х~! агссоз( — х)=л — агесозх. Функция у=сйх на промежутке -л/2<х<и/2 имеет обратную функцию, которая называется аркнсангенсом н обозначается у =агссйх: 1!(агссйх)=И, -л(2<Е(агссйх)<и/2; 18(агс1йх)=х, где хвИ; агссй(-х)= — агссйх.
Функцня у=ссйх нв промежутке 0<х<и имеет обратную функцию, которая называется арккотангенеам н обозначается у=агессйх; 1!(агессйх)=И, 0<Е(агсссйх)<и; ссй(агсссйх)=х, где хви; агессй( — х)=к — агсссйх. 90. Проверить, справедливы ли равенства: 1) агсяп(1/2)=и/б; 2) агссоз( — ъ/3/2)=5зс/6; 3) агс18 /3=-и/3. 0 1) агсзш(1/2)=л/б, так как з(п(л/6)=1/2 и — и/2<и/6<и/2; 2) агссоз(- /3/2)=5гс/б, так как соз(5гс/6)= — /3/2 и 0<5л(б<и; 3) агссй /3= — и/З,таккак(8(-и/3)= — /Зи — и/2<. — и/3<и/2.
й!с 91, Вычислить: 1) агсяп0,7880; 2) агссоз0,9063; 3) агс182,145; 4) агсс18 0,9657. 134 0 1) Установим переключатель ГПР в положение «Р». Согласно алгоритму ! 0,7880 3 ~агс ~ но ], находим агез!п0,7880м0,9076; 2) аналогично получим асс«око,9063м0,4363; 3) все!82,!45м1,1345; 4) сйа=!/09657=1,0355, а=агеС81,0355=08028 ® 92. Проверьте, справедливы ли равенства: 1) агсзш( /2/2)=и(4; 2) агсзш(-1/2)=-гс/6; 3) агссоз( /3/2)=и/6; 4) агссоз( /2/2)=Зи/4; 5) агс18 1 = гс/4; 6) асс!8,/3 =и/3; 7) агс18 (-,,/3/3)= л/б; 8) агсс18 /3 = -2гс/3. 93.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
