Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 30
Текст из файла (страница 30)
° 202. Вычислить 10(й/2), если: 1) вгп а=4/5 и л/2 < и <л; 2) сова — 4/5 и л<й<Зк/2; 3) !Ой=2 /2 и п<й<Зп/2. О 1) Находим сова= — /1-(4/5)зр» — 3/5. По формуле (950) нолучнм а 4 / 3! 10- —:~1 — )=2. 2 5 (, 52) рр 2» —,РГ:~-астр'--ррр. 2 р р, рр»р, „, а 3 4 3) Вычисляем 2!па п сова: гаа 2: /2 2,/2 ~1+10 й /! ! (2 /2)2 1 1 сов а=— 1+(2,/2)2 а 2,/2 Г' й По формуле (9.50) получим 10-= —:~ 1 — /!»» —,/2, ° 2 3 (, 3( 203. У ' 1) арпа; 2) 1+сов2а 1-сова' з!п2а яп а 2 яп (й/2) сов(а/2) сов(а/2) О 1) — — с!В (а/2). 1 — сов а 2 в!и'(з/2) яп(а/2) 1+сов2й 2сов й соей — = огай.
° яп2а 2япасова япа х х к 2 ' 2 2 ' х= к(2/2+!), х 1 х 2к 4к = 1 — + 2к/г. х= 1 — +4к~с. 2 2 2 3 ' 3 Онрвеврр к(272+1); сова=2совз(а/2) — 1, нлн 1+сова=2созз(а/2). 2) Аналогично, заменив в формуле сов 2а=1-22!из а аргумент а на а/2, получим сова 1 — 2япз(а/2), нлн 1 — сова 22!пз(а/2). ° ' 205. Вычислить: 1) апй, если 10(й/2)=2; 2) сова, если 10(а/2)= 3; 5сова — 3 3) 10й, ЕСЛИ 10(й/2)= /3; 4) огай, ЕСЛИ 10(а/2)= — ч/21 5) если 10(й/2)=3. О Использув формулы (9.54) — (9.57), получам: 2 10(а/2) 2. 2 4 1) з!пй= 1+10~(а/2) 1+22 5' 1-10 (а/г) ! — 3 4 2) сова= 2 2 !+10'(а/г) 1+3' —,ГЗ. 10 (ар/2) 1-(-АЗ) 1-102(а/2) 1 — (-,„/2)2,,/2 210( /2) 2 (,/2) 4 ' 1 — 102 (а/2) 1 — 9 4 2 10(аП) 6 3 5) сова= — — = —, пса= 1+ 102 (а/2) 1+ 9 5' 1+!и'(а/2) 1+ 9 5 ' 5сова-3 5 ( — 4/5) — 3 — =-1.
® 10яп а+1 10 (3/5)+1 /к х( 206. Решить ' уравнении: 1) в(п~-+-~-сов(л+х)+1=0; 12 2/ 2) апх+совх=1; 3) Звгпх+4совх=4 РК Хз х О 1) яп -+- -сов(л+х)+1=0 ч» сов-+совх+1=0 ч» 'т2 2) 2 х ) соз-=0 »» сов-+2совз- 0 ч» сов- !+2сов- =0 !+г 2-=0 2 159 15В 204. Доказать тождества: 1) 1+сова=2совз(а/2); 2) 1-сова=2япз(а/2). О Ц Заменив в формуле соз2а=2совза — 1 аргумент а на а/2, получнм — (322 п 1).
4к 3 Х Х .,Х2 2) (япх+совх=1)ч»(в(п х=! — совх)ч» 2ввп-сов-=2яп'- ч» 2 2 2/ х х х 44 2 5!П вЂ” СО 5 — 5!П вЂ” = О 44 44 44 44 сов — юп — =О 18-=1 =-+я(г 2 2 2 2 4 Гх=21й, 44 ОтВЕЮ: я х =-+ 21й. 2 25й; -+21й. ' 2 25 и сов х через 5 = 18(х/2); имеем в!п х = —, !+гг 3) Выразим яп х ! -г' сов»= — г. Тогда !+Хг бг 4 — 4гг ГХ=О, — + г =44ь45~-3»=044~ 1+гг 1 +гг ~г 3(4. аннов уравнение равносильно совокупности уравнений 18(х!2)=О я 18(х/2 = 3/4, откуда х(2 =гй и »Д =агс18(3(4™)+ к(с Отвепк Ьй; 2агс!8(3(4)+ 21й.
Вычислите: 207. ап(гг/2), сов(а/2) и 18(а/2), если: 1) сова= -7/25 и к/2<а<и; 2) в!па= — 15/17 и Зи/2<а<2к; 3) 18а=4/3 и 0<а<к(2. 208. 1) сов(а/2), если 18а= — 12/5 и 5к/2<и<Зл; 2) 51п(а/2), если сгйа=5/12 и Зл<а<7к/2. 209. 1) вша, если с18(а/2)=1/3; 2) сова, если с18(а(2)=1/2; 3) 18а, если с18(а/2)=,/3/3; 4),, если 18(а/2)=2. 210. Решите уравнения: 1) 1 — сов х=яп(х/2); 2) 1+ сов х= =сов(х/2); 3) 1+совх=в1пх.
$18. СМЕШАННЫК ЗАДАЧИ Вычислите: 211. 1) вш2а, сов2а и 182а„если вша=4/5 и 0<а<к/2; 2) вш(а/2), сов(а(2) и 18(11/2), если совс1=1/2 н 0<а<я/2; 3) вп1(а/4), соз(и/4) и 18(сг/4), если япа= — 24/25 и Зя/2<а<2и. 212. 1),; 2),; 3) сов 20'сов 40'сов 80'. 18(к/8) ! †1(к/12) 1 — Сзг(к(8)' ! + Гаг(к/!2)' 213. 1) вш(2агсв1п(40(41)); 2) соз(2агссов(2/3)); 3) 18(2агс18(7/25)).
Упростите: 214. 1) 1 — сов 40'; 2); 3) —; 4) с18 а(1 — сов 2а); !+сова !+япа 5) 18а(1+сов2а); 6) 18а+ — )18~- — -), сов а) Г 4 2)' г ! С18 18 1 сов'и-5!пг а' ! 2 созга !+185 1, 5) —; 6) 2соз ( — а -51П2а. 1+со52а г ~я ! — со5 2а !4 докажите тождества: 2 Япх — в!п 2х гх 5!и 2а сова а 216. 1) =185-; 2) — =18-; 25!их+5!П2х 2 1+со52а!+сова 2 сова — со52а-! со52а (я 3) =С18и; 4) —,=с!8 -+сг . япа — яп2а ' !+яп2а (4 2) !+сова+со52а+со53а = С!8 а; юп2а+2в1пасо52а яп'а+япЗа созга — сов За 3) + -3; 51п а сова 4) соз4а — яп4а=соз2и; 5) 18(и/12)+с18(к/12)=4; 6) соз'асазЗа+вш'аввпЗа=сов'2а. 218.
1) 18(к/4+а)+18(а — я/4)=2182а: а — В 2) (в)п а — з!и В)1+(сов а — сов 0)г =4 вшз —; , -в 3) зша(в!па — вшв)+сов(сова — соз(3)=251пз —. 219. Решите уравнения: 1) вп1хсовх=1/4; 2) созгх — зш'х= — 1(2; 3) с18» — с!82»=2; 4) 18»18(я/3+х)18(к/3 — х)=!. 5) 18х — 182х=0; 6) 1+совх=2соз[х/2); 7) 1-совх=2зш(х/2); 8)' (Зв!Пх-сов»=1. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1 вариант 4) Докажкте тождество 4 яп 20' яп 50' яп 70' = в!п 80'.
5) Решите уравнение (3 них+сов»= !. ! + яп 2а — сов 2а 217. 1) =гаа; !+яп 2а+сов2а 1) Вычислите яп 2а, сов 2а и 182а, если вша= !(2 и к(2<а<к. 2) Вычислите 51п(а(2), сов(а/2) и 18(а(2), если сов а=3(5 и Зк(2 < а < 2я. 3) Докажите тождество 2йпа+яп2а га =С18 —. ~2я — яп2а 2 !) Вычислите яп2а, со52а и 182а, если сова=3/5 и О<а<яД. 2) Вычислите яп(а/2), сов(а(2) и 18(а(2), если яп и = ~ 3(2 н О < а < я/2. 3) Докалснте тождество !+яп2а к 4) Докажите тождество 8яп !О'яп50'яп70'=1. 5) Решите уравнение ! — сов х = яп х 51п (х(2). !1 — 3!62 !б! 1 СОВ а соз )3 =- [СОВ (а+ (3)+ соБ (а- (3)~; 2 (9.59) 1 япаяп(3=-[соВ(а — )3) — соБ(а-Ь(3)~.
2 (9.60) х х х !) Вш5хзшЗх; 2) соз-соз-соз-. . 2 3 4 а+33, а-(3 51П а — 51П р = 2 СОБ — $!П вЂ”; 2 2 (9.62) +в соБа+соВ 8=2соз — со —; 2 2 (9.63) ..+(3. В-., сОБ а — с 05 р = 2 $1п — я и —; 2 2 (9.64) (9.65) (9.66) 1+сова 2со —; зБ. 2' (9.67) 2 1 — соз а = 2 $1п'-; 2' (9,68) 1 3, 1, +-5!П Х=-51П Х вЂ” ЯП ЗХ. 4 4 4 (9.69) (9.70) 162 163 8 19.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ СУММУ Для преобразования произведения тригонометрических функций я сумму прнменпотся формулы 1 $1пасоБ)3=-[яп(а+)3)+яп(а — )3)); 2 (9.58) 220. Преобразовать в алгебраическую сумму: О !) По формуле (9.60) получим 1 1 ! яп 5хяпЗХ=-(Оса(5х — Зх)-соБ(5х+Зх))=-со$2х — со58х. 2 2 2 2) Используя дважды формулу (9.59), получим х х х / х х3 х 1/ Зх х3 х СО — СОБ-СОБ-= СОВ-СОБ — СОВ-= — СОЗ вЂ” +СОВ- СОЗ-= 2 3 4 (, 2 4) 3 2( 4 4) 3 1( Зх х х х'1 1/1/ 13х 5Х»3 СО5 — СО5-+СОВ-СОЗ- =- — СОЗ вЂ” +СО — + 2[ 4 3 4 3) 2( 2( !2 12) 1/ 7х х»3»3 1 13х 1 5х 1 7х ! х +- СО †+СОВ =-СО †-СО †-СО5 — +-СО5 †.
° 2(, 12 12)) 4 12 4 12 4 12 4 12 221. Представить в виде сумм первых степеней следующие тригонометрические функции: 1) $!и х; 2) созхх; 3) зшВх, 1 1 1 (3 1) 51П х=япх япх=-(соВО-со52х)=- — со52х; 2 2 2 1 1 1 2) со$2х=соВх сОБх=-(созО+со52х)=-+-со52Х; 2 2 2 2 2 3) яп х=яп х япх= — -со$2х $(пх=-япх- (2 2 ) 2 1, 1, 1,, 1, ! — $1П х ООБ 2х = — яп х — (Яп Зх — $1п х ) = — $1п х — яп Зх+ 2 2 4 2 4 Отсюда получаем формулу для синуса утроенного аргумента: япЗх= =3$1пх-4яп2х. Ф Преобразуйте в алгебраическую сумму: 222. 1) соз7хсоз5х; 2) зш11хзшх; 3) зш5хсов2х; 4) зш(а — р)соз(а+р); 5) соз(а+(3)соз(2и+р); х у х+у б) соз-соз-соз —.
2 2 2 223. 1) Вш -+х яп — х; 2) 4соз — — х соз — +х; 3) 4соз — х соз — -х; 4) 4соз -+х Яп --х . 224. Представьте в виде сумм первых степеней: 1) соВБ х; 2) япзх; 3) соззх; 4) з)п'х; 5) созБх. б 20. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ 1. Оевеяаые формулы. Для преобрззозання алгебраических сумм тригономегрнческих функций в произведение (приведения к виду„удобному для логарифмирования) используются формулы , а+О а — 33 Вш а+ Бш )3 = 2 яп — соБ —; 2 2 1йа+!8(3= 51п (а+ р) я я , аФ-+)Й, (3$5-+~й; соВ асов 33' .
2 ' 2 Вш(а-33) я я !8а-!8Р—. , ан'-+юй, ОФ-+Бй. соВ асов 33' 2 ' 2 Часто используются также следующие формулы: 2/я а! 1+5!па=20052~ — -); (,4 2) . В~я а~ ! †В!па=2 (х4 2) 2. Условии равеаства едвоявеввых трвгввеметрачяясак фуввпвй. Для того чтобы синусы двух аргумевтов была равны, необходимо и достаточно вьпюлиевие следующих условий: Г х+у =(28+1) к, (асп к=5!и г) «» ~ х — у=2сй.
Для того чтобы косинусы двух аргументов были равны, необходимо и достаточно выполвевие следующих условий; Г к+у =2сй, (соех=ссиу)«»~ ~ х — у=2л/с. Для того чтобы тангенсы двух аргумеитов были равны, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: (х~л/2+~й, у~к/2+~й, (Гйх=гйу)«»~ (х — у=к/с. Преобразовать в произведение: 225. 1)згп40'+яп20'; 2) соа(к/5) — соз(7л/10); 3) с(8(2л/7)- -с(й(л/7); 4) совка-5!пз)3; 5) 5!п2асоаЗа-2яп'ав!пЗа. О 1) По формуле (9.61) получим 40' -!-20' 40' — 20' яп40'+аш20'= 2яп соз 2 2 1 =2яп30'со510'=2 -соа 10'=соя!0'. 2 2) По формуле (9.64) получим соя (л/5) — сок (7л/10) = 2 аш (9к/20) Яп (к/4) = ч/25!О (9Я/20), 3) Выразив котангенсы через тангенсы, используем формулу (9.66): ссй(2к/7) — с!8 (к/7) = 18(л~ — 2к/7) — 18(я/2- я/7) = =18(зя/14)-18(5к/14)=— яп(к/7) сок (Зк/14) сок (5л/14) 4) Используя формулы (9.67), (9.68) и (9.63), получим 2 /1+ссм2а с /1-ос%2(!1 1 СО5 а — 5!П )-~ — ) =-(со52а+со52(!)= 2 ! ( 2 ) 2 1 2(а+(!) 2(а — 0) =- 2соа — сос — =сок(а+(!)Соз(а-б).
2 2 2 5) яп2асо53а — 2япзаяпЗа=25!Оасоаасо53а — 25!Оказ!ОЗа= =2япа(созасо53а-5!ОаяпЗа)=2япасоаеа. яс 226. 1) 1+вша+сока; 2) зспх+яп2х+ашЗх, 3) аш 20'+ 5)п 34'+ аш 24'+ яп 30'. О 1) Преобразуя выражение 1+сока в произведеиве по 4юрмуле (9.67) и используя формулу удвоенного аргумевта для япа, получим 164 а, а а а!с а . а»5 1+соса+аша=2созз-+25!и-соз-=2соз-1ссоз-+5!и- 2 2 2 2~ 2 2/ =2СО5- СО5-+СО5 — — 4СО5-СОБ — Соз а 5ск а1 т 2»/ 2 сос-сос 2 1,4 2~' Зх/ х Зхс, Зх х, Зх х 25ш — соа-+сок — =2яп — 2соахсоз-=4яп — созхсоа-. 2(, 2 2) 2 2 2 2 3) Заметив, что 20'+34'=24'+30'„выполним последовательно преобразовавия по формулам (9.61) и (9.63): яп 20'+ 51п 34'+ 51п 24'+ яп 30' =2 яп 27' соа 7'+ +25!п27'со53'=2яп27'(со57'+со53')=4яп27'со55'со52'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
